Revisions 01 Calcul_litteral_Corrige

Utiliser le calcul litt6ral

e" Priorit6s

op6ratoires

e Priorit6s

operatoires

.

_Pour calculer uhe expression avec des parenthdses, on effectue d'abord les calculs entre parenthdses.

'

^Pour calculer une expression sans parenthAses, on effectue d'abord les puissances, puis les multiplications et divi- sions, enfin les additions et soustractions.

o D6velopper, c'est transformer un produit en somme a196brique.

*

_{&, o et b} d6signent des nombres

r6els. ^*

^a, ts, c, d d6signent des nombres r6els.

e(a

+ e) -

^$ra

^1f*&

^(a

⁺

^&)(c

⁺

^d)

^:

^dc

⁺

^ad

+

^bc

+ bd

B Factoriser, c'est transformer une somme alg6brique en produit.

*

_{k, 6 et b} d6signent des nombres

r6els. _'

a et b d6signent des nombres r6els.

*a +

^,{;&

= jt(o +

^{&) (lr est le facteur} commun) a2

- ^tuz:

^(a

^{+ e)(a} -

^e)

sont

6gales

quelle que soit

la

g:

(4x

+

3)(6x

+

s)

P:(4r-1)(6x-2)

" Choisir un nombre.

" Ajouter 7.

'

Multiplier par _5.

",Soustraire ^35.

!l ^Utilirer

^la

^double distributivit6

D6velopper et r6duire chaque expression.

A:

^(2"

+

3)(x

+

6)

C:(2-r)(s+x)

A:2x2 +

^1zx

+ 3r *

¹⁸

:2x2 +

^15r

*

^1g

B

:

12x2

-

^4x

-

^15x

^*

⁵

^:'12x2 -

^19x

^*

⁵

C

:

10

+2x -

^5x

-

^x2

: _{**2- 3r* l0}

D

:

6x2

-

^9x

I ^Zr -

³

:

6x2

- ^7x-

³

3:

^(4x

-

^s)(3x

- ^t) P:(3;r+1)(2r-3)

I ^{c6r". un calcul}

Calculer.

a. 7

-

³

^x

²

^:.7..-.6 _=.1...

b.4 +

⁽⁷

- ^{2) x} 3:4.*.5.x.3..=.4"*"15.=.

^j.9.

c. 5

x

22

-

⁷

:

5.x.4. -.7^.=.20"=.7..=.i,3.

d.

-4 ^x

⁽⁸

-

⁵⁾²

:.-4"x3?.=..=4.x.9.=.=-36

fl ^crl.rler

^la

^valeur d'une expression

Calculer

A:

^2x2

_*

7x

*7 ^pourx : _-3.

A:2x(-3)'+7x(_3)+7 A:2x9-21 +7

A:18-21 +7:-3*7:4

!l Oevelopper et r6duire

D6velopper et r6duire chaque expression.

a.2(x -t

5) :2r..+^'1.0..

b. 3x(2x

-

⁵⁾

:

.3x. x . 2x.

-.

^{3x..x .5.}

₌

^{.6x? .}

-.

^S,Sx

c. 5x

- ^(3x-

⁵⁾

:

5x .-.3x.*" 5 .=.2r" .1. 5. .

d. 3x -F 2x(ax

-

³⁾

:

3x.+.8x1.

-.

^6r.

=

Bx?.-. 1r.... ... ... ..

e. x

*

_4(x

-

²⁾

:

x

-

^4x

- ^4(-2) : _x.-.4x.*.

8.=. --3x.*. ^B

f,l R".onnaitre

des

expressions 6gales

Deux

de

ces expressions

valeur de

r.

Lesquelles ?

A: bc('tb -

⁷⁾

⁺

²

C:x*3r(8x-5)

A:24x2 - ^14x*2

B

:

24x2

*

^2ox

*

^18x

*

¹⁵

: 24x2*

3gr

* ^l5

C

:

x

*

^24x2

-

^15x

:

24x2

-

^14x

D

:24x2 -

^8x

-

^6x

^*

²

^:24x2 -

^{14x -12}

Donc pour toutes les valeurs de x, A

:

D.

Juliette affirme que ce

^pro-

gramme revient i ^multiplier

par _{5 le} nombre choisi.

