Partie 1 : rappels sur la loi binomiale

Chap.11 :

Probabilités (LOIS A DENSITE)

La loi binomiale est un exemple de loi dont la variable aléatoire associée ne prend que des valeurs isolées, c’est une variable aléatoire dite discrète. On dit aussi que la loi binomiale est une loi de probabilité discrète.

Partie 1 : rappels sur la loi binomiale

On réalise un schéma de Bernoulli (répétition de n épreuves de Bernoulli dans des conditions identiques et indépendantes) où la probabilité du succès de l’épreuve de Bernoulli est p.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès (X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3… n).

On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètre n et p et on note X B^{(n ; p).}

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre n et p, alors :

(où représente le nombre de chemins de l’arbre ayant k succès pour n répétitions).

Exemple :

On lance un dé équilibré trois fois de suite et on note l’apparition du résultat 6.

On a déjà vu que c’est un schéma de Bernoulli avec S : « obtenir un 6 » et . On note X la variable aléatoire égale au nombre de 6 apparus : X B(…… ; ……).

……… ………

……… ………

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p : On appelle espérance de X le nombre réel noté tel que : . On appelle variance de X le nombre réel noté tel que : . On appelle écart-type de X le nombre réel noté tel que :

TUTORIELS CALCULATRICE SUR LA LOI BINOMIALE :

CASIO TI NUMWORKS

!

k n

k q

k p k n X

P ÷÷ø´ ´ ^-

çç ö è

=æ

= ) (

÷÷ø çç ö è æ k n

6

=1 p

» !

=0) (X

P P(X =1)»

»

=2) (X

P P(X =3)»

• E(X) E(X)=np

• V(X) V(x)=np(1-p)

• s(X) s(x)= np(1-p)= V(X)

Partie 2 : loi uniforme sur un intervalle [a ; b]

Parfois, la variable aléatoire prend des valeurs, non plus isolées mais, appartenant à un intervalle, c’est une variable aléatoire dite continue. La loi de probabilité qui lui est associée est alors appelée loi de probabilité continue.

Dans ce chapitre, on étudie trois exemples de lois de probabilités continues, appelées lois à densité pour lesquelles le calcul d’une probabilité revient à un calcul d’aire sous la courbe représentative d’une fonction.

a) Loi uniforme sur l’intervalle [0; 1]

Tout d’abord la loi uniforme modélise le choix d’un nombre réel au hasard sur l’intervalle [0 ; 1].

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1] et on note X ! (0 ; 1) lorsque pour tout intervalle I inclus dans l’intervalle [0 ; 1], la probabilité de l’évènement « » est l’aire du domaine

où f est la fonction constante définie sur l’intervalle [0 ; 1] par .

Illustration : On considère une variable aléatoire X suivant

une loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1].

Alors, pour tous nombres réels x1 et x2 de l’intervalle [0 ; 1] tels que , on a :

b) Généralisation à un intervalle [a ; b]

On peut généraliser la définition au choix d’un nombre réel au hasard dans un intervalle quelconque [a ; b] : Soient a et b deux nombres réels tels que .

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] et on note X ! (a ; b) lorsque pour tout intervalle I inclus dans l’intervalle [a ; b], la probabilité de l’évènement « » est l’aire du domaine où f est la fonction constante définie sur l’intervalle [a ; b] par . La fonction f est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur l’intervalle [a ; b].

Remarques : En particulier .

Pour tous réels x1 et x2 de l’intervalle [a ; b] tels que , on a On considère une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur un intervalle [a ; b].

Alors, pour tous nombres réels x1 et x2 de l’intervalle [a ; b] tels que , on a : . Remarques : On peut retenir cette formule par le calcul de l’aire d’un rectangle (voir illustration suivante).

Pour tout nombre réel x1 appartenant à l’intervalle [a ; b], on a : .

Illustration : Par des calculs d’aires de rectangles, on

retrouve les résultats suivants : I XÎ

{

}

2

1 x

x £

• P(x₁£X £x₂)=x₂-x₁

• P(X =x₁)=0

• P(X £x₁)=x₁

• P(X £1)=1

b a<

I XÎ

{

}

a x b

f = -1 ) (

• 1 1 ( )

) ( )

( = = W

´ - -

=

£

£ P

a a b

b b X a P

• x₁£x₂ £ £ =

ò

1

1 )

( _{1 2}

x x

a dx x b

X x P

2

1 x

x £

a b

x x x

X x

P -

= -

£

£ ₂ ^{2 1}

1 )

(

•• P(X =x₁)=P(x₁£X £x₁)=0

• P(a£ X £b)=1

• b a

x x x

X x

P -

= -

£

£ ₂ ^{2 1}

1 )

( 1

x1 I x2 1

x1 x2

a b

Exemple : Aux heures d’ouverture de la gare de Dreux, un train passe toutes les demi-heures à destination de Paris. Un voyageur qui n’a pas eu le temps de se renseigner sur les horaires, se présente dans la gare.

