Première partie : Calcul numérique

(1)

Janvier 1996 : Devoir commun de troisième

Consignes : les trois parties doivent être rédigées sur trois copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro.

L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée

La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Chaque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle.

Première partie : Calcul numérique

I. On donne A= +2 + − 3

6 27

7 9

7

3^;B=1+1 3 3 5

; C = − ×8 7 5

21D= × × ×

×

−

3 10 0 9 10

5 4 10

3 8

4

, , Ecrire A, B, C sous la forme d'une fraction irréductible.

II. Soit ^E⁼

(

³^x⁻¹

) (

²⁻ ³^x⁻¹

)(

^x⁺²

)

a) Développer, réduire E b) Factoriser E

c) Calculer E pour x= 1

3 puis pour x = - 1 2 III.

x 4

x

Calculez x pour que le périmètre du triangle soit le double de celui du carré.

IV. Le coeur humain effectue environ 5000 battements par heure.

1) Ecrire 5000 en notation scientifique.

2) Calculer le nombre de battements effectués par un coeur humain pendant une vie de 80 ans.

(Une année correspond à 365 jours). En donner une écriture scientifique.

=================================================================

Deuxième partie : Géométrie

I ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4,8 cm et AC = 3,6 cm 1) Calculer BC

2) Calculer tan

∧

B

. Donner la mesure de l'angle

∧

B

arrondie au degré près.

3) Placer le point M du segment [AB] tel que AM=1,6 cm.

Placer le point N du segment [AC] tel que AN=1,2 cm.

4) Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

II.

C H A

B

145 cm

42°

90 cm

1) Déterminer AB. (On donnera la valeur arrondie au mm)

2) Calculer l'aire du traingle ABC.

(2)

Troisième partie : Problème

L'unité de longueur est le centimètre.

1) Construire un triangle ABC tel que AB = 7,5 BC = 6 AC = 4,5 Démontrer que ABC est rectangle en C.

2) Le cercle de centre A et de rayon AC coupe le segment [AB] en D. La droite (AC) coupe le cercle en C et en un autre point E. Démontrer que CDE est un triangle rectangle.

3) Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les droites (AM) et (CD) sont parallèles.

4) (AM) et (CB) sont sécantes en H. En prenant BD = 3, calculer BH.

5) Soit F le symétrique de A par rapport à C et G le symétrique de B par rapport à C, démontrer que ABFG est un losange.

(3)

Première partie : Calcul numérique A= +2 + − = + + − = − = − 3

6 27

7 9

7 3

6 9

2 9

7 9

21 9

6 9

2 3 B= +

= = × = 1 1

3 3 5

4 3 3 5

4 3

5 3

20

9 C= − ×8 7 5 = − =

21 8 5 3

19 3

D= × × ×

× = × × = ×

× × = × =

−

− − + − −

3 10 0 9 10

5 4 10

3 0 9

5 4 10 3 9

6 9 10 1

2 10 1

20

3 8

4

3 8 4 1 1

, ,

II.a) Développer, réduire E ^E⁼

(

³^x⁻¹

) (

²⁻ ³^x⁻¹

)(

^x⁺²

)

⁼⁹^x^²⁻⁶^x⁺¹⁻

(

³^x^²⁻^x⁺⁶^x⁻²

)

E =9x²−6x+ −1 3x²+ −x 6x+ =2 6x²−11x+3

b) Factoriser E E = (3&–1) [(3&–1) – (&+2)] = (3&–1) (3&–1–&–2) = (3&–1) (2&–3) c) Si x= 1

3 en prenant la factorisation :

E = 



 



 × −



 



 × − 3

3 2 1 3 1

3 1 =

( )





 



 × −

− 3

3 2 1 1

1 =0

Si x = 1

2, en prenant la forme développée : E = 6× 1

4 – 11×1 2+3 = 3

2 – 11 2 + 6

2 = – 2 2 = –1 III.

x 4

x

Pour que le périmètre du triangle soit le double de celui du carré il faut que x = 2

3

Calculez x pour que le périmètre du triangle soit le double de celui du carré.

le périmètre du triangle =2×le périmètre du carré

2 4 2 4

2 8 4

6 4

4 6

2 3

x x

+ = ×

− = −

= −− =

IV. Le coeur humain effectue environ 5000 battements par heure.

1) Ecrire 5000 en notation scientifique. 5000= ×5 10³

2) Calculer le nombre de battements effectués par un coeur humain pendant une vie de 80 ans.