Juliette a-t-elle raison ?

On note

r

le nombre choisi au d6part.

.x .x*7 .(x*7)x5

.

(x

*7) ^x

⁵

-

³⁵

Le nombre obtenu est

(r * ^{7) x}

⁵

-

^35.

(x

+ 7) x

5

-

³⁵

: 5x*

35

-

³⁵

:

5-r.

Donc Juliette a raison.

l6

I Puissances entiEres relatives

,. a d6signe un nombre r6el et n un nombre entier naturel.

,iiii i)2,0n=q## .Sia*o,ao:1'

_"d1

_=a

,

_{a, b d6signent} des nombres r6els, m et n des- nombres entiers relatifs.

.a- xan=a^tn ^, {- _o.-n (aveca=o)

an

' ^{(a x b)'} =

^on

x.bn

Calculer4-:-'.

\A

23

R6duire B

:

1,5-:r"

- ^$x -

^7).

. [9'1" (bl :4

_bn

,ur".

^b

*o)

I

^Catcuter mentalement et compldter.

.34

:81 . (-+)' : _=.64... .0,23:0.008....

ff

^Expliquer

^{pourquoi (..8)' peut}

^s',lcrire

^2Jl.

Jz t?. .=.

J7.x

^l-z

x.J1.=. zJi

f!

Ecrire sans exposant sous forme fractionnaire.

A:5-2 :1:.1

.5.'..

²⁵

B:2-a:1.=.J

2*

¹⁶

!!

^compl6r

a.27

x

²³

:23

-9

c. !-:75""

74

". (4')t :41s"

Compl6ter.

x

^{23 :23P"}

b.8 7x8s:8 "

d. -) J, ::

30

t. (0,7-\2 :0,7

-^r" ^**

^:J

-2018

f!

^rxprimer

ⁱ

^{l'aide d'une seule} puissance de 3'

".

^L"

tripl"

^{de 32}

01e.

_{b. Le tiers de 32} ^01e.

c. Le carr6 de 3201e.

I a.: ,,

32ole

- ^{3l x}

^3201e:31

I - -2019

I

U.

-L*

32oie

_t =

^:3zo1e-1

133'

I

^c.

(32org)z:32 '

^zots

-

^r+ose

!!

catcuter en utilisant l6galit6

o' x b' :

(o

x

b)n.

a. 43

x

253

:

.(4.x.25).3..=. 100?.

=

^{.1 000. 000" . . . ..}

b. 1,254

*

^3a

^:.(125.

x. 8)1"

=.1 01.=. I 0 00.0.. .. .. .

c.

8 x

53

:

2?.x.51.=.{2.x.5)1.=.10?.=.1000....^

,Sia*O,o-'

"

(o')' : a^ x'

En passant d'une image de 24 bits e

une imaoe de 8 bits on divise le nombre de couliurs ^par 16a.

1

a'

28

couleurs

^{224 couleurs}

llaffirmation de Tom est-elle exacte ^?

I

't

_^zq

'i

_llB

+:224 ^{I _216} -24xa:eo)4,

l1

i

I

i

Laffirmation de Tom est exacte.

:164

8 bits 24 bits

!! ".Compl6ter:

1812

: (2 x

^,9.)12

:212 x

.9.12

:212

" (.3.')" -

²¹²

^x

^324"

b. Ecrire

uloo t{$

sous la forme

d'un produit

d'une

Cet algorithme

_Per-

met de d6terminer la

Plus

petite

^puissance

d'un

^nom- bre a sup6rieure

ou

6gale

i

un nombre donn6 L.

Compldter ce tableau

^de suivi des variables lorsqubn

saisit en entr6e

^o

:2

et

L:

^100.

Qu'affiche cet algorithme ^?

Saisir a, L

n<-0 b*-1

Tantqueb<L

ln.-nt1 lb*b*o

Fin Tant que Afficher n, b

b<L ><

^{v. :t}

n 0 ¹

b ¹ 2 4 16. 3?

Ialg.orithme.affiche. en.sortje.n.=.7..et "b.

=

^{" 1.28..En}

effet.

Chapitre

2 *

^{Utiliser le calcul}

litt6ral *&

Racines carr6es et op6rations

I

Oonn"r l'6criture d6cimale.

c. QJq2 :2?.x..8.=.3.2...

