TP 1. REVISIONS

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A. Fonctions et graphes

Exercice I.

Exécuter les programmes suivants. Que font-ils ?

1.

deff(’y=f(x)’,’y=x∧3’) x=linspace(-3,3,100) y=feval(x,f)

clf() plot2d(x,y)

2.

function y=f(x) y=log(x) endfunction x=0.1 :0.01 :3 clf()

fplot2d(x,f,style=6)

3.

x=-2 :0.01 :3

y=(x.∧2).*(1-exp(-x)) clf()

plot2d(x,y,style=2)

Exercice II.

Tracer sur un même graphe centré en l’origine la courbe de la gaussiennef, définie par f(x) = 1

√2πe⁻ x²

2 , et de la densité exponentielleg, de paramètre 1, définie par g(x) =e^−x.

Exercice III.

En utilisant la commandeplot2davec le paramètrestyle=-1, afficher les termes des suites suivantes, et faire une hypo- thèse quant à leur limite :

1. u_n= 4

5 n

2. u_n=

−1 2

n

3. u_n = (−1)ⁿ 4. u_n = (−2)ⁿ

B. Boucle FOR

Exercice IV.

1. Que fait le programme suivant ? s=0

for k=1 :10 s=s+k disp(s) end

2. L’exécuter pour vérifier.

3. Déterminer la complexité du programme (nombre d’opérations et d’affectations).

4. Que doit-on changer dans le programme si l’on désire calculer un produit ? 5. Taper l’instruction sum(1 :10). Conclusion ?

6. Taper l’instruction prod(1 :10). Qu’a-t-on calculé ?

Exercice V.

En utilisant Scilab, calculer les sommes et produits suivants, avec une boucle FOR, puis sans utiliser de boucle FOR : 1. S=

20

X

k=1

k² 2. P = 20 ! 3. P= 19

6

4. S=

10

X

k=1

1

k 5. S=

20

X

k=1

2^k−1 6. P=

47

Y

k=1

1− 1

k!

Exercice VI.

Déterminer une valeur approchée de lim

n→+∞

n

X

k=1

1

k−ln(n)

! .

On pourra également faire une vérification graphique, en affichant les termes de la suite (style=-1).

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Exercice VII.

En affichant les sommes partielles successives, donner une valeur approchée de : 1. S=

+∞

X

k=0

1

2^k 2. S= 6 π²

+∞

X

k=1

1

k² 3. S=

+∞

X

k=1

1

k! 4. S =

+∞

X

k=1

(−1)^k k

Exercice VIII.

En affichant les sommes partielles successives, illustrer la convergence ou la divergence des séries suivantes : 1. S=X

k≥0

√

k 2. S=X

k≥1

1

3^k 3. S=X

k≥1

1

k^0.8 4. S =X

k≥1

1

k⁴ 5. S=X

k≥2

k²

k! 6. S=X

k≥2

(−1)^k ln(k)

Exercice IX.

Créer un programme court calculant n

p

et le tester/vérifier sur plusieurs combinaisons.

En fonction denetp, déterminer la complexité du programme.

Exercice X.

Créer des programmes calculant les termes successifs des suites suivantes, et déterminer leur complexité : 1.

( u₀= 1

un+1= 2un+ 1, n∈N 2.







u0= 1000

un+1= u²_n+ 2

2u_n , n∈N 3.

( u₀= −20

un+1= e^−un, n∈N

4.







u₀= 0 u1= 1

un+2= un+1+un, n∈N 5.







u₁= 6 u2= −3

un+2= u²_n+1−5un, n∈N 6.















u0= 1 u₁= −1 u2= 0

u_n+3= 2u_n+1−3u_n, n∈N

Exercice XI.

Pour les suites / séries des exercices précédents, illustrer la convergence / divergence en affichant graphiquement les termes de la suite.

C. Instruction IF

Exercice XII.

Créer un programme renvoyant un message d’erreur si l’utilisateur rentre un nombre négatif.

Exercice XIII.

