Calcul différentiel et intégral

(1)

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

Diby Diarra

(2)

Avant-propos

L’Université Virtuelle Africaine (UVA) est fière de participer à accès à l’éducation dans les pays africains en produisant du matériel d’apprentissage de qualité. Nous sommes également fiers de contribuer à la connaissance globale, pour nos ressources éducatives sont principalement accessibles de l’extérieur du continent africain.

Ce module a été développé dans le cadre d’un programme de diplôme et diplôme en

informatique appliquée, en collaboration avec 18 institutions partenaires dans 16 pays africains.

Un total de 156 modules ont été développés ou traduits pour assurer la disponibilité en anglais, français et portugais. Ces modules sont également disponibles en tant que ressources éducatives ouvertes (OER) à oer.avu.org.

Au nom de l’Université Virtuelle Africaine et notre patron, nos institutions partenaires, la Banque africaine de développement, je vous invite à utiliser ce module dans votre

établissement, pour leur propre éducation, partager aussi largement que possible et participer activement aux communautés AVU de pratique d’intérêt. Nous nous engageons à être à l’avant-garde du développement et de partage ouvert de ressources pédagogiques.

L’Université Virtuelle Africaine (UVA) est une organisation intergouvernementale

panafricaine mis en place par lettre recommandée avec un mandat d’augmenter l’accès à l’enseignement supérieur et de formation de qualité grâce à l’utilisation novatrice des technologies de communication de l’information. Une charte instituant la UVA Organisation intergouvernementale, signée à ce jour par dix-neuf (19) Les gouvernements africains - Kenya, Sénégal, Mauritanie, Mali, Côte d’Ivoire, Tanzanie, Mozambique, République démocratique du Congo, Bénin, Ghana, République de Guinée, le Burkina Faso, le Niger, le Soudan du Sud, le Soudan, la Gambie, la Guinée-Bissau, l’Ethiopie et le Cap-Vert.

Les institutions suivantes ont participé au programme informatique appliquée: (1) Université d’Abomey Calavi au Bénin; (2) University of Ougagadougou au Burkina Faso; (3) Université Lumière Bujumbura Burundi; (4) Université de Douala au Cameroun; (5) Université de

Nouakchott en Mauritanie; (6) Université Gaston Berger Sénégal; (7) Université des Sciences, Techniques et Technologies de Bamako au Mali (8) Institut de la gestion et de l’administration

publique du Ghana; (9) Université des sciences et de la technologie Kwame Nkrumah au Ghana; (10) Université Kenyatta au Kenya; (11) Université Egerton au Kenya; (12) Université d’Addis-Abeba en Ethiopie (13) Université du Rwanda; (14) University of Salaam en Tanzanie Dar; (15) Université Abdou Moumouni Niamey Niger; (16) Université Cheikh Anta Diop au Sénégal; (17) Université pédagogique au Mozambique; E (18) L’Université de la Gambie en Gambie.

Bakary Diallo le Recteur

Université Virtuelle Africaine

(3)

Auteur

Diby Diarra

Pair Réviseur

Marie Françoise Ouedraogo

UVA – Coordination Académique

Dr. Marilena Cabral

Coordinateur global Sciences Informatiques Apliquées

Prof Tim Mwololo Waema

Coordinateur du module

Florence Tushabe

Concepteurs pédagogiques

Elizabeth Mbasu Benta Ochola Diana Tuel

Equipe Média

Sidney McGregor Michal Abigael Koyier

Barry Savala Mercy Tabi Ojwang

Edwin Kiprono Josiah Mutsogu

Kelvin Muriithi Kefa Murimi

Victor Oluoch Otieno Gerisson Mulongo

(4)

Droits d’auteur

Ce document est publié dans les conditions de la Creative Commons Http://fr.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

Le gabarit est copyright African Virtual University sous licence Creative Commons Attribution- ShareAlike 4.0 International License. CC-BY, SA

Supporté par

Projet Multinational II de l’UVA financé par la Banque africaine de développement.

(5)

Avant-propos 2

Crédits de production 3

Copyright Remarquer 4

Supporté par 4

Aperçu du cours 10

Prérequis 11

matériaux . . . . 11

CC) Objectifsdu cours . . . . 11

dans les parts unidimensionnels . . . . . 11

dans chaque unité . . . . 12

Lectures d’ autres ressources . . . . 13

Unité de diagnostic . . . . 14

Les termes : . . . . 15

Activités d’apprentissage . . . . 16

détails des activités . . . . 16

Partie II - trigonometrie . . . . 18

Résumé del’unité . . . . 28

Critères d’évaluation . . . . 28

Unité d’évaluation sommative du diagnostic . . . . 28

Lectures d’autres ressources . . . . 30

Unité 1. Fonctions et limites des fonctions 31

Introduction à l’unité . . . . 31

Objectifs du module . . . . . 31

Termes clés . . . . 31

Les activités d’apprentissage . . . . 36

Détails de l’activité . . . . 36

conclusion . . . . 39

évaluation . . . . 39

(6)

Activité 1 .2 - Fonctions de R . . . . 40

Evaluation . . . . 42

Activité 1 .3 - Suites de R . . . . 50

Certaines suites notables: . . . . 51

Théorèmes sur les suites: . . . . 53

Théorèmes sur les suites de Cauchy . . . . 53

REMARQUE: . . . . 58

Activité 1 .4 - Limites de fonctions dans R . . . . 60

valeurs asymptotiques . . . . 62

limites infinies . . . . 63

Formes indéterminées . . . . 63

Théorèmes sur les limites . . . . 64

Unité Résumé . . . . 72

Évaluation de l’unité . . . . 73

Unité 2. Calcul différentiel dans IR 97

Introduction à l’unité . . . . 97

Objectifs de l’unité : . . . . 97

Termes clés . . . . 97

Activité 2 .1 - Fonction de continuité . . . . 99

Caractérisation continuité: . . . .101

conclusion . . . 104

(7)

Activité 2 .2 - fonctions dérivés en R . . . .107

Détails de l’activité . . . .107

Tangent et dérivé . . . . 108

Différentiabilité et la continuité . . . 109

dérivation des règles algébriques . . . 110

Dérivée de fonctions composées . . . . .111

Dérivées des fonctions remarquables . . . 112

Dérivée des fonctions implicites . . . 113

évaluation . . . 115

Activité 2 .3 - Les extrêmes de fonctions R . . . 122

Théorèmes de Rolle, Lagrange, Cauchy et l’Hôpital . . . 125

Monotonie des fonctions et des tableaux de variation . . . .127

Tracing graphe de fonction . . . . 129

Rudiments de équations différentielles du 1er ordre . . . .131

Évaluation de l’unité . . . 135

critères d’évaluation . . . 135

Unity 2 .1 . . . 135

Unité 2 .2 . . . 138

Unity 2 .3 . . . 146

Unité 3. Calcul intégral 149

Introduction à l’unité . . . 149

Objectifs de l’unité . . . . 149

Termes clés . . . . 149

(8)

Activité 3 .1 - Primitives et l’intégration dans l R . . . 150

Différentielle et forme différentielle . . . 152

Intégration des formes différentielles . . . 154

L’intégration technique . . . . 154

intégrales immédiates . . . 155

Intégration par parties . . . 156

Activité 3.2 - Séries infinies . . . 166

Conditions de convergence . . . 169

Série nature . . . . 173

Résumé des tests de convergence . . . 179

Activité 3 .3 - Zone régions fermées eteorema fondamentale Calcul . . . 184

Avant, quelques définitions: . . . 186

intégrale définie et ses propriétés . . . 188

Théorème de la moyenne pour les intégrales définies . . . 189

conclusion . . . .201

évaluation . . . .201

Résumé de l’unité 3 . . . 204

Unité 3 évaluation . . . 204

critères d’évaluation . . . 204

Unity 3.1 . . . 205

Unité 3 .2 . . . 209

Unité 3 .3 . . . 212

(9)

(10)

Aperçu du cours

Bienvenue dans le calcul différentiel appliqué

Le calcul différentiel est une méthode générale de résoudre des problèmes concrets.

Lors de l’application de la méthode du calcul, ou comme on l’appelle la méthode “infinitésimale”, un problème est” divisé en parties infinitésimales”

(différentiation),analysé dans ses relations avec les parties

voisines et plus tard “plus”(intégration) jusqu’à la solution de cette méthode:...

les deux parties de l’analyse et leur synthèse constituent un modèle pour des méthodes plus sophistiquées basées sur le calcul différentiel, sont utilisées dans des sciences appliquées.

Ainsi les statisticiens, physiciens et ingénieurs les emploient pour créer des modèles mathématiques de situations réelles d problèmes réels et simuler leurs résolutions dans différentes conditions de fonctionnement.

le calcul a été inventé par Leibniz (1684), mais la méthode d’application des résultats auront un impact surct de la publication du livre Newton

“Principes mathématiques de philosophie naturelle “en 1687.