On note X la variable aléatoire donnant le temps d’attente, en minutes, de ce voyageur dans la gare.

1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ?

Le voyageur ne connaît pas son temps d’attente qui varie entre 0 et 30 minutes : cela revient à choisir un nombre réel au hasard dans l’intervalle [0 ; 30] donc la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 30].

2) Représenter, dans le repère orthogonal ci-contre, la fonction de répartition de X.

3) a) Calculer la probabilité que le voyageur attende exactement 11 minutes.

b) Calculer la probabilité que le voyageur attende entre 10 et 15 minutes.

c) Calculer la probabilité que le voyageur attende plus de 20 minutes.

c) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme

L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] est . Remarque : Le nombre correspond en fait au centre de l’intervalle [a ; b].

La variance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] est et son

écart-type est .

Reprise de l’exemple précédent :

1) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. Interpréter le résultat.

Sur un grand nombre de répétitions, le voyageur attendra en moyenne 15 minutes.

2) Calculer la variance puis l’écart-type de la variable aléatoire X.

et

Sur un grand nombre de répétition, l’écart moyen entre le temps d’attente et l’espérance est d’environ 8,66 minutes soit environ 8 minutes 40 secondes.

Partie 3 : loi exponentielle

Il existe une nouvelle loi de probabilité que l’on peut définir de la même façon qu’une loi uniforme mais avec une fonction de densité de la forme . On définit alors une deuxième loi à densité appelée loi exponentielle.

Soit l un nombre réel strictement positif.

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre l et on note 𝑋 ↪ 𝐸𝑥𝑝(𝜆) lorsque pour tout intervalle borné I inclus dans l’intervalle [0 ; [, la probabilité de l’évènement « » est l’aire du

domaine où f est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; [ par .

La fonction f est appelée fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre l.

0 0 30

11 ) 11

11 11

( ) 11

( =

-

= -

£

£

=

= P X

X P

6 1 30

5 0 30

10 ) 15

15 10

( = =

-

= -

£

£X P

3 1 3 1 2 0 30

0 1 20

) 20 0

( 1 ) 20 (

1 ) 20

( = - =

- - -

=

£

£ -

=

£ -

=

> P X P X

X P

2 b a+

2 b a+

12 ) ) (

(

a 2

X b

V = -

) 12

( b a

X = - s

2 15 30 ) 0

(X = + = E

12 75 900 12

) 0 30 ) ( (

2

= - =

= X

V s(X)= V(X)= 75 »8,66

e x

x!l ^-l

¥

+ XÎI

{

}

On considère une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre 𝜆.

Alors, pour tous nombres réels x1 et x2 de l’intervalle [0; +∞[ tels que , on a : 𝑝(𝑥_. ≤ 𝑋 ≤ 𝑥₀) = 𝑒³⁴⁵⁶ − 𝑒³⁴⁵⁸

𝑝(𝑋 ≤ 𝑥_.) = 1 − 𝑒³⁴⁵⁶ Remarques :

Pour tous nombres réels x1 et x2 de l’intervalle [0 ; [ tels que , on a :

= :−𝑒³⁴⁵;𝑥₀

𝑥_. = 𝑒³⁴⁵⁶− 𝑒³⁴⁵⁸

Pour tout nombre réel x1 de l’intervalle [0 ; [, on a :

= :−𝑒³⁴⁵;𝑥_.

0 = 1 − 𝑒³⁴⁵⁶ On a :

Autrement dit, l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la courbe "f vaut 1 u.a.

L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre l est .

Remarques : Si T, durée de fonctionnement d’un système non soumis à un phénomène d’usure, suit une loi exponentielle de paramètre l, alors s’interprète comme la durée de vie moyenne du système.

L’écart-type d’une loi exponentielle de paramètre l est rarement utilisé (pour info : ).

Exemple : On note T la variable aléatoire qui, à tout composant électronique d’un certain type, prélevé au hasard dans un stock, associe sa durée de fonctionnement (en heures) avant une défaillance.