^a.

G r, 4J6 :b.x.A"=.24...

e. 3JJ xsJi:15.x.2.=.30. f. (r0.,6)'

:.100..x.3..="300.

!!

^Ecrire

^{sous la forme aJb}

^avec

^{a et b}

^nombres

entiers positifs.

b.

JSto : ",61.IT0.: Jsl., J-10:9^fro c. JG :

J9.x-2.=.J9.

x..D. =3..D d. JEz :

.Ji.e x

z.-:.-[t.a

x..-8.

=. "+"J7.

f!

^{Ecrire sous la forme}

^Ja

^{avec a} nombre entier positif.

a. oJ): Ge

^,.

JJ : _#6;2 : Jn..."

b.

2fi : _.E,

^.J7

:

J.4.*2.

:

J-2s...

c. 3G : J9 , .,6.:

^6.x"s.=.J+s"...

d. 6J5 :

.J:.0.

x.JJ.:* Jrox _{:. =..Jros}

Gl _".

Ecrire sous la

forme alE

avec a nombre entier.

. J11: J-.+."JI:"2"fs...."

^.

.,17i :.,0s

".,8 : 5.6...

b. En d6duire l'expression r6duite

de

A

: AJn -

^{+^17i.}

A:8x2J1-qxsJ:

A:16.8-20\6:-4Jj

l@

Ecrtesans racine carr6e au d6nominateur.

J8 Ii8

^r-

a. ,,:.1-.=..V.6.

b.

+: ,.12

_'12

^ya=:?9, x'12

²

=

^r.11

- ^{10_ 1oJ5 _1oG} .ti

\.

-

- ffil:.-'....-..-.zvJ.

{s JsxJs

^s

!! ^{ecrire B:7J45} -6Jx +G

^{sous ta}

^{forme aG}

avec a nombre entier.

B:7xJ0x5-oxJ+xs+.6 B:7x.6*G -oxJ4*G+.8 B:7x3rE-oxzG+.6

B:2118 -12Ji +.6:1oG

!!

R"trouver les nombres 6gaux.

^-Ji ^B-

^J3oo

A:\6x3:J9rG::.,8

B: fiT.3:qo€:S _:2J, ,:#:ff:G:JZG

D

- ^{Ji * Jzrt} : _Jl *J1

" Jl : 2J:

Donc

B:

^D.

. ^J42

'll o: Ji ^xJo

v'o

d6signe

un

nombre r6el positif. La

racine carr6e

de a,

not6e G,

^est

^le

^nombre

positif dont le

carr6 est a.

Ainsi, pour

tout

nombre ree!

s > 0

:

(Ja)2 :

o.

> Pour

tout

nombre r6el a

: .,/r' : _lrl.

+ o et b d6signent deux nombres r6els positifs.

_ E f:

Ji xJa ₌ Gxb

"t ffi ⁼ {f ^(uu".

^b

^*

^o).

,r-1ii.*s-rti;im

r ^, Jols : J25:5 et Jto + Js: +t3-7. ^Donc Jto+g * Jlo +Jg.

. J00-64 : #6:6 ^et

^JT00

_- J64:10*8:2. ^Donc J00-64 * Jroo -JA.

Calculer

A: (-2)3 + t0 x

0,72.

,t .., . -.. ^_

. Quel est le nombre r6el x tel

ou" ,4 1,

-F 3

:

10 ?

. J4g:

^{. ..}

^. Jffi:0,5.

' .[P ^{:8,3. . .{;7,+y :r.,+.} . Jgoo:30..

ff

^completer.

' .m:1.0.?.... -

'lto-^:.10

^.1?..

. .E:.L- _v49 ^.

^.

7

'{i:''t

/o

f,l ^Corpl6ter

^{avec des} nombres entiers.

". 6lr' -

^{7... b.}

** ^:.1s...

ldentit6s remarquables et expressions alg6briques

!

^{compt6ter ces} d6veloppements.

.

(.;r

+

⁵⁾²

:x'+ 2 x x x 5.+ 5"':13.+.t.0*.+

"25..."...".

. (* - ^7)' : x' -

²

^{x x x}

^l.

^{+ l?} : _*.

.- .1Ax

*

^{.49.. . " .} ".. ' ^{. .} ..

.