Voir:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz%E2%80%93Newton_calculus_controversy

• https://archive.org/details/newtonspmathema00newtrich

Ce cours se veut une introduction à cette méthode, une entrée pour le début de la recherche et la recherche scientifique de différentiation sujets: .de base: traités

• les sujets suivants: mathématiques nombres et les fonctions simples, trigonométrie, les fonctions complexes et la géométrie analytique;

• fonctions dérivées, trigonométriques, y compris, exponentielle et logarithmique;

• méthodes de différentiation, les règles de différentiation: règle du produit, la règle du quotient, règle de facteur ; dérivés d’ordre supérieur .

• Applications de différentiation: Maximum et minimum, méthode pour résoudre des équations,

• calcul intégral: primitive l’opérateur inverse de la différentiation, différentielle, formes intégrales de Riemann, intégrales définies,

• des formulaires, des techniques d’intégration par parties, méthodes de substitution, fractions rationnelles, éléments d’intégration numérique, l’intégration des applications: valeur moyenne d’une fonction, calcul de la longueur, surface et volume;

(11)

Prérequis

Algèbre de base, compréhension base (opérations sur les ensembles numériques N, Z et Q) .de trigonométrie

matériaux

Les matériaux nécessaires pour ce cours comprennent:

• CALCUL de Géométrie analytique 3e édition, volume 1, Louis Leithold, Editeur Harbra Ltda, São Paulo 1994

• calcul de Géométrie analytique 2nd Ed, Smmons, G, McGraw-Hill, 1996;

• http://www.youtube.com/channel/UC4atV0sjMDVUW1v2ebQkCmQ http://www.

wikipedia.org/

• Software GeoGebra (http://www.geogebra.org/) wxMaxima(http://sourceforge.

net/ projets / wxMaxima /)(ou CAS autre disponible sous

CC) Objectifsdu cours

Après avoir suivi ce cours, les étudiants doivent être capables de:

• Déterminer le comportement général d’une fonction à partir du graphe, en étudiant le signe de la fonction entre les zéros, définir les points de discontinuité;

• Déterminer les points où une fonction atteint ses valeurs extrêmes;

• calculer la dérivée des fonctions élémentaires et calculer de dérivées de fonctions implicites;

• calcul de primitives de fonctions élémentaires, primitive d’une forme différentielle en utilisant des méthodes d’’intégration

• par parties pour calculer la superficie des figures planes délimitées par la représentation graphique de la fonction .

• l’application de la méthode de calcul à des problèmes

dans les parts unidimensionnels.

• Conduisez 0: Diagnostic

Cette unité présente une revue et rend le diagnostic des bases de l’algèbre (opérations sur les ensembles numériques N, Z, Q et R) et la trigonométrie, tout familiariser en étudiant avec le langage spécialisé de

• L’unité mathématiques.1:

• les fonctions et les limites de fonctions dans

(12)

Cette unité présente les éléments de base de R topologie, présente les fonctions réelles primaires et développe les méthodes de résolution des équations et des inégalités dans IR;

Introduction également des suites de R (fonctions de N dans IR) d’études la convergence des séquences de R, et étudie enfin limites de fonctions réelles, soit en points réels ou à l’infini

• l’unité de2:.Calcul différentiel dans

Cette unité suit la continuité des fonctions dans les dérivées et ‘interprétation de fonctions géométriques, le dérivé de formes extérieures différentielles dans , éléments de base d’équations différentielles du premier ordre;

• unité 3: calcul intégral dans

Cet appareil possède la primitive de fonctions élémentaires, ‘intégrale d’une forme

différentielle, le théorème fondamental du calcul, techniques intégration, intégrale de Riemann, l’interprétation géométrique de l’intégrale de Riemann et l’application de la méthode de calcul pour le calcul des surfaces et des volumes de figures et de solides géométriques élémentaires, l’évaluation

dans chaque unité

Outils d’évaluation formative pour vérifier les progressions de l’élève ou des élèves.

A la fin de chaque module sont présentés les outils d’évaluation sommative, comme les tests et Travaux finaux , qui comprennent les connaissances et les compétences étudiées dans le module.

La mise en œuvre des instruments d’évaluation sommative est à la discrétion de l’institution qui offre le cours.

La stratégie d’évaluation proposée

est le suivant: 1 unité 0 (évaluation formative)

10% 2 Unité 1 (évaluation formative)

20% 3 Unité 2 (évaluation formative) 30%

4 Unité 3 (évaluation formative) 30%

5 module (évaluation

sommative)

10%

unité de synchronisation sujets et des activités estimées temps de l’unité de0 Conférences + pratique +

évaluation de la formation

de 12 heures

Unité 1 Conférences + pratique +

de 24 heures

(13)

Unité 2 Conférences + pratique + évaluation de la formation

de 36 heures

Unité 3 Conférences + pratique +

36 heures

EVALUATION DE SORTIE 12 heures

Lectures d’ autres ressources

Lectures d’autres caractéristiques de ce cours sont:

Unité 0

Lectures d’autres ressources nécessaires:

Précalculus, Cynthia Young, John Wiley & Sons Inc., 2010;

algèbre et la trigonométrie, 3rd Ed, Cynthia Young, John Wiley & Sons Inc., 2013;

https://pt.khanacademy.org/math / Lectures d’autres caractéristiques optionnelles:

• http://pt.wikipedia.org/wiki

• http://www.youtube.com/channel/UC4atV0sjMDVUW1v2ebQkCmQ

Unité 1

CALCUL de Géométrie analytique 3e édition, volume 1, Louis Leithold, Editeur Harbra Ltda, São Paulo 1994

calcul de Géométrie analytique 2nd Ed, Smmons, G, McGraw-Hill, 1996;

calcul, Gilbert Strang, MIT, Wellesley-Cambridge Press, 1991 http://ocw.mit.edu/

resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/~~number=plural 0

lectures d’autres ressources optionnelles:

• https://pt.khanacademy.org/math/

• http://www.wikipedia.org/ http://www.wolfram.com/

(14)

Unité 2

Lectures d’autres ressources nécessaires:

calcul ade Géométrie analytique 2nd Ed, Smmons, G, McGraw-Hill, 1996;

resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/~~number=plural

• lectures d’autres ressources optionnelles :

Unité 3

calcul de Géométrie analytique 2nd Ed, Smmons, G, McGraw-Hill, 1996;

resources/res-18-001-calculus-online-textbook-spring-2005/textbook/~~number=plural lectures d’(autres ressources opionnellesi:

Unité de diagnostic

0. Introductionà l’Unité

Dans cette unité est procédé d’un examen et d’une évaluation de la connaissance des

conditions de base du calcul, y compris l’algèbre (opérations sur les ensembles numériques N , Z, Q et R) et la trigonométrie.

Objectifs de l’unité À la fin de

cette unité, vous devriez être capable de:

Exécuter Les opérations algébriques sur les ensembles numériques, à des aptitudes particulières, l’exponentielle et logarithmes R,

(15)

déterminer les cas dans lesquels certaines opérations algébriques ne sont pas définies;

déterminer les valeurs fondamentales de fonctions trigométriques utilisant cercle unité

Les termes :

Mots clés: Résultat comtes ou des mesures nombres naturels: résultat des chefs

Résultats d’induction: méthode de comparer IN avec d’autres ensembles opération binaire: les Éléments d’opérations qui vont dans

la somme de la transaction: répéter successivement la multiplication : l’unité

de comptage : additionnant successivement les portions identiques Puissances: multiplication successive identiques:

Commutatives termes les opérandes ordre peut être changé

associative: la combinaison d’opérandes peuvent être échangée élément neutre :composition invariante.

la deuxième base d’exploitation: première opération de puissance: fonction du second degré.

polynôme: la puissance de variable x . une base exponentielle: x variables racine:

de la puissance d’extraction la puissance de l’inverse,

logarithme en base b: inverse exponentiation;

cercle unité: lieu des points définis

Angle: mesure des angles, le déplacement angulaire sur le périphérique.

unité;

(16)

radian: l’unité de mesure de l’angle,

en degrés: unité de mesure d’angle (2π radians =

360) fonction cosinus: mesurer l’abscisse d’un point sur me cercle. unité;

Fonction Sinus: mesure ordonnée d’un point sur le cercle unité;

Fonction tangente :mesure le rapport entre le sinus et le cosinus..

Angle: mesure des angles, le déplacement angulaire sur le périphérique.

unité;

radian: l’unité de mesure de l’angle,

en degrés: unité de mesure d’angle (2π radians =

360) fonction cosinus: mesurer l’abscisse d’un point sur me cercle. unité;

Fonction Sinus: mesure ordonnée d’un point sur le cercle unité;

Fonction tangente :mesure le rapport entre le sinus et le cosinus..

