Douine – Terminale S – Travail à distance 42 - CORRECTION
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Savoir lire des tables de probabilités cumulées croissantes
Par lecture des tables donnant les probabilités cumulées croissantes de plusieurs lois binomiales, déterminer l’intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence dans chaque situation proposée :
Une loi binomiale B(80 ; 0,49). Intervalle de fluctuation à 95% = [30 ; 48]
Une loi binomiale B(100 ; 0,56). Intervalle de fluctuation à 95% = [46 ; 66]
Une loi binomiale B(200 ; 0,44). Intervalle de fluctuation à 95% = [74 ; 102]
Une loi binomiale B(250 ; 0,51). Intervalle de fluctuation à 95% = [112 ; 143]
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Exercice 1
Un professeur propose un QCM contenant 10 questions indépendantes. Chaque question a trois réponses possibles dont une seule est exacte. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au hasard aux dix questions.
1. Préciser quelle est la loi de probabilité suivie par X.
Binomiale de paramètres n=10 p=1/3
2. Déterminer l’intervalle de fluctuation à 95 % des valeurs de X.
Intervalle de fluctuation à 95% = [1 ; 6]
3. Chaque bonne réponse rapporte 2 points. Déterminer la probabilité d’avoir au moins 12/20 à ce QCM en répondant au hasard aux dix questions posées. Justifier votre réponse.
P(X>=6) = 1 – p(X<6) = 1 – p(X<=5) = 1 – 0.932 = 0.077
Exercice 2
Un homme politique affirme que 42% de la population votera en sa faveur lors des prochaines élections.
Une société de communication organise un sondage auprès de 140 personnes parmi lesquelles 45 déclarent penser voter pour ce candidat.
Peut-on mettre en doute, au seuil d’erreur de 5%, l’affirmation de ce candidat ? Justifier.
Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=140 et p=0.42 Intervalle de fluctuation à 95% = [47 ; 70]
45 n’appartient pas à cet intervalle.
Donc oui, on peut mettre en doute, au seuil d’erreur de 5%, l’affirmation de ce candidat.
Exercice 3
Déterminer le nombre minimal et maximal de femmes qu’une entreprise de 100 personnes peut employer pour éviter d’être accusée de ne pas respecter la parité hommes/femmes. Justifier.
Entre 40 et 60 : cela correspond à l’intervalle de fluctuation à 95% d’une loi binomiale de paramètres n=100 p=0.5
Déterminer le nombre minimal et maximal de femmes qu’une entreprise de 250 personnes peut employer pour éviter d’être accusée de ne pas respecter la parité hommes/femmes. Justifier.
Entre 110 et 140 : cela correspond à l’intervalle de fluctuation à 95% d’une loi binomiale de paramètres n=250 p=0.5
Vous pourrez utiliser les tableaux proposés ci-après pour répondre aux deux questions :
Probabilités cumulées croissantes et courbe de répartition d’une loi binomiale B(100 ; 0,5)
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Probabilités cumulées croissantes et courbe de répartition d’une loi binomiale B(250 ; 0,5)
Exercice 4
On présente dans le tableau ci-contre la répartition hommes/femmes de deux entreprises A et B comptant respectivement 100 et 250 employés.
F H
ENT A 42 58
ENTB 108 142
Ces deux entreprises respectent-elles la parité hommes/femmes ? Pourquoi ? ENT A
Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=100 et p=0.5 Intervalle de fluctuation à 95% = [40; 60]
42 appartient à cet intervalle.
Donc non, on ne peut remettre en question, le respect de la parité homme/femme.
ENT B
Je modélise la situation par une loi binomiale de paramètres n=250 et p=0.5 Intervalle de fluctuation à 95% = [110; 140]
108 n’appartient pas à cet intervalle.
Donc oui, on peut remettre en question, au seuil d’erreur de 5%, le respect de la parité homme/femme.
Probabilités cumulées croissantes et courbe de répartition d’une loi binomiale B(100 ; 0,5)
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