(3x

* +;2:

^(:x)2

a

²

x

3x

x 4+ *?:9x1.+.24x.+.1.6....

. (8, - ^t;2:

^(Sx)2

- ^{2 x 8r x i.+1.2} :64i..-..'!6x.+.1....

fl

^{Compt6ter ces} d6veloppements.

a. (x

-

^a)(x

^{+ s)} : x?.-

o+

b.(y-6)':y"'-12y*36

c. (5x

*

^7.)2

:

25x2

*

^Zgx.

^-l

⁴⁹

fJ

^{Compt6ter ce tableau}

!!

oevetopper et r6duire.

A:

^(ax

- ^1)' - *'

A =.1 613.--.8r.*. _'l. .-..n3....

A=.15r3.-.8x"+"

,l..."...

B

:2(x ₊

7)2

B"

=

^{2(x?^+..i} 4x.+. 49)....

.8.

:-

2x2. .+.28x.+. 98 . .. . . .

36x2-1zr+1

.8.1.+.2.x.a.x .3o.+. ^ga)?.. _-:. (s.+. :a)1.

64+48a+9a2

f,! ^Corpl6ter

^cette factorisation.

4:

^(5x

- ^t)(, -

³⁾

-

^(5x

- ^1)(3r -

^a).

6:

^(5x

- t)f(x.-.3.) -

(3x..--.4)l A.

=

"(5"r.-. ^1.)

(x.-.3.-.3.r r.4)"

..

A.

=.(5x -.

^1.) (.--2r. +. I _).

l!

factoriser d l'aide d'un facteur commun.

s: ^(r +

^s)2

-

^(3x

-

^2)(x

⁺

^s)

C:5r(3x+1)-(3;r*1)2

.

3

:

^(x

+ s)[(x + s) -

^(3x

-

^2)]

B:(x+5)(r*5-3-r*2)

B

: (r + s)(-Zx +7)

.6:(3x+1)[sr-(3r+1)]

6: ^(3x+

^1)(5x

_-

^3x

-

¹⁾

C: (3r+ 1)(2"r-

1)

I

ractoriser

A:

^+x2

-

^(x

-

^z)2.

A:4x2-(*-2)' e: (b)'- ^(* _- ^2)'

A: _[b + ^(r - ^2)]lb - ^(, - ^z)l A:(2x+x-2)(2x-x-t2)

4:

^(3x

_- ²⁾

^(x

+2)

Gl ^,

d6signe un nombre r6el avec x

=

^{5 et x}

* ^_8.

Ecrire

D

- 4

- 2x _d l'aide d'une seule

6criture

x-5 x*8

fractionnaire.

D_ a(x+8) _ ^2x(x-5)

(x

- ^{s)(x +} s)

^(x

+ 8)(r -

^s)

- ^4x+32_

^2x2

^+10x

(x-s)(x+8)

-2x2 ^+14x *32 (.r-s)(x+8)

D-

Chapitre

2 *

^{Utiliser Ie calcul}

litt6ral *fu

a

e*ieul

sur des expressions

fraeti*nnaires

x d6signe un nombre r6el avec x

=

^{0 et x}

* -

^1.

1 1 x r1

^-r

n-- A --:-

ir r(+1 x(x-1) ^x(x+1) xt-l-x

¹

h_-A-

x(:r

+ 1)

^x(x

*

ⁱ⁾

. f est la fonction d6finie sur R par

f(x) :762 -

^7.

Calculer l'image

de ..6

par f.

A

On sait

que- : .AB

5. Calculer la longueur AB.

Forme d6velopp6e ^Forme factoris6e

(6r\2

- ) .r 6rv

1

-l

¹²

:

^(6v

-

^1\2

16y2

-

^{49 ( 4.,,\2}

-

⁷²

:

⁽ 4.,,

+

7\(4v

-

^7\

>

ldentit6s remarquables

D6veloppement

(o

+b)2 _=a2 *2ab +

^b2 Factorisation

D6veloppement

@-o{1;2ab+b2

Factorisation

D6veloppement

(a+b)(a-b):a'-b'

Factorisation

<- On r6duit les deux quotients au mdme d6nominateur.

<- On utilise

I _- 9 :' ^- t _pri,

on reduit le num6rateur.

- - --b b

^b