Activités d’apprentissage

L’activité de Activités0.1 – Algèbre et Prérequis . Introduction

Première partie de cette activité est l’ensemble des nombres, les opérations sur les ensembles numériques, des opérations inverses, non définis .Deuxième partie est le cercle unité et la définition de radian comme une mesure d’un angle, les fonctions trigonométrique et identités de trigonométrie -.

détails des activités

Sous enembles et opérations dans IR

nombres le nombre de résultats ou de mesures. L’une de ces activités est une comparaison d’une quantité (pour le comptage ou de mesure) avec un disque (de comptage standard ou mesure). L’ensemble des nombres naturels, N = {1,2,3,...} ensembles- si la quantité d’actionnement que successive,«de répétition ‘ “unité l’opération multiplication comme la

«somme>>

Successive des parties identiques,”et l’opération de mise en valeur comme «succession de multiplication

Non identiques.”termes opérations inverses ne sont pas toujours nécessaire d’étendre

(17)

l’ensemble N = {1,2,3,...}pour Z = {...,- 2,-1,0,1,2, ...},à cette Q

=⋅⋅⋅{-1,⋅⋅⋅/(- 1) 2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅0,/1 2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅1} et enfin à Q Rpour assurer des résultats de exstência des opérations inverses.

Encore, il y a des exceptions où les opérations inverses ne sont pas définies dans R.

Les opérations de N et Z sont bien connues et ne seront pas examinées ici.

Tout élément Q peuvent être représentés par des fractions (p / q) ou p / q, p, q q⋅ ℤ, q ≠ 0 q où p est appelé le numérateur le dénominateur de la fraction sont définis :.

fractions égales (dans le sens des classes d’équivalence ):

(p / q) = (r / s) ≠ 0 ⋅ps =qr pour q ≠ 0,

l’inverse de fractions (p / q) ⋅¹ = (q / p), q ≠ 0, R ≠ 0

Ajouter des fractions revient à des fractions équivalentes ayant dénominateurs communs :(p / q) + (r / s) = ((ps + qr) / (QS)) q ≠ 0, s ≠ 0

Toute fraction peut être réduite à la forme (p / q), q ≠ 0 où p, q sont premiers entre eux (pas de diviseur commun sauf 1).

Règles de compatibilité de l’élément avec le Q n⋅ℕ puissance, p≠ 0,q ≠ 0, .: (p/ q) ⁿ =(pⁿ) /(qⁿ) (p/ q) ⋅ⁿ = ((p / q) ⋅¹) ⁿ =(qⁿ) / (pⁿ)

L’extraction de la racine est définie comme “puissance ≤de l’inverse

“: a ^ {1 / n} = x⋅a=xⁿ a≥0 si n est pair

a ≤0 si n est impair

On utilise également la notation: a^ {1 / n} = [n] √ (a) et [2] √ (a) = √a en ce qui concerne la définition des conditions, la compatibilité des règles des éléments, à l’extraction de la racine a, b⋅Q n⋅ℕ, a> 0, b> 0, soit

[n]√(a)[n]√(b)=[n]√(ab)=(ab)^{(1/n)}

[n]√(a)[m]√(a)=([nm]√(a))^{m+n}

[n]√([m]√(a))=[nm]√(a)=a^{(1/(nm))}

[n]√(a^{m})=([n]√(a))^{m}=a^{(m/n)}

(1/([n]√(a)))=(([n]√(aⁿ⋅¹))/a) (Rationalisation

de la fraction) Cependant, l’extraction de la racine n’est pas une fonction définie dans Q, par exemple √2⋅Qpar:.

(18)

Le logarithme en base b est défini Log_ {a} b = {x} ⋅a ^{x} = b pour tout a> 0 et b> 0.

ce qui concerne les conditions de règles de compatibilité pour les éléments avec Q logarithme pour a> 0,≠0,q> 0, p> 0, soit:

log_{a}pq=log_{a}p+log_{a}q log_{a}pⁿ=nlog_{a}p

log_{a}(p/q)=log_{a}p-log_{a}q log_{a}plog_{b}a=log_{b}p

Logarithme n’est pas non plus une opération binaire dans Q exemple log⋅3⋅Q multiplication.

En corps réel R peuvent être effectuées les opérations suivantes, pour garantir que le résultat y est un nombre réel

et est unique:

addition, soustraction,

; division (sauf par zéro),

un réel puissance sur aucune base positive ou pleine puissance sur toute base réelle (sauf de base zéro ),

l’extraction de la racine entière, pour tout nombre réel est l’indice d’un nombre impair, mais seulement en cas de non-négatif si la indice est même;

logarithme en base positive (autre que 1) pour tout nombre réel positif , , Opérations non définies dans corps réel

la division des par zéro, puissance zéro base zéro;

extraction de la racine couple de nombres négatifs;

logarithmes de base de 1 ou base positive non-positifs pour les nombres réels et un négatif l ogarithmes de base x.

Partie II - trigonometrie

Envisager un déplacement sur le cercle unité (rayon 1) centré en un point (origine), à partir d’une direction de référence (axe des abscisses.) la mesure du déplacement angulaire de la circonférence de l’unité est appelée angle, et l’angle correspondant à une unité de déplacement sur le cercle unité est appelé

(19)

radian: une autre unité de mesure d’angle est le degré: 2π radians = 360 degrés.Plusieurs positions intermédiaires peuvent être identifiées sur le pourtour de l’unité (noter la symétrie de la circonférence et les positions des points dans les quatre quadrants):

cosθ la fonction et sinθ sont définies comme des mesures d’abscisses et ordonnées,

respectivement d’un point sur le cercle unité , décalé θ d’un angle à l’axe de référence x égal à l’unité :

la relation trigonométrique plus importante vient de cette définition et le théorème de

Pythagore appliqué au triangle de côtés cosθ et sinθ d’hypoténuse 1 : cos²x + sin²x = 1

(20)

la seconde formule assez utile est cos²x-sin²x = cos2x

les cosθ et sinθ sont des fonctions périodiques de période égale à l’angle après un tour complet (2π rad). Les graphiques des fonctions sinus et cosinus, en prenant x que la valeur de l’angle:

Pour la symétrie du cercle unité, il est seulement nécessaire de connaître les valeurs θ sinθ etcosθ dans le premier quadrant:

les valeurs dans les autres quadrants peuvent être obtenues par la relation:

cos (π- θ) = - cos θ sin (π-θ) =sin θ

cos(-θ) = cos θ (cosinus est une même

fonction paire) sin(-θ) = - sin θ (sinus est une fonction impaire)

cos ((π / 2) - θ) = sin θ (sinus et cosinus sont complémentaires) sin((π / 2) -θ) = cos θ

(21)

Certaines propriétés des fonctions trigonométriques élémentaires:

zéros de cos x sont les valeurs x = (π / 2) + 2n π où n⋅ ℤ les zéros de sin x sont les valeurs x = n π où n⋅ℤ

Les deux sont périodiques de période 2π: cos (x + 2π) = cos x et sin (x + 2π) = sin x

deux sont des traductions de l’autre: cos (x + (π / 2)) = sin x sin (X- (π / 2)) = cos x

la tangente fonction est définie par le rapport des sinus et cosinus: tan x = (sin x) / (x cos )

Notez que la fonction ne soit pas définie dans le cosinus de zéros.

Conclusion,

Nous avons examiné les concepts de nombres algébriques (mesures sur la droite réelle) et des angles de trigonométrie (mesures sur le cercle unité).

Nous avons examiné les principales opérations, ses activités et inverse grandes exceptions / interdictions.

Note

Groupe au moins 5 et un maximum de 10 de ces questions dans chaque test d’évaluation 1-heure sans référence.

choisir différentes questions de type dans la préparation de chaque test, en changeant le paramètre et des données de base pour éviter des collages.