(Une année correspond à 365 jours). En donner une écriture scientifique.

5000×24×365=43800000=4 38 10, × ⁷ Deuxième partie : Géométrie

I ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4,8 cm et AC = 3,6 cm

A B

C M

N

M ∈[AB] et AM = 1,6 cm.

N ∈[AC] tel que AN=1,2 cm.

1) Calculer BC

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A

BC AB AC

BC BC BC

BC cm

2 2 2

4 8 3 6 23 04 12 96 36

6

= +

=

² , ² , ²

² , ,

²

2) Calculer tan

∧

B

. Donner la mesure de l'angle

∧

B arrondie au degré près.

Dans le triangle ABC rectangle en A : Tan B Côté opposé

Côté adjacent AC AB

∧= =

Tan B∧

= = ×

× = 3 6

4 8

1 2 3 4 1 2

3 4 ,

, ,

, Donc ∧B

≈37 valeur arrondie au degré près°

4) Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Dans le triangle ABC : A, M, B sont alignés

A, N, C sont alignés et dans le même ordre.

AM

AB = 1 6 = 4 8

1 3 ,

, et AN

AC = 1 2 = 3 6

1 3 ,

, donc

AM AB

AN

= AC D'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (MN) et (BC) sont parallèles II.

(4)

C H A B

145 cm

42°

90 cm

1) Déterminer AB. (On donnera la valeur arrondie au mm)

1) Dans le triangle AHB rectangle en H : sin A∧ opposé

= Côté = hypoténuse

BH

AB sin 24 90

°= AB 0, 6691 90

≈ AB

× ≈

≈

0 6691 90

90 0 6691 ,

, AB AB

donc AB≈ 134,5 cm

2) Aire du triangle ABC= BH ×AC = × = 2

90 145

2 6525 cm²

Troisième partie : Problème

L'unité de longueur est le centimètre.

B C

A

D E

M

H

G

F

1) Construire un triangle ABC tel que AB = 7,5 BC = 6 AC = 4,5 Démontrer que ABC est rectangle en C.

Dans le triangle ABC :

AC²+BC²=4 5, ²+ =6² 20 25, +36=56 25, AB²=7 5, ²=56 25 donc , AB² = AC²+BC² D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.

2) Le cercle de centre A et de rayon AC coupe le segment [AB] en D. La droite (AC) coupe le cercle en C et en un autre point E. Démontrer que CDE est un triangle rectangle.

[AC] est un rayon pour le cercle donc [CE] est un diamètre. D appartient au cercle.

Le triangle CDE est inscrit dans le cercle de diamètre [CE] donc CDE est un triangle rectangle en D.

3) Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les droites (AM) et (CD) sont parallèles.

Dans le triangle CDE, A est le milieu de [CE] et M est le milieu de [AD].

Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Donc (AM) et (CD) sont parallèles.

4) (AM) et (CB) sont sécantes en H. En prenant BD = 3, calculer BH.

Dans le triangle BAH, B, D, A sont alignés, B, C, H sont alignés

(DC) et (AH) sont parallèles

Le théorème de Thalès appliqué aux triangles BDC et BAH affirme que : BD

BA BC BH

DC

= = AH 3

7 5

6 3 6 7 5

6 7 5

3 15

, ,

,

= = ×

= × =

BH BH

BH cm

donc

5) Soit F le symétrique de A par rapport à C et G le symétrique de B par rapport à C, démontrer que ABFG est un losange.

F est le symétrique de A par rapport à C donc C est le milieude [AF]

G est le symétrique de B par rapport à Cdonc C est le milieude [GB]

Lorsque un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c'est un parallèlogramme.

Donc ABFG est un parallélogramme.

De plus (AF) et (GB) sont perpendiculaires car ABC est rectangle en C

Lorsque un parallèlogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un .losange.

donc ABFG est un losange.