Première partie : Calcul numérique

(1)

Mai 1995 : Devoir commun de troisième

Consignes : les deux parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro.

L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée

La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Chaque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle.

Première partie : Calcul numérique

I. Calculer On donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.

A= − 3 + ×

14 2 1

42^etB= +

− 1 1

3 1

4 2

II. Montrer que C est un nombre entier C=2 45+ 225− 20+ 125−9 5 III. M =5x² −3x+7 Calculez M pour

a) x= 2 puis pour b) x= −1 3

IV Madame Durand a acheté 3 paquets de café et 4kg de pommes pour un montant de 46F.

Si elle avait acheté 5 paquets de café et 2kg de pommes, elle aurait payé 57,30F.

Quel est le prix d'un paquet de café et celui d'un kilogramme de pommes. ?

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Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1.

A B

D C

E

F

ABCD est un rectangle.

AB = 7 et BC = 4 BE = 1 4^AB (EF) et (AC) sont parallèles.

1) Calculez la mesure exacte de AC.

2) Calculez la mesure deBAC

∧

arrondie au degré près

3) Calculez BF et EF Exercice N°2

Le plan est muni d'un repère orthonormal, l'unité est le centimètre.

Placer les points A(2 ; 6) et B (-2 ; 4)

1) Calculer AB, OB et OA. En déduire la nature du triangle OAB.

2) Déterminer l'équation de (AB) par le calcul.

3) Soit C (0 ; 5) montrer que C appartient à (AB) 4) Calculez les coordonnées de BC

→

et de CA

→

. En déduire que C est le milieu de [AB].

5) Quelle est l'équation de ∆ médiatrice de [AB]. Justifier

(2)

Troisième partie : Questions enchaînées

Le dessin est réalisé avec le plus grand soin en vrai grandeur, l'unité est le centimètre Soit C un cercle de centre 0 et de rayon 5 cm et [AB] un diamètre de ce cercle.

La médiatrice de [OA] coupe le cercle en E et D. Elle coupe [OA] en H.

1) Quelle est la nature de AEB ? Justifier

2) Démontrer que AEOD est un losange et calculer EH.

3) Quelle est la mesure en degré de EOA

∧

et de EBA

∧

? 4) Soit F le symétrique de O par rapport à D.

a) Démontrez que AOF est un triangle rectangle.

b) Que représente(AF) pour le cercle. Pourquoi ? 5) Démontrez que AEDF est un parallélogramme.

6) Soit J le milieu de [AF].

a) Quelle est la nature de AJDH ? Justifier b) Soi Z le milieu du segment [EF]

Montrez que les points A, J, D, H appartiennent à un cercle de centre Z

(3)

Première partie : Calcul numérique

I.A= − 3 + × = − + = − = −

14 2 1

42 9 42

2 42

7 42

1

6^et 21

16 7

4 3 4 4 7 3 4

4 8 4 1

3 1 3 3 4 2

1 3 1 1

−

×

−

=

−

=

−

= +

−

= +

C=2 45+ 225− 20+ 125−9 5= ×2 3 5+ −15 2 5+5 5−9 5=6 5+ −15 6 5 =15

III. M =5x2 − x+ = − + = × − + = −

3 7 5 2 3 2 7 5 2 3 2 7 17 3 2

2

(

¹ ³

) (

³¹ ³

)

⁷ ⁵

(

¹ ² ³ ³