Chaque question vaut entre 10% et 20% selon le nombre de questions sélectionnées

1 - numéro : Dans le corps R ⋅A, b, c⋅ R prouver que a + c = b + c ⋅a

= b (coupe loi somme) réponse:

l’inverse de l’apparent “bonne définition” de la somme de: pour tout a, b, c⋅R, il en

résulte que si a = b alors a + c = b + c .

par conséquent, si a + c = b + c,

(22)

alors a +c + (- b) = a + c + (- b)

⋅a + (c + c) = b + (c + c)

⋅a =b

b 2- problème: Dans R corps à ⋅a, b, c⋅R prouver que a = b⋅a⋅c = b⋅c pour tout

Si c= 0 alors c = 0 = a⋅c= b⋅c Si c ≠ 0 alors c ⋅¹⋅R ec⋅c⋅¹=1 a=b

⋅a⋅(c⋅c⋅¹)=b⋅1

⋅(a⋅c)⋅c⋅¹=b

⋅(a⋅c)⋅c⋅¹⋅c=b⋅c

⋅(a⋅c)⋅(c⋅¹⋅c)=b⋅c

⋅a⋅c=b⋅c

3 - Problème: Dans le corps R ⋅a, b, c⋅R prouver: a⋅c b⋅c⋅a = = b que si c ≠ 0

Si c ≠ 0 alors c⋅¹⋅R ec⋅c⋅¹ = 1

= a⋅c b⋅c

⋅a⋅c⋅c⋅¹ = b⋅c⋅c⋅¹

⋅a⋅ (c⋅c⋅¹) = b⋅ (c⋅c⋅¹)

⋅a b =

4 - problème: dans le corps R ⋅a, b, c⋅R prouver que x = ba est la seule solution d’e (x/ a )= b

est la solution pour une (x/ a )= b = a + (ba) = (aa) + b = b est unique parce que si x ‘est alors

la solution (x’/ a )= b = b

⋅ à (x’/ a )= b ( ‘) = - a + b

⋅ (-a + at) + x’ = - a + b

⋅x ‘= ba

5 - Problème: dans le corps R à ⋅a, b, c⋅R prouver: Si a ≠ 0, alors y = (b / a) est la seule solution a⋅y = b

Si a ≠ 0 alors a⋅¹ ⋅R eb⋅a⋅¹ = (b / a)

(23)

est la solution pour a⋅y a⋅ = (b / a) = a⋅ (b⋅a⋅¹) = (a⋅a⋅¹) ⋅b = b est seulement parce que si y ‘ est alors

solution’ = a⋅y b

⋅a⋅¹⋅a⋅y ‘= a⋅¹⋅b

⋅y’ = a⋅¹⋅b = (

/ a) 6- problème: Dans le corps R à ⋅a, b, c⋅R prouver: Si a⋅b = 0 alors a = 0 ou b = 0 Soit a⋅b = 0⋅a ≠ 0 alors a⋅¹⋅R et

a⋅¹⋅ ( a⋅b) = a⋅¹⋅0

⋅ (a⋅¹⋅a) ⋅b = 0 ⋅=b=0

0 àb ≠ 0 la déclaration est identique

7 - problème: Dans le corps R à ⋅a, b, c⋅ R prouvant que: - (- a)

= a - (-a) + (- a) = 0 = a + (- a) - (- a) = 8- problème: Dans le corps de R ⋅a, b , c⋅R prouver que : -( a + b) = (- a) + (- b) = - a-b

- (a + b) + (a + b) = 0 = (- a) + a + (- b ) = b + (- a) + (- b) + (a + b)

par - (a + b) = (- a) + (- b)= a+b (- a) + (- b)

9 - problème: Dans le corps R ⋅a, b, c⋅R prouver :-( a⋅b) = (- a) = -b a⋅

(b) - (a⋅b)+ (a⋅b) = 0 = 0⋅b = ((- a) + a) ⋅b = (- a) ⋅b + (a⋅b) - (a⋅b) = (- a) ⋅b

10 - problème: l’R du corps à ⋅a, b, c⋅R prouver que: (- a) ⋅ (b) = a⋅(-b)

(-a) ⋅ (b) - (a⋅b) = (- a) ⋅ (-b ) + (- a) ⋅b = (- a) ⋅ ((- b) + b) = 0

= (a⋅) - (a⋅b) logo (-a) ⋅ (b) = A⋅B

11 - problème: Le corps R à ⋅A, b, c⋅R prouver: Si b ≠ 0, - (b⋅¹) = (- b) ⋅¹ Si b ≠ 0 alors b⋅¹⋅R et bb ⋅¹ = 1

(b) ⋅¹b = (- b) ⋅¹ (- (- b)) = - ((- b) ⋅¹ (b)) = - 1 = - (b⋅¹b) = ( - (b⋅¹)) b

Logo (b) ⋅¹ = - (b⋅¹)

(24)

12 - problème: Le corps R à ⋅a, b, c⋅R prouver: Si b ≠ 0 alors b⋅ⁿ = (b⋅¹) ⁿ Si b ≠ 0 alors b⋅¹⋅R eb⋅b⋅¹ = 1

induction:

b⋅¹ = (b⋅¹) ¹ = b⋅¹ Suposons b⋅ⁿ=(b⋅¹)ⁿ

b⋅⋅ⁿ⋅¹⋅=b⋅ⁿ⋅¹=b⋅ⁿb⋅¹=(b⋅¹)ⁿb⋅¹=(b⋅¹)ⁿ⋅¹

13 - Problème: Dans le corps R à ⋅a,b, c⋅R prouver que: (a / b) ≠ 0 si et seulement si a ≠ 0

Si (a / b) ≠ 0 alors ((a / b)) ⋅ ¹ = ((b / a)) ⋅R immédiatement ≠ 0 Supposons a ≠ 0⋅ (a / b) = 0 alors a⋅¹ ((a / b)) 0⋅ = (1 / b) = 0 contradiction le fait que 0 n’a pas inverse

conséquent ¬ (un a (a / b) = 0 ≠) ≠ 0⋅ ⋅a (a / b) ≠ 0

14 - problème: Dans le corps R à ⋅a, b, c⋅ R prouver que: (b / b) = 1 pour tout b

≠ 0

Si b ≠ 0 alors b⋅¹⋅R eb⋅b⋅¹ = (b / b) = 1

15 - problème: Le R de corps à ⋅A b, c⋅R prouver que: (a / b) ± (c / d) = (((±

ad-bc)) / (bd)) à b, d ≠ 0,

si b, d ≠ 0 alors b⋅ ¹, d⋅¹⋅R eb⋅b⋅¹ d⋅d⋅¹ = = 1

(((ad ± bc)) / (bd)) = (((ad ± bc)) / (bd)) (bd) (bd) ⋅¹ = (ad ± bc) (d⋅¹b⋅¹)

= ad (d⋅¹b⋅¹) ± bc (d⋅¹b⋅¹) = ± ab⋅¹ cd⋅¹

= (a / b) ± (c / d)

16 - problème: Dans le corps R à ⋅a, b, c⋅R prouver que: (a / b) ⋅ (c / d) = (((ac)) / (bd)), à b, d ≠ 0

Si b, d ≠ 0 alors b⋅¹, d⋅¹⋅R eb⋅b⋅¹ d⋅d⋅¹ = = 1 ((c) / (bd)) = ((c) / (bd)) (bd) (bd) ⋅¹ = ac (bd) ⋅¹

= c (d⋅¹b⋅¹) = (ab⋅¹)

(cd⋅¹) = (a/ b) ⋅ (c / d )

(25)

17 - problème: Dans le corps R à ⋅A, b, c⋅R prouver que: Si (c / d) ≠ 0 alors ((a / b) / (c / d)) = ((a⋅d) / (b⋅c))

Si b et d ≠ 0 alors b⋅¹, d⋅¹⋅R eb⋅b⋅¹ d⋅d⋅¹ = 1 = ((a / b) / (c / d)) = (a / b), (c / d) ⋅¹ = (ab⋅¹) (cd⋅¹) ⋅¹

= (ab⋅¹)

(c⋅¹d) = (d)(b⋅¹c⋅¹) = (d ) (bc) ⋅¹

= ((ad) / (bc))

18 - problème: trouver l’équivalent mesuré en radians (A) 60 = (π / 3)

(b) 135 = ((3π) / 4) (c) 210º=((7π)/6) (d) -150º=-((5π)/6) (e) 20º=(π/9) (f) 450º=((5π)/2) (g) -75º=-((5π)/(12)) (h) 100º=((5π)/9)

19 - Problème: Trouver la mesure équivalente en degrés aux valeurs données en radians (a) (1/6) = π 30

(b) (3/4) π = 135 (c) (4/3)π=240 (d) -5π=-900

(e) (1/3)=((180)/(3π)) (f) -5=-((5×180)/π)

(g) ((11)/(12))π=((165)/2) (h) 0.2=((36)/π)

20 - Problème: Déterminer la valeur exacte A sin( (4/3) π) = - (1/2) √3 (b) cos (- (1/6) π) = (1/2) √3

(26)

(c) sin7π = 0

(d) cos (- (5/2) tc) = 0

21 - problème: Utilisation de la periodicité et des valeurs dans la gamme 0≤t≤2π pour déterminer la valeur exacte de la fonction:

(A) sin (- (5/4) π) = (1/2) √2

(B) cos (- (5/4 π)) = - (1/2) √2

(c) s (- (5/4) π) = -√2 (d) csc (- (5/4) π) = √2

22 - Problème: Utilisation de la periodicité et des valeurs dans la gamme 0≤t≤2π pour déterminer la valeur et l’ tilisation de la periodicité acte de la fonction:

(A) sin ((7/2) π) = -1 (B) cos ((5/2) π) = 0

(c) s (((11) / 2) π) non déterminé

(d) csc ((9/2) π) = 1

23 - Problème: Utilisation de la periodicité et des valeurs dans la gamme 0≤t≤2π pour déterminer la valeur exacte de la fonction:

(a) tan ((4/3) π) = √3

(b) bébé ((4 / (32)) π) = 1 √2 +

(c) tan (- (1/6) π) = - (1/3) √3

(d) tan(- (1/6) π) = -√3

24 - Problème: Trouver toutes les valeurs de t dans l’intervalle [0,2π

[(a) sin t = -1, t = ((3π) / 2)

(b) cos t = 1, t = 0

(c) tan t = -1, t⋅ {((3π) / 4) ((7π) / 4)}

(D) sin t = 1, t = (π / 2)

[(a) sin t= - (1/2) t⋅ {((7π) / 6) ((11π) / 6)}

( b) cos t = (1/2) {t⋅ (π / 3) ((5π) / 3)}

(C) tan t =1, t = (π / 4)

(d) sin=(1/2, t⋅ {=(π / 3) ((5π) / 3)}

(27)

[(a) sin t = (1/2) √2, t⋅ {(π / 4) ((3π) / 4)}

(b ) cos t = - (1/2) √2, t⋅ {((3π) / 4) ((5π) / 4)}

(C) tan t - (1/3) √3, t = ( (11π) / 6)

(d) tan( √3)=t, t⋅ {(π / 3) ((4π) / 3)}

27 - Problème: Trouver tan θ est l’angle entre les lignes droites avec des inclinaisons donné (a) (1/2) et - (3/4)

arctan ((1/2)) = 0,46365 (/ π )) = 26. 565

arctan (- (3/4)) = -0,6435 ((/ π)) = -36. 870

26. θ = 565 - (- 36 870.) 63 435

= tan(63 435 ((π / (180))).) = 2,0 (B) (7.2) et (2.7)

arctan ((2/7)) = 0,27830 (/ π)) = 15 945

arctan ((2/7)) = 1 2925 ( ((180) / π)) = 74. 055

74. θ = 055- (15 945) 58. 11

= tan(58. 11 ((π / (180)))) = 1. 6072 (= (8 / 5))

28 - Problème: Trouver tan θ θ est l’angle entre les lignes droites avec des inclinaisons données

(a)- (3/5), et 2

arctg(- (3/5)) = -0,54042 ((/ π)) = -30. 964

arctan (2) 1. 1071 (((180) / π)) = 63. 432

63. 432 = θ - (-. 30 964) 396 =94

tan(94 396 ((π / (180). ))) = -13. 008 (= - ((13) / (100))) (B) - (3.1) et - (1 / (10))

arctan (- (1/3)) = -0,32175 ((/ π)) = -18. 435

arctan (- (1 / (10))) = -9. 9669 × 10⋅²

θ = (- 9 9669 × 10⋅².) - (-. 18 435) = 18 335 Tan (. 18 335 ((π / (180)))) = 0,33140 (= (1 / 3))

29 - problème: Trouver le plus proche 1 pour mesurer l’angle entre les droites avec les inclinations données

(A) -3 et 2

(28)

arctan (-3) = -1. 249 (((180) / π)) = -71. 562 arctan (2) 1. 1071 = (((180) / π))= 63 432

θ= 63. 432 - (-. 71 562) = 134. 99≈135º (complémentaire 180-135 = 45) (B) (2.3) et (4.1)

arctan ((2/3)) = 0,98279 (/ π)) = 56 310 arctan ((1/4)) = 0,24498 (180) / π))= 14 036 θ= 56. 310-14. 036 = 42. 274≈42º

Résumé del’unité

Dans cette unité un procédé d’examen et d’évaluation de la connaissance des conditions de base du calcul, y compris l’algèbre (opérations sur les ensembles numériques IN, Z, Q et IR) et la trigonométrie .

Dans la première partie de cette activité, les chiffres ont été traités, les opérations sur les ensembles numériques, des opérations inverses, les opérations ne sont pas définies dans IR.

Dans la deuxième partie traite du cercle unité et la définition de radian comme une mesure d’un angle, fonctions trigonométriques et les identités trigonométriques.

évaluation de l’unité Vérifiez votre compréhension

Unité d’évaluation sommative du diagnostic

Instructions

groupe un minimum de 5 et un maximum de 10 des questions suivantes à chaque test d’évaluation 1 heure, sans consultation

Choisissez différentes questions de type dans la préparation de chaque test, en changeant . les paramètres et les bases de données afin d’éviter collages

Critères d’évaluation

Chaque question vaut entre 10% et 20%, en fonction du nombre de questions sélectionnées 100 ;.

total des points attribués revenu entre 90-100 est excellent, résulter de 70-89 est bon;

résultat entre 50-69

est suffisante, à moins de50 résultats est insuffisante;

(29)

Note

résoudre pour la variable indiquée, si vous ne pouvez pas dire pourquoi:

12- [3 + 4m-6 (3m-2)] = -7 (2n-8) -3 [(m-2) + 3m-5]

2m-5m/8=3m/72+4/3

√(+m1)=-4

⋅(m +)-41 =

⋅(m + 1)⋅^(1/3)=-4

applique le logarithme de la propriété pour simplifier des expressions:lo⋅_g⋅⋅3 3⋅^

⋅^(-2log_(7 7 7) 3)⋅

-19⋅et⋅^(-2lnx^(2 Écris chaque) ) expression comme un seul logarithme:

2LOg_b u + 3LOg_ v

b ln√(x-1 +) ln√(x +1)-2ln(⋅x²⋅^ -1)

Utilisez le cercle unité pour trouver toutes les valeurs exactes de θ qui rendent vrai l’équation donnée, les gammes indiquées:

cosθ √(= 3)/2 0≤θ≤π 2 sinθ= -1.0≤θ≤4π tanθ= -1.0≤θ≤2π

Réduire la fonction trigonométrique donnée à une fonction équivalente avec l’argument dans le premier quadrant, ≤θ≤π0/2

cos(3πθ) - sin(6π+θ) tan(π/ 7 2 -θ)

Dire s’il est vrai ou faux la déclaration suivante

:«l’ensemble de l’équation solution x =(1 1)/(/ x)est l’ensemble de tous lesnombres réels

.”un médecin prescrit une quantité de 600 mg d’amoxicilline. La pharmacie a une seule suspension de l’amoxicilline avec une concentration de 125 milligrammes par 5 millilitres.

Combien de suspension liquide devrait être donnée au patient?

(30)

Réponses:

m = 2

m ne soit pas entier -65

m =-65

est pas possible (racine carrée est positif) m =

2.

7 1/9

-19 / x ^ 4 3.

log_ {b} u²v³ -3/2 ln(x^ 2) 4.

π-1/6etπ π

π3/2 11/6 3/πet 7/4 5

-(θ)

cos sin(θ) tan(π/ 2-6.θ) Faux (sauf

0) 7.24 ml

Lectures d’autres ressources

Lectures et autres caractéristiques de cet appareil sont dans la liste de «Lectures d’autres ressources de cours”.

(31)

Unité 1. Fonctions et limites des fonctions

Introduction à l’unité

Cette unité présente les éléments de base de R topologie, présente les fonctions réelles élémentaires et développe des méthodes de résolution des équations et des inégalités dans R;

Introduire également N fonctions pour des suite de R désigné, étudie la convergence des suites dans R, et étudier enfin les limites des fonctions réelles, aux points réels ou à l’infini

Objectifs du module.

à la fin de cette unité, vous devriez être capable de:

Déterminer le domaine des fonctions élémentaires

réelles;, résoudre des équations et des inégalités impliquant des fonctions réelles élémentaires, en particulier la valeur absolue et de déterminer les gammes de solutions

sketch sur le graphique des fonctions réelles élémentaires;

le calcul des limites de suites;

calculer les limites de fonctions réelles.

Termes clés

moins: relation d’ordre dans la R :

borne superieure : plus petit des majorants Borne inferieure :plus grands des minorants intervalle: subdivison de IR situé entre deux points

bornes de IR inférieure et supérieure de symbole -∞,+∞ c quadratique

Fonction rationnelle: f (x) en tant que rapport de polynômes

asymptotes verticales: ligne verticale x = a l’annulation de dénominateur de points;

Fonction des radicaux avec: f (x) avec des radicaux;

conjugués: Modes de + √2 et-√b

(32)

ε-voisinage: les points adhérents à a la distance la plus courte qui est c quadratique

amusant. Rationnelle: f (x) en tant que rapport de polynômes

asymptotes verticales: ligne verticale x = a l’annulation de dénominateur de points;

amusant. des radicaux avec: f (x) avec des radicaux;

conjugués: Modes de + √2 et-√b

ε-voisinage: les points de la distance la plus courte qui est ε

Point adhérant à A:Tout voisinage de A rencontre A

Point d’accumulation à A : Tout voisinage de A rencontre A en un autre point autre que a

ouvert: égal à son intérieur Fermé: égal à sa fermeture;

limite à l’infini +: la fonction sera probablement tout voisinage U si x → + ∞ limiter un point: la fonction sera probablement tout voisinage U si x → pour limite infinie: il n’y a pas de nombre réel avec une limite de propriété;

asymptote horizontale: la droite y = L où L est une limite à l’infini;

asymptotiques fonctions: la différence tend vers zéro.

asymptote oblique: une ligne droite y = mx + b asymptotique f (x) limites à droite et à gauche: la limite quand x tend vers un point voisin.

asymptote verticale: ligne verticale au point où la limite de la fonction est infini

(33)

Afin de convergence: relation d’équivalence dans C (R)

équivalence asymptotique: fonctionne de la même classe d’équivalence engendrée par l’ordre asymptotique.

