Schéma de Bernouilli & Loi Binomiale 1
Un peu d’histoire avant de commencer…
I. Généralités
On considère expériences aléatoires identiques successives. Si les résultats de chacune d’elles ne dépendent pas des résultats des précédentes, on dit que ces expériences sont indépendantes.
Exemple : lors de tirages successifs avec remise, les expériences sont indépendantes.
II. Épreuves et loi binomiale 1) Définitions
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement :
• L’une appelée succès notée dont la probabilité de réalisation est
• L’autre appelée échec notée ou dont la probabilité de réalisation est 1 − Exemple :
Le lancer d’une pièce de monnaie équilibrée est une épreuve de Bernouilli de paramètre = . Le succès est indifféremment « obtenir PILE » ou « obtenir FACE ».
1 − =
Jacques ou Jakok Bernoulli est un mathématicien et physicien suisse.
Né à Bâle en 1654, il se consacre à partir de 1976 à la physique et aux mathématiques. Il enseigne à l'université de Bâle à partir de 1682, devenant professeur de mathématiques en 1687. Il mérita par ses travaux et ses découvertes d'être nommé associé de l'Académie des sciences de Paris (1699) et de celle de Berlin (1701).
Il fut un des premiers à comprendre et à appliquer le calcul différentiel et intégral, proposé par Leibniz, découvrit les propriétés des nombres dits depuis nombres de Bernoulli et donna la solution de problèmes regardés jusque-là comme insolubles.
Il meurt en 1705.
Son œuvre majeure est Ars Conjectandi publiée après sa mort à Bâle en 1713, avec une préface de son neveu Nicolas Bernoulli. Il y pose les principes du calcul des probabilités et introduit les nombres de Bernoulli.
2) Propriété : loi de Bernouilli
2
Dans une épreuve de Bernouilli de paramètre , si on appelle la variable aléatoire prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, on dit que est une variable de Bernouilli de paramètre et qu’elle suit la loi de Bernouilli de paramètre .
1 0
1
Son espérance est
Sa variance est Et son écart-type est
III. Schéma de Bernouilli 1) Définition 1
On appelle schéma de Bernouilli comportant épreuves ( entier naturel non nul) de paramètre , toute expérience consistant à répéter fois de façon indépendante une même épreuve de Bernouilli de paramètre .
Exemple :
3 lancers successives d’une pièce équilibrée, en appelant succès l’obtention de PILE constitue un schéma de Bernouilli avec 3 et de paramètre
Un schéma de Bernouilli peut être illustré par un arbre.
Loi de probabilité
3
2) Définition 2
On considère un schéma de Bernouilli de épreuves ( entier naturel non nul), représenté par un arbre.
Pour tout entier naturel tel que 0 ≤ ≤ , on note & ' () *+,-.) /) 01),2*3 de l’arbre réalisant succès lors de répétitions.
Par convention, 90 0: = 1 Exemple :
Dans l’arbre ci-dessus, on a = 3 et pour = 0, il y 1 seul chemin réalisant 0 succès donc
;<=> = 1 ; pour = 1, il y a 3 chemins réalisant 1 succès donc ;<> = 3…
IV. ?.+@.2éBé3 /)3 ;CD>
1) Propriété 1 Pour tout entier naturel , ≥ 0,
&C
F' = )B &C C' =
2) Propriété 2
Pour tous entiers naturels et tels que 0 ≤ ≤ ,
&C
D' = & C C − D'
3) Propriété 3
Pour tous entiers naturels et tels que 0 ≤ ≤ − 1,
&C
D' = 9C −
D − : + 9C − D :
Ces 3 propriétés permettent de calculer les valeurs de & ' pour tout entier naturel ,
≥ 0 et pour tout tel que 0 ≤ ≤ .
Mais les calculs peuvent vite devenir fastidieux, c’est pourquoi on va se servir du triangle de Pascal.
4
V. Triangle de Pascal
Le tableau donne la valeur de & ' pour tout entier , ≥ 0 et pour tout tel que 0 ≤ ≤ à lNintersection de la ligne portant la valeur de et de la colonne portant la valeur de .
VI. Loi binomiale 1) Propriété
Dans un schéma de épreuves de Bernouilli de paramètre , la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de succès obtenus a pour loi de probabilité :
P = D = &C
D' D − CQD pour tout entier tel que 0 ≤ ≤ On dit que suit une loi binomiale de paramètre et est notée R C, .
Pour repérer une loi binomiale, trois conditions sont nécessaires : - la répétition de l’expérience
- deux issues pour chaque expérience - l’indépendance des résultats
2) Espérance et écart-type
L’espérance de la variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre n et p est
= et son écart type est S = 1 −
Exercice corrigé 5
Une entreprise possède 50 ordinateurs. La probabilité qu'un ordinateur tombe en panne est de 0,01. On suppose que le fonctionnement d'un ordinateur est indépendant des autres.
1. Calculer la probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne.
On note la variable aléatoire correspondant au nombre d'ordinateurs en panne.
On a alors = T 0; 1; 2; … ; 49; 50[
On considère l'épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre un ordinateur au hasard parmi les50 ordinateurs de l'entreprise et ayant les issues possibles : « l'ordinateur est en panne » ]^ = : « l'ordinateur n'est pas en panne ».
On a = 0,01 ]^ = 1 − 0, 01 = 0,99.
Ces ordinateurs étant indépendants les uns des autres, la loi de probabilité de suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,01 notée aussi ℬ 50 ; 0,01 .
2. Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
On veut calculer = 0 : = 0 = 950
0 : × 0,01=× 0,99a== 0,99a== 0,605
3. Calculer la probabilité de l'évènement E : « au moins un ordinateur est en panne » L'évènement E : « au moins un ordinateur est en panne » est le contraire de l'évènement F : « Aucun ordinateur n'est en panne », c'est-à-dire tous fonctionnent.
= ;c> = 1 − c = 1 − 0,99a=≈ 0,395
4. On note X la variable aléatoire donnant le nombre d'ordinateurs en panne parmi les 50 disponibles.
a) Que signifie = 3 ? Calculer ensuite = 3
C'est la probabilité que 3 ordinateurs sur les 50 soient en panne.
= 3 = 950
3 : × 0,01<× 0,99a=Q<= 19 600 × 0,01<× 0,99ef≈ 0,0122 b) Calculer ≤ 3 . Interpréter ce résultat.
≤ 3 = = 0 + = 1 + = 2 + = 3
= 0,99a=+ 0,01 × 0,99eg+ 950
2 : × 0,01 × 0,99eh+ 950
3 : × 0,01<× 0,99ef ≈ 0,699 La probabilité que 3 ordinateurs au maximum soient en panne est de 0,699.
c) Calculer . Interpréter ce résultat.
= 50 × 0,01 = 0,5
En moyenne, il y aura 0,5 ordinateurs en panne dans l'entreprise.