Créer un programme renvoyant un message d’erreur si l’utilisateur rentre un nombre compris entre1et2.

Exercice XIV.

1. Créer les fonctionsf définies par :

a. f(x) =

( x²−3x+ 2 , si x≤0

xln(x) , si x >0 b. f(x) =







e^2x , si x≤1

−4x+ 7 , si 1< x <3 3x−5 , si x≥3 2. Les tester sur quelques valeurs numériques, puis tracer leur graphe.

Exercice XV.

Créer un programme résolvant une équation du second degré.

D. Boucle WHILE

Exercice XVI.

1. Créer un programme qui demande à l’utilisateur d’entrer un nombre positif tant qu’il n’en a pas entré un. Le tester.

2. Créer un programme qui demande à l’utilisateur d’entrer un nombre de[0; 1]tant qu’il n’en a pas entré un.

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Exercice XVII.

1. Créer un programme qui calcule le plus petit entiern∈N^∗tel que

n

X

k=1

1 k >10. 2. Combien d’opérations et d’affectations ont-elles été effectuées ?

Exercice XVIII.

1. Compléter le programme suivant, mettant en oeuvre la méthode de dichotomie : function y=f(x)

y=...

endfunction

eps=input(’entrez la précision voulue :’) a=...

b=...

while ...

c=...

if f(c)*f(a)>0 then ...

else

...

end end

disp(...)

2. L’utiliser pour résoudre les équations suivantes : (Une étude de fonction pourra aussi au préalable être nécessaire.) a. (E) : x³+x²+ 2x−6 = 0

b. (E) : ln(x) = 1

c. (E) : xln(x) = 1 d. (E) : e^x=x⁴

E. Simulation de lois discrètes

Exercice XIX.

1. Compléter la fonction suivante pour qu’elle simule une réalisation d’une v.a. de Bernoulli, à partir derand().

function y=B(p) u=...

if ...

y=...

else

y=...

end endfunction

2. La séquence de code qui suit affiche l’histogramme d’un échantillon de taille 10000 simulé à partir de la fonction :

p=0.4 v=[]

for k=1 :10000 v=[v ;B(p)]

end

histplot(2,v)

Expliquer ligne par ligne ce que fait cette séquence.

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3. Voici un programme à l’effet identique utilisantgrandet traçant un diagramme en bâtons (commandebar) : p=0.4

u=grand(1,10000,’bin’,1,p) y=tabul(u)

disp(y) clf()

bar(y( :,1),y( :,2),0.1)

Après avoir regardé ce qui est affiché dans la console, expliquer ce que fait la commandetabul.

Exercice XX.

1. Dans quel situation concrète retrouve-t-on la loi binomiale ?

2. Sans utilisergrand, créer un programme simulant une loi binomiale (paramètres aux choix), et afficher la distribu- tion des valeurs (via un histogramme ou un diagramme en bâtons, au choix).

3. Comparer à la distribution obtenue en utilisantgrand.

Exercice XXI.

1. Dans quel situation concrète retrouve-t-on la loi géométrique ?

2. Sans utilisergrand, créer un programme simulant une loi géométrique, et afficher la distribution des valeurs.

3. Comparer à la distribution obtenue en utilisantgrand.

Exercice XXII.

1. Dans quel situation concrète retrouve-t-on la loi uniforme ?

2. Sans utilisergrand, créer un programme simulant une loi uniforme sur un intervalle d’entiers[[a;b]], et afficher la distribution des valeurs.

3. Comparer à la distribution obtenue en utilisantgrand.

Exercice XXIII.

On considère la séquence : p=0.7

u=rand(10,1) y=length(find(u<p))

1. Quelle est la loi simulée par la séquence ?

2. Tracer l’histogramme d’un échantillon de cette loi.

F. Divers

Exercice XXIV.

1. a. Créer un programme qui calcule la puissance47^ed’un nombre, uniquement avec les opérations basiques, et de la manière la plus efficace possible.

b. Quel est le coût de ce calcul ?

2. Mêmes questions avec les puissances89^e,154^eet761^e.

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