Variable (var.): Nom d’éléments d’un ensemble indéterminé;

variable. indépendante: libre de prendre des valeurs arbitraires dans un ensemble;

variable dépendante: valeur résultant du calcul d’une expression analytique;

fonction (fun.): relation totale et univoque d’un ensemble A à un autre B;

Point du graphe:^{couple (}x, f (x)) ⋅A × B valeur de la fonction:Image d’un élément f (x) ⋅B

domaine ou ensemble de définition : tous les premiers éléments de la relation fonctionnelle;

codomaine : mettre de l’arrivée de la relation fonctionnelle;

Image: cj. toutes les valeurs de la fonction;

Graphique: cj. tous les points caractéristiques;

Fonction réelle : fonction d’un sous ensemble de R;

abscisse: axe horizontal dans le plan R ^ 2;

Asymtopte verticale dans le plan R ^ 2;

Traduction: tableau de variation;

Fonction. paire: la propriété f (x) = f (-x) Fonction impair: propriété f (x) = - f (-x)

Fonction. périodique: propriété f (x) = f (x + T)

période: T la plus petite valeure des éléments vérifiant f (x) = f (x + T) est la période;

(34)

Fonction constante:^lorsquey = c=f(x) ⋅x⋅Df où c est une constante;

Fonction. zéro: ^quand y = 0, ⋅x⋅Df

Fonction. près nulle: nulle sauf dans le sous ensemble de points dénombrables;

Zéro de f : solution de f (x) = 0

Les zéros: sous emsenble dont l’image est égale à zéro;

Les zéro sont intersection f (x) avec la fonction zéro 0

Fonction: l’image est la variable f(x) très indépendante x fonction. linéaire: foction de la. la forme f (x) =m x Fonction affine:. de la forme f (x) = mx + b

Fonction du second degré.est de la forme f (x) = ax²+bx+c

Fonction polynôme: fonction de. la forme f (x) = Σ_ {k = 0} ⁿa_

{k} x ^ {k}

Degré d’une fonction: plus grand exposant de x dans l’expression f(x) coefficients: termes multiplicatifs constants du polynôme;

droite: représenter graphiquement une fonction.

Tangente:de la pente directement à partir de l’horizontale;

intersection des ordonnées: ordonnée de la droite coupant l’axe vertical;

discriminant: expression impliquant les coefficients du second degré fonction Rationelle: f (x) en tant que rapport de polynômes

asymptotes verticales: ligne verticale x = a qui annulle le denominateur de f(x)

(35)

Fonction. des radicaux avec: f (x) avec des radicaux;

conjugués:^Modesde + √2 et-√b

ε-voisinage: les points de la distance la plus courte qui e adhérant toute interception de quartier conj.

construire tout intercepte quartier conj. sauf propre point

ouvert: égal à l’intérieur

Fermé: égal à sa fermeture;

limite à l’infini +: la fonction sera probablement tout voisinage U si x

→ + ∞

limiter un point: la fonction sera probablement tout voisinage U si x → pour

limite infinie: il n’y a pas de nombre réel avec une limite de propriété;

asymptote horizontale: la droite y = L où L est une limite à l’infini;

asymptotiques fonctions: la différence tend vers zéro.

asymptote oblique: une ligne droite y = mx + b asymptotique f (x) limites latérales: la limite quand x tend vers un point latéralement;

asymptote verticale: ligne verticale au point où la limite de la fonction est infinie

Afin de convergence: relation d’équivalence dans C (ℝ)

équivalence asymptotique: fonctionne de la même classe d’équivalence engendrée par l’ordre asymptotique.

(36)

Les activités d’apprentissage

Activité 1.1 - propriétés R- introduction

Être présenté à la propriété R-ordre, la propriété de la suprême et déduire quelques conséquences.

La ligne d’arrivée, avec l’introduction de symboles -∞, + ∞, et les opérations et les exceptions à ces symboles.

Quelques concepts topologiques associés à r points remarquables et sous-ensembles de R.

Détails de l’activité

R peut être muni d’une relation d’ordre (<) appelé «inferieur» et l’ordre inverse (>) appelé

“supérieure” de la manière suivante: étant donné deux nombres réels a, b on a l’une des conditions vraie:a <b ou b <a 0 <b puis ba> 0.

Mettre en place (≤) peut “inférieur ou égal” pour être équivalent à plus petite (<) ou égal (=).

Le modèle R géométrique est un ensemble de points sur une ligne continue et graduée, appelée la ligne réelle:

Un sous-ensemble de R A est augmentée si ⋅b⋅R, ⋅x⋅A, x≤b; élément b est appelée borne supérieure de A. définition similaire est donnée pour borne inférieure de A.

Un sous-ensemble de R A est bornée a borne supérieure et la borne inférieure (en utilisant le terme «borné» au lieu de «limité» pour éviter de surcharger ce dernier).

Par exemple [2, + ∞ [a bornes inférieures, mais ne se limite pas; 4 est une borne supérieure de] -3.3 [; Et une réduction de -2] 1, + ∞ [

La borne supérieure est appelée suprême sous-ensemble de A⋅R et la borne inférieure est appelé le plus petit sous-ensemble A⋅R

Par exemple β est superieur à A ssi x≤β, ⋅x⋅A et γ <γ alors β est sans borne supérieure de A.

L’ensemble R a la propriété de la borne supérieure, à savoir tout sous-ensemble de A⋅R majorée admet une borne supérieure ,tout sous ensemble minoré ad(similaire à d’autres cas de démarcation)

Un intervalle de R est un sous-ensemble de I⋅R avec la propriété suivante (convexité): x, y⋅I, x≤a≤y⋅a⋅I

(37)

A noter que x≤a≤y moyens x≤a⋅a≤y Un intervalle peut être

ouvert (a, b) = {x⋅R: a <x <b} ou] a, b [ Fermé: [a, b] = {x⋅R: a≤x≤b}

semi-ouvert (a, b] = {x⋅R: un <x≤b} et [a, b) = {x⋅R: a≤x <b}

Points a, b sont appelés les extrémités de l’intervalle.

L’ensemble R comme un sous-ensemble de lui-même,n’ est pas bornée, à savoir, n’a pas de limite supérieure ou de limite inférieure.

Donc, il est commode d’introduire deux symboles -∞, + ∞ avec les propriétés suivantes:

tout nombre réel est plus élevé que -∞;

tout nombre réel est inférieure à + ∞;

et définir la droite achevée ou «fermeture de IR» notée par

⋅IR définie par des intervalles qui peuvent être écrits comme:

R U {- ∞, + ∞} ou[- ∞, + ∞].

Notez que les symboles -∞,et + ∞ ne sont pas des nombres réels, il ne remplit pas toutes les propriétés des nombres réels, (⋅IR n’est pas un corps algébrique).

Certaines opérations pas définis dans R peut maintenant être configuré en ⋅IR 1/0 = +∞ et (- 1) / 0 = -∞

et d’autres opérations peuvent être définies dans θIR:

1 / (+ ∞) = 0 (1) / (+ ∞) = 0

+ ∞ + (+ ∞) = + ∞, -∞ + (- ∞) = - ∞ + ∞ x (+ ∞) = + ∞, -∞ x (-∞) = + ∞ x + (+ ∞) = + ∞, ⋅x⋅R

x + (- ∞) = - ∞, ⋅x⋅R x (+ ∞) = + ∞se x> 0 x (+ ∞) = - ∞se x <0

(38)

Cependant, certaines opérations sont pas encore définies dans ⋅IR :

∞ × 0, ∞-∞, 0/0, ∞ / ∞, 0 ^ 0.

Ces opérations ne sont pas définies dans ⋅IR parce qu’ils ont un seul résultat, cependant, peut avoir des résultats, en fonction de chaque cas. Plus tard, nous saurons comment déterminer ces valeurs pour chaque cas (lever des indéterminations ).

La distance entre deux points sur la ligne droite a , b⋅R est donnée par la valeur absolue de la différence entre les deux chiffres, | a-b |.