On suppose que T suit la loi exponentielle de paramètre 0,0005 (taux d’avarie par unité de temps).

1) Donner la fonction de densité de cette loi. Pour tout réel t positif, . 2) On prélève un composant au hasard dans le stock.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

A : « La durée de fonctionnement du composant est inférieure à 1000 heures ».

B : « Le composant fonctionne encore au bout de 500 heures ».

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝑇 ≥ 500) = 1 − 𝑃(𝑇 ≤ 500) = 1 − ∫_C^DCC0,0005𝑒^3C,CCCD5𝑑𝑥 = 1 − [−𝑒^3C,CCCD5]^DCC_C = 1 − (1 − 𝑒^3C,0D) = 𝑒^3C,0D≈ 0,779

C : « La durée de fonctionnement du composant est comprise entre 500 et 1000 heures ».

= 𝑒^3C,0D− 𝑒^3C,D ≈ 0,172

3) a) Déterminer l’espérance de la variable aléatoire T.

b) Donner une interprétation de dans le contexte de l’énoncé.

Pour un très grand nombre de composant prélevés, la moyenne de leurs temps de fonctionnement est proche de 2000 heures.

2

1 x

x £

• +¥

2

1 x

x £ ^{£ £ =}

ò

ò

2

1

)

( )

( _{1 2} ^x

x x x

x

dx e dx

x f x

X x P

• +¥

ò

=

£

£

=

£ ¹

1 0

1) (0 )

(

x e xdx

x X P x X P

• lim ( ) lim ( )

0

x X P dt

t

f x

x

x = £

+¥

® +¥

®

ò

=l1 ) (X E

•

) (T E

• l

1

e t

t

f( )=0,0005 ^-0,0005

[ ]

5 000 , 0 ) 000 1 ( )

( ^{0,0005 1}₀^{000 0,5}

000 1 0

5 000 ,

0 = - = - »

=

£

=^{P T}

ò

A

P ^{x x}

) 1

( 1

) 500 (

) 000 1 ( ) 000 1 500

( )

(C =P £T £ =P T £ -PT £ = -e^-0,5- -e^-0,25 P

) (T

E 2000

5 000 , 0

1 ) 1

( = =

=l T E )

(T E

l

"f

x1 x2

I

Partie 4 : loi normale d’espérance µ et d’écart-type s.

Soient µ et s deux nombres réels tels que .

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type s et on note note 𝑋 ↪ 𝒩(𝜇; 𝜎) lorsque pour tout intervalle borné I inclus dans IR, la probabilité de l’événement « » est l’aire du

domaine où f est la fonction définie sur IR par .

La fonction f est appelée fonction de densité de la loi normale d’espérance µ et d’écart-type s.

Remarques : Pour tous nombres réels x1 et x2 tels que , on a :

On ne connaît pas l’expression algébrique des primitives de la fonction f, il est donc impossible de calculer directement cette intégrale.

On pourra seulement donner des valeurs approchées à l’aide d’une calculatrice, d’un tableur…

On admettra que l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe "^f, l’axe des abscisses, illimité à droite et à gauche, est égale à une unité d’aire.

La courbe "f admet la droite d’équation comme axe de symétrie et on a :

En conservant les notations de la définition précédente, l’espérance de X est et son écart-type est .

En conservant les notations de la définition précédente, pour tout nombre réel x2, la limite existe et est finie.

Cette limite est la probabilité de l’évènement « » (voir figure ci-dessous).

Remarque : De même, existe et est finie.

Cette limite est la probabilité de l’évènement « ».

>0 s

I XÎ

{

}

2

2 1

2 ) 1

( ^÷ø

ç ö è æ

s µ - -

p

=s

x

e x

f

• x₁£x₂

ò

ò

=

£

£ ²

1

2 2

1 2

1 )

( )

( ²

1 2

1

x x x x

x

dx e

dx x f x

X x P

•

•

• x=µ

5 , 0 ) ( )

(X £µ =P X ³µ = P

µ )= (X E s

= s(X)

ò

-¥

® s p

2

1

2

1 2

1

lim ²

x 1

x

x

x e dx

x2

X £

ò

+¥

® s p

2

1

2

2 2

1

lim ²

x 1

x

x

x e dx

x1

X ³

"f

x1 I x2

µ

= x

"f

x2

µ

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée-réduite lorsque X suit une loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 1 et on note donc 𝑋 ↪ 𝒩(0; 1)

Remarques : La fonction de densité de la loi normale centrée- réduite est la fonction f définie sur IR par :

Cette fonction est paire, sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

On a :

et

Exemple : Le cahier des charges de l’usinage d’une tige prévoit, pour sa longueur en cm, l’intervalle de tolérance [4,40 ; 4,80].

