Certificats de calcul différentiel et intégral

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Certificats de calcul différentiel et intégral

Nouvelles annales de mathématiques 5

série, tome 1 (1922), p. 269-276

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CERTIFICATS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL.

ÉPREUVE THÉORIQUE. — i° Question de cours. — Définir faire dune surface courbe, et calculer cette aire quand

Ann. de Mathèmat., 5- série, t. I. (Avril 1923.) 20

les coordonnées rectangulaires d?un point quelconque de la, surface sont exprimées en fonction de deux para"

mètres.

2° Problème. — Soient Ox, Oy, Oz trois axes de coor- données rectangulaires. Former Véquation aux dérivées partielles des surfaces S telles que le point 0 soit équidis- tant d'un point quelconque M de l'une des surfaces S et du point d1 intersection de la normale N en M à la surface S avec le plan xOy. Trouver et définir géométriquement une intégrale complète. Intégrer le système différentiel des caractéristiques et les définir géométriquement. Une courbe caractéristisque peut-elle être ligne asymptotique ou ligne de courbure d'une surface S?

SOLUTION DU PROBLÈME. — Avec les notations habituelles, l'équation aux dérivées partielles cherchée est

(i) (p*-+-q*)z-hi(pj:-l-qy) — z~o.

D'après les propriétés élémentaires de la parabole, une sur- face S dépendant de deux paramètres, donc une intégrale complète de l'équation (i), est formée par des cylindres para- boliques admettant le point O comme foyer et dont les géné- ratrices sont parallèles au plan xOy, ou par les paraboloïdes de révolution de foyer O et dont l'axe est dans le plan xOy. On vérifie ces deux résultats ou on les trouve directement sur le système différentiel définissant les caractéristiques de l'équa- ' tion (1). Sur le même système, on voit que ces caractéristiques sont des paraboles pouvant être définies comme les sections des cylindres paraboliques par les plans passant par la direc- trice de la section droite contenant Oz. Donc, sauf dégéné- rescence, une courbe caractéristique ne peut être ligne asymp- totique d'une surface (S) et, si elle est ligne de courbure, c'est nécessairement une parabole dont le plan contient Oz, de foyer O et dont Taxe est dans le plan xOy.

ÉPREUVE PRATIQUE. — i* Calculer Vintégrale définie

f.

( « 7 ' )

Soit Péquation linéaire du second ordre (t — x*)y" — xy'-h$y = 5x v/i — a?*.

Sachant que Véquation privée du second membre admet comme intégrale particulière un polynôme, trouver l'inté- grale générale de l'équation complète.

SOLUTION. — i° L'intégrale proposée est d'un type classique pour le calcul par la méthode des résidus. Chacune des trois déterminations de la fonction de variable complexe

est une fonction uniforme, si Ton fait une coupure sur Taxe réel entre les deux points z = o et z = i. Et l'intégrale de Fune de ces fonctions uniformes est nulle sur un chemin qui entoure la coupure et le point z = —i. Donc l'intégrale de la fonction considérée le long d'un lacet entourant les deux points z = o et z = i est égale à —2Tc.tR, R désignant le résidu de la même fonction z = — i. D'où, après une réduction simple, la valeur 2 Ü. La même intégrale peut d'ailleurs se ramener à une intégrale de différentielle rationnelle par le changement de variable :

2° Par substitution d'un polynôme à coefficients indéter- minés, on obtient de suite une première intégrale de l'équa- tion sans second membre :

Une seconde intégrale de la même équation est donnée par deux quadratures dont Tune est immédiate, et une intégrale particulière de l'équation complète est donnée par la méthode de variation des constantes. D'où l'intégrale générale

y =

A et B sont des constantes d'intégration.

La forme des intégrales indéfinies à calculer par la méthode précédente, ou même la forme de l'équation proposée, con- duisent au changement de variable

x = sin t, L'équation transformée

admet comme intégrale générale

y = A cos 3t -h B sin 3t H sin 11.

(Lille, juillet 1920.) ' ÉPREUVE THÉORIQUE. — On considère un système daxes rectangulaires : i° Vérifier que les surfaces intégrales S de Véquation aux dérivées partielles ( E) du premier ordre : (E)

[p(b— y) — q (a — a-Y] = 0, jouissent de la propriété suivante : sur une surface (S)

les courbes (C) le long desquelles le plan tangent à (S) demeure à une distance constante de l'origine sont aussi les courbes de contact des cônes circonscrits à (S), ayant leur sommet sur la droite (D) :

20 Montrer, sans calculs, que l'équation (E) admet comme intégrale complète une famille de cônes ayant leur sommet sur (D) et que les courbes (G) relatives à toutes les surfaces intégrales de (E) sont les courbes dun complexe. Achever l'intégration de (E). Que peut-on dire encore des courbes (G)?