Les propriétés psychométriques de la distance entre deux points d’abscisses a, b⋅R sont:

| ab | ≥0, ⋅a, b ⋅R

| ab | = b = 0⋅a=1et b>0

| ab | = | ba |=| a| b

| ab | = | a| | b |, a,b ⋅R

| ab | ≤ | c| +| ab |, c⋅R

| a+b | ≤ | a| +| b |, a,b ⋅R

La distance d’un point quelconque x⋅R à zéro est donnée par la valeur absolue | x-0 | = | x | L’ensemble des points qui sont éloignés de la distance θ moins que l’on appelle un

ε-voisinage:

V_} {ε (a) = {x⋅R: | x | <ε}

et correspond à un centre de plein intervalle a et de rayon θ:

V_} {ε (a) =] a- ε, a + ε [ Points remarquables d’un sous-ensemble de E⋅R:

a est un point de E intérieur ssi il est centre d’un intervalle ouvert inclus dans E: Pour tout θ> 0 on a V_ {} ε (a) ⋅E

a es un point l’extérieur et si et seulement si il existe un voisinage de a ‘inclus dans le complément de E: il existe ε> 0 tel que

] a- ε, a + ε [ inclus dans C E= R-E

A est un point frontière E ssi il n’est ni dedans E ni en dehors de E.

a est un point adhérent de E si et seulement si tous les voisinages de a rencontrent un élément de E: pour tout ε> 0, ε V_ {} (a) ∩E ≠ ⋅

a est un point d’accumulation de E si et seulement si tout point a un voisinage de l’élément et différent de l’: Toute ε> 0, (V_ {ε} (a) - {a}) ∩E ≠ ⋅

a est un point de E ssi isolé {a} est un quartier d’un, depuis un certain ε> 0

(39)

Ex: La différence entre les points adhérentes et les points d’accumulation est que tout point d’accumulation est un point adhérent mais il y a des points collants qui ne sont pas accumuler des points: les points isolés.

ℕotables sous-ensembles de E⋅R:

INTE: Intérieur de E, il est l’ensemble de tous les points intérieurs de E Exte: extérieur de E, il est l’ensemble de tous les points extérieurs de E

∂E: Maple E, il est l’ensemble de tout ce que j’ais points

⋅E: Fermeture E, est l’ensemble de tous les points adhérentes de E ‘: dérivé de E’, est l’ensemble de tous les points et l’accumulation de La caractérisation de certains sous-ensembles:

Il est ouvert si et seulement si tous ses points sont intérieurs à E Il est fermé si et seulement si E ^ {c} complément de E est ouvert.

E est dense dans R ssi ⋅E = R (fermeture est tout R) Il est rare dans R ssi Int (⋅E) = ⋅

Et il est parfait si fermé sans points isolés.

conclusion

Cette unité R a été caractérisée comme un corps possédant la propriété de la Cour suprême.

Tout autre ensemble avec les mêmes propriétés est isomorphe à R.

Elle a est la droite numérique., Avec l’introduction des symboles -∞, + ∞, et les opérations et les exceptions à ces symboles (forme indéterminée).

la terminologie est présentée comme ayant les points remarquables et les sous-ensembles de R.

évaluation

Groupe d’un minimum de 5 et un maximum de 10 questions dans chacun des test d’évaluation suivante de 1 heure sans consultation.

Choisissez différentes questions de type dans la préparation de chaque test, l’évolution des paramètres et base de données pour empêcher le collage.

Chaque question vaut entre 10% et 20%, en fonction du nombre de questions sélectionnées.

(40)

Activité 1.2 - Fonctions de R

introduction

Cette unité présente les fonctions de base dans R et calcule leurs domaines résoudre certaines inégalités.

Elle présente également en détails la méthode de résolution des inégalités en étudiant les fonctions de signal entre des zéros ou des points de discontinuité.

Détails de l’activité

Une fonction est une application du domaine A à un ensemble d’arrivée B.de tous les éléments de domaine de A doit être liée à un élément de l’ensemble d’arrivée B et sans ambiguïté, car aucun élément de domaine de A ne peut être lié à un seul élément de l’ensemble d’arrivée B.

Une fonction d’indiquer objectivement comment les éléments de x⋅A domaine portent sur les éléments y⋅B Ensemble d’arrivée.

La manière “classique” de la définition d’une fonction est une relation fonctionnelle y = f (x), où f (x) est une expression analytique de la variable x.

Le domaine d’une fonction dans R, lorsqu’ils ne sont pas spécifiés, est définie comme la plus grande partie de R où l’expression analytique f(x) a une signification pour les opérations définies dans R.

Rappelez-vous que les exceptions mentionnées ci-dessus dans les unités précédentes pour les opérations de R sont:

division par zéro;

de base zéro de puissance zéro;

extraction de la racine couple de nombres négatifs;

logarithmes de toute base de nombres réels positifs pas;

logarithmes de base ou la base égale à 1 négative.

Dans la détermination de la zone, les exceptions donnent lieu à des équations ou des inégalités:

Ex: Si une fonction est donnée par y = √ (g (x)), le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs, où g (x) ≥0.

Une méthode de résolution des inégalités dans R, soit f (x) ≥0, comprenant:

trouver les zéros et les points de discontinuité de l’image f (x).

étudier le signe de f (x) entre les zéros et / ou discontinuités, parce que ce sont les seuls endroits où une fonction réelle peut changer de signe;

déterminer la fréquence à laquelle la fonction a s un signe qui satisfait à l’inégalité.

(41)

Rappelons quelques propriétés des fonctions élémentaires:

polynôme f (x)

f (x) = ax + b, a ≠ 0: racine (ou nulle) est b / a, et le signal à: (+, -) informe sur la base du signal: (-, +) avant la racine;

f (x) = ax ^ 2 + bx + c, a ≠ 0: signe du discriminant Δ = b²-4ac informe qu’il y racine dans R et la résolution de la formule (ou cas notables) fournit la valeur des racines. Le signe de a (+, -) indique le signe de la fonction: (-, +) entre les racines. Quand il n’y a qu’un signe zéro avant et après sont les mêmes. Pour les commandes cubes et plus élevés, estimer un zéro et de l’affacturage en trouver d’autres. Le nombre de zéros dans R est toujours inférieur au degré du polynôme égale ou. Quoi qu’il en soit le théorème fondamental d’algèbre

garantit e au moins n racines à une équation polynômiale de degré n.

Rationnelle: (f (x)) / (g (x)) où f (x) g (x) sont des polynômes il y a des zéros lorsque le dividende est égal à zéro (applique le cas précédent) discontinuité existe lorsque le diviseur est zéro (le cas échéant le cas précédent) radicaux: n√ x = g (x))

Extraction de la racine est poteciação par les factions;

calculer le x domaine que la plus grande partie de R pour lequel l’expression est définie, g(x) existe pour (x) ≥0 quand n est pair si n est impair, il n’y a aucune restriction).

Dans la recherche de zéros est tenté d’isoler le radical d’un côté de l’équation pour élever les deux membres à la puissance n terme. (Le résultat doit être vérifié car ils peuvent avoir des valeurs qui ne sont pas partie de la solution)

Dans le cas de la fraction avec le dénominateur du type a+ √b, est multiplié par (a-√b) / (a-√b) à condition que b ≠ a² (à noter que cette multiplication est toujours possible par le fait que l’on multiplie par + 1)

valeur absolue: | g (x) |

Par définition, la valeur absolue équivaut à la disjonction de conjonctions suivantes: (| g (x)

| = g (x) si g (x) ≥0 et module( -g (x) si g (x) <0)

Remarque: Ne confonder pas les accolades de l’algèbre linéaire (et) avec la définition .du module de g(x).

Remplacer la valeur absolue par des expressions simples et appliquer le cas précédent.

si la fonction a plusieurs expressions ayant une valeur absolue, le procédé est appliqué à chacune des expressions et le résultat est la conjonction dans les cas de chevauchement.

systématiser le travail dans un cadre du signe approprié.

Exponentielle: x^a=g(x)

le nom de domaine ne dépend que g (x)

(42)

Il n’a pas de racines et est toujours positif.

Lorsque la base a> 1, la fonction est monotone croissante et préserve l’ordre: ⋅⋅ x_1≤ _ x_2⋅f (x 1) ≤f (x 2)

avec l’exposant compris entre zéro et un, 0 <a <1, la fonction inverse l’ordre.

Quand a=n le cas particulier de l’exposant naturel.

Logarithme (naturel): log ⋅⋅ _b g (x) La base B doit être positif et différent de 1

⋅⋅ _b Connecter g (x) est défini seulement dans le domaine 0 <g (x) <+ ∞ Il a zéro à g (x) = 1

est négatif (-) si 0 <g (x) <1 est positive (+) à g (x)> 1.

Lorsque la base b = n t a le logarithme naturel Trigonométrique (élémentaire):

g(x)= cos (x) a des racines si g (x) est comprise entre -1 et +1;

g(x)= sin (x) a des racines si g (x) est comprise entre -1 et +1

g(x)=tan (x) = (sin (x)) / (cos (x)) a des zéros dans g (x) = (n (1/2)) π, n⋅ℤ, et a des discontinuités dans g ( x) = nn, n⋅ℤ est toujours en croissance entre les «lèvres»

conclusion

Une fonction est une relation univoque d’un domaine à un ensemble d’arrivée et fonctionnel formule y = f (x) concerne le domaine x avec des éléments y de l’ensemble d’arrivée.

Le domaine de la détermination d’une fonction de R peut donner lieu à des inégalités ou des équations qui sont des conditions restrictives sur le f d’expression analytique (x) d’une fonction;

.. A de la résolution d’un premier méthodes d’inégalité est zéros ou des discontinuités expression analytique puis étudie le signe de cette expression entre des zéros ou des discontinuités.

Les expressions analytiques de base sont polynomiales, rationnelles, avec radical, exponentielle et logarithmique.

Evaluation

Groupe d’un minimum de 5 et un maximum de 10 questions dans chacun des test d’évaluation suivante de 1 heure sans consultation.

Choisissez différentes questions de type dans la préparation de chaque test, l’évolution des paramètres et base de données pour empêcher le collage.

(43)

Chaque question vaut entre 10% et 20%, en fonction du nombre de questions sélectionnées.

1 - Problème: Déterminer le domaine ,et l’image de la fonction définie par G (x) = 5-x² réponse:

Dom (G) = R

Im (G) =] - ∞, 5]

2 - Problème: Déterminer le domaine et l’image de la fonction g g (x) = √ (9-x²)

réponse:

Dom (g) = [- 3,3]

Im (g) = [0,3]

3 - Problème: Déterminer le domaine, l’image de la fonction h définie par h(x) = | x-1 |

réponse:

Dom (h) = R

Im (h) = [0, + ∞ [

4 - Problème: : Déterminer le domaine, l’image de la fonction h définie par h(x) = | x | -1

réponse:

Dom (h) = R

Im (h) = [- 1, + ∞ [

5 - Problème: : Déterminer le domaine, l’image de la fonction F définie par de F (x) = ((4x²- 1) / (2x + 1)) = 2x-1

réponse:

Dom (F) = R - {- (1/2)}

Im (F) = R - {- 2}

6 - Problème: : Déterminer le domaine, l’image de la fonction définie par g(x) = ((X³-3x²-4x + 12) / (x²-x-6)) = x-2

réponse

Dom (g) =] - ∞, -2 [⋅] -2.3 [⋅] 3, + ∞ [ Im (g) =] - ∞, -4 [⋅] -4.1 [⋅] 1, + ∞ [

(44)

7 - Problème: : Déterminer le domaine, l’image de la fonction f définie par f (x) = {x

²-4 si x ≠ -3, -2 et si x = -3⋅

réponse:

Dom (f) = R

Im (f) =] - 4, + ∞ [

8 - Problème: : Déterminer le domaine, l’image de la fonction φ définie par φ (x) = {x + 5 si x <-5, √ (25-x²) si -5≤x≤5, et x-5 si x> 5⋅

réponse Dom (φ) = R Im (φ) = R

9 - Problème: Déterminer le domaine, l’image de la fonction θ définie par (x) = {6x + 7 si x <-2, 3 si x = -2 et 4 x si x> 5⋅

réponse:

Dom (φ) = R

Im (φ) =] - ∞, 6]

10 - Problème: Déterminer le domaine, l’image de la fonction G définie

par G (x) = (((x ² + 3x-4) (x²-5x + 6)) / ((x²-3x + 2) (x-3) )) = x + 4 réponse:

Dom (φ) =] - ∞, 1 [⋅] 1.2 [⋅] 2.3 [⋅] 3, + ∞ [ Im (φ) =] - ∞, 5 [⋅] 5.6 [⋅] 6.7 [⋅] 7, + ∞ [

11 - Problème: Déterminer le domaine, l’image de la fonction θ définie (x) = √ (x²-5x + 6) réponse:

Dom (φ) =] - ∞, 2] ⋅ [3, + ∞ [ Im (φ) = [0, + ∞ [

12 – Problème : Déterminer le domaine, l’image de la fonction f définie par f (x) = ((X³ 3x² + + x + 3) / (x + 3)) = x² + 1

Dom (f) =] - ∞, -3] ⋅ [-3, + ∞ [ Im (f) = [1, + ∞ [

13 – Problème : Déterminer le domaine, l’image de la fonction θ définie par F (x) = ((X⋅ + X³-9x²-3x + 18) / (x² + x-6)) = x²-3

(45)

réponse:

Dom (φ) =] - ∞, -3]] - 3,2 [⋅ [2, + ∞ [ Im (φ) = [- 3, + ∞ [

14 - Problème: Déterminer le domaine, l’image de la fonction φ définie par φ (x) = | x | ⋅ | x-1 |

réponse:

signe de l’étude dans le tableau suivant:

0 x 1

| X | -x 0 x x x

| X 1 | x + 1 + x 1 + x 1 x 0-1

| X | ⋅ | x 1 | -x + 1 (x) = x-X² 0 x (1 + x) = x-X² 0 x (x-1) = x-x² Dom (φ) = R

Im (φ) = [0, + ∞ [

15 - Problème: Déterminer si le jeu de données est un y = f(x) fonction de(x). Si ce que votre domaine?

(A) {(x, y): y = √ (x + 1)}

Elle est une fonction. Df = {x⋅R: x + 1≥0} = [- 1, + ∞ [ (B) {(x, y): y = √ (x²-1)}

Elle est une fonction. Df = {x⋅R: x²-1≥0} =] - ∞, -1] ⋅ [1, + ∞ [ (C) {(x, y): y = √ (1-x²)}

Elle est une fonction. DF x⋅R = {1} x²≥0 = [- 1,1]

(D) {(x, y): x² + y² = 1}

Il est fonction, pour domaine (x, y) est non univoque, par exemple ((1/2) ((√3) / 2)) et ((1/2) - ((√3) / 2)), tous deux appartiennent à au domaine .

16 - Problème: Déterminer si l’ensemble de données est une fonction. si ce que votre domaine?

(A) {(x, y): y = (x-1) ² + 2}

Elle est une fonction. DOMF = R (B) {(x, y): x = (y-2) ² + 1}

(46)

Il y a une fonction, pour domaine (x, y) n’est pas univoque, par exemple (2,1) et (2,3) deux appartiennent au domaine

(C) {(x, y): y = (x + 2) ²} -1 Elle est une fonction. Df = R

(D) {(x, y): x = (y + 1)} 2-³ Elle est une fonction. Df = R

17 - Problème:^{g donné}g(x) = 3x² 4- Calculer (A) g (-4) = 3 (-4) ² = 4-44

(B) g ((1/2)) 3 = ((1/2)) ² = -4 - ((13) / 4) (C) g (x ²) = 3 (x ²) ²-4 = 4-3x⋅

(D) g (3x²-4) = 3 (3x²-4) ² = 27x⋅-4-72x² + 44 (E) g (XH) = 3 (XH) ²-4 = 3h²-6HX + 3x²-4

(F) g (x) -g (h) = (3 (x) ²-4) - (3 (h) ²-4) = 3x²-3h²

(G) ((g (x + h) -g (x)) / h) = (((3- (x + h) ²-4) - (3 (x) ²-4)) / h)

= 6x + 3h pour h ≠ 0

18 - Problème^{: soient}f (x) = √x et lg (x) = x² + 1, déterminer le domaine de la fonction résultante:

(A) (f + g) (x) = √ x + x² + 1, et lD (f + g) = [0, + ∞ [ (B) (fg) (x) = √x-X²-1, et Dom (fg) = [0, + ∞ [

(C) (fg) (x) = √x (x² + 1) et Dom (fg) = [0, + ∞ [

(D) ((f / g)) (x) = ((√x) / (x² + 1)), Dom ((f / g)) = [0, + ∞ [ (E) ((g / f)) (x) = ((x ² + 1) / (√x)), Dom ((g / f)) =] 0, + ∞ [ 19 - Problème: ^Êtref (x) = | x | g (x) = | x-3 | détermine les fonctions et le nom

de domaine de la fonction résultante:

(A) (f + g) (x) = | x | + | X 3 |, et Bishop (f + g) = R (B) (fg) (x) = | x | - | x-3 |, et Dom (fg) = R

(C) (fg) (x) = | x || x-3 |, et Dom (fg) = R

(D) ((f / g)) (x) = ((| x |) / (| X 3 |)), et Bishop ((f / g)) = {3}

R-

(E) ((g / f)) (x) = ((| X |) 3 / (| x |)), et Bishop ((g / f)) = {0}

R-