1) Le service qualité constate qu’un premier lot de tiges fabriquées correspond à une distribution normale de moyenne 4,52cm et d’écart-type 0,21cm.

Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit acceptable.

On considère la variable aléatoire X qui, à toute tige choisie au hasard dans le premier lot associe sa longueur en cm. X suit la loi normale N (4,52 ; 0,21).

À la calculatrice, on détermine que la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans ce lot soit acceptable est :

2) Après avoir procédé à un réglage, un second lot correspond à une distribution normale de moyenne (ou d’espérance) 4,70cm et d’écart-type 0,15cm.

Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans ce second lot soit acceptable.

On considère la variable aléatoire Y qui, à toute tige choisie au hasard dans le deuxième lot associe sa longueur en cm. Y suit la loi normale N (4,70 ; 0,15).

À la calculatrice, on détermine que la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans ce lot soit acceptable est :

3) Quel lot a sa moyenne la plus proche du centre de l’intervalle ?

et .

Le 1^er lot a sa moyenne la plus proche du centre de l’intervalle de tolérance.

4) Sur quel paramètre l’effet du réglage a-t-il été également bénéfique ?

Le réglage a eu pour effet de diminuer l’écart-type, c'est-à-dire la dispersion autour de la moyenne, ce qui a amélioré la conformité de la production.

Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, s),

alors , et .

TUTORIELS CALCULATRICE SUR LA LOI NORMALE :

CASIO TI NUMWORKS

•

2

2

2 ) 1 (

x

e x

f ^-

= p

•

• = p

2 ) 1 0 ( f

+ +¥

® ( )=0 lim f x

x

+ -¥

® ( )=0 lim f x

x

625 , 0 ) 80 , 4 40

, 4

( £X £ »

P

725 , 0 ) 80 , 4 40

, 4

( £Y £ »

P 08 , 0 52 , 4 60 ,

4 - = 4,70-4,60

68 , 0 ) (µ-s£ X £µ+s »

P P(µ-2s£ X £µ+2s)»0,95 P(µ-3s£ X £µ+3s)»0,997

"f

x2

x1

Illustrations :

Exemple :

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur en millimètre. On suppose que X suit une loi normale de moyenne 100 mm et d’écart-type s. On admet que la probabilité pour qu’une tige prélevée au hasard ait une longueur comprise entre 98mm et 102mm est 0,95. Déterminer une valeur approchée de s.

On a : donc soit .

P

sur l’intervalle [a ; b]

Loi exponentielle

de paramètre l Loi normale

d’espérance µ et d’écart-type s Fonction de

densité f

définie sur l’intervalle [a ; b]

par :

définie sur l’intervalle [0 ; [ par :

définie sur IR par :

Aire correspondant à la probabilité

Calculs de probabilités

𝑃(𝑥_.≤ 𝑋 ≤ 𝑥₀) = 𝑒³⁴⁵⁶− 𝑒³⁴⁵⁸ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥₀) = 1 − 𝑒³⁴⁵⁸

A la calculatrice ou au tableur Espérance

Variance et Ecart-type

Pas au programme de Terminale TI2D 95

, 0 ) 2 100 2

100

( - s£ X £ + s »

P 2s»2 s»1

a x b

f = -1 )

( +¥ f(x)=le^-lx

2

2 1

2 ) 1

( ^÷ø

ç ö è æ

s µ - -

p

=s

x

e x

f

) (x₁ X x₂ P £ £

a b

x x x

X x

P -

= -

£

£ ₂ ^{2 1}

1 )

(

) 2

( a b

X

E = +

=l1 ) (X

E E(X)=µ

12 ) ) (

(

a 2

X b

V = -

) 12

( b a

X = - s

) 2

(X =s V

s

= s(X)

"f

5 , 0 ) (X ³µ = P

µ µ

µ µ

"f

"f "f

µ - s µ + s

68 , 0 ) (µ-s£ X £µ+s » P

µ - 2s µ + 2s µ - 3s µ + 3s

95 , 0 ) 2 2

(µ- s£ X £µ+ s »

P P(µ-3s£X £µ+3s)»0,997