3° Transformer Véquation (E) par la transformation définie par les relations

(2 73 )

La nouvelle équation (E') que Von obtient ainsi est linéaire. Intégrer (E?) et montrer quelle est la relation géométrique entre la congruence caractéristique de cette équation et Vintégrale complète de (E) précédemment trouvée.

SOLUTION, — i° Les deux familles de lignes envisagées dans l'énoncé sont définies par les relations

l'équation (E) est la condition de compatibilité entre ces deux relations.

2° Les cônes ayant leur sommet sur (D) et circonscrits aux sphères de centre O forment l'intégrale complète demandée.

Les courbes (G) sont caractéristiques de ( E ) ; ce sont des cercles, lignes de courbure des surfaces (S).

3" ï/équation (E') est

(\-+-x'*-Jr/*)(bp'—aq')—z'[x'(b — q') — y'(a — x')] = o;

sa congruence caractéristique est constituée par des courbes planes, polaires réciproques des cônes précédemment consi- dérés.

ÉPREUVE PRATIQUE. — Calculer à io~3 près l'intégrale

! ' . On calculera d'abord l'intégrale.

Jo x v l >I # -h i

m prise le long d'un contour formé d'un

z ^ ~ V / I , I 5 3 * » H - I

demi-cercle de centre O et d'une partie de l'axe des x.

SOLUTION. — En posant 2 cos a = v/i,i53, on trouve

4 sin ~

1

que Ton calcule par les tables.

(Dijon, juin 1920.)

ÉPREUVE THÉORIQUE. — I. x étant la variable indépen- dante et y la fonction inconnue, on considère l'équation (}) y"-+- P (œ)/+ Q (x)y = o,

et Pon demande :

(A) Quelle relation doit exister entre P et Q pour que réquation (1) admette deux intégrales linéairement distinctes dont l'une est la dérivée de Vautre, et d'inté- grer dans ce cas Inéquation;

(B) D'exprimer dans la même hypothèse, à l'aide d'une même fonction arbitraire, les couples de fonctions P et Q satisfaisant à la relation demandée ci-dessus;

(G) Si l'équation (ï)peut admettre, dans les conditions de (A) deux couples d'intégrales y\ et y\, y?,, et y'2, tels que y\, et y^ soient linéairement distinctes.

II. Étant donnée Véquation

(2) ( i - 4 - #2) ( i — x*¥y*— 4 # ( i — 0 7 2 ) / - + - ( 1 — ( 2) ~T

vérifier que Véquation sans second membre possède la propriété énoncée au paragraphe (A) et intégrer complè-

tement Véquation (1).

INDICATIONS POUR LA SOLUTION. — I. (A) On doit avoir

ou les conditions équivalentes / + - PO)7'-+- Q (x)y = o,

On en tire aisément la condition demandée Q'P»_ P'Q"-4_ Q'2_ PP'Q'-t- QP et, pour v, la valeur

(4) y = c P'

le cas ou ^ serait constant (y == ce kx) doit être exclu.

O

5)

(B) Les relations (3) donnent immédiatement P et Q expri- més à l'aide de la seule arbitraire^ (le cas de y = ce** étant toujours exclu).

(C) Soit

jKs = * t . r i •+•

on doit avoir

y\ = k\y\ +- *2 y\ = d'où

C2— Â ! ) ^ — - Art^ï = o.

On en conclut aisément que P et Q doivent être constants et, cette condition étant vérifiée, on obtiendra une infinité de couples répondant à la question. Si les racines de l'équation caractéristique sont distinctes il faudra prendre

avec

si ces racines sont égales,

II. La vérification n'offre pas de difficultés et la fonction y de l'égalité (4) est

c y/i — x*.

On en déduit la solution générale de l'équation proposée

ex(l r\2 I _ ! y= V ; _1_C l(I_a Pt ) * « .C 2a r (I_a 72 ) 2.

V^F — X2

ÉPREUVE PRATIQUE. — Calculer par la méthode des rési- dus, en utilisant des rectangles dont un côté est parai- lèle à Vaxe des quantités réelles, les intégrales suivantes prises le long de Vaxe des quantités réelles, a désignant une quantité complexe aH-iji dont la partie réelle a est

comprise entre o et i :

dx,

INDICATIONS. — Pour la première intégrale on intégrera le long du rectangle de hauteur 2 7u et de base — l, -\- l sur Taxe réel et l'on fera tendre / vers l'infini. On obtient ainsi :

T1 =

3 sin a n

Pour la seconde intégrale on trouvera de même (rec- tangle de hauteur 4^)

- __ 2 ( 1 — 2 a ) TU

sin

(Nancy, juin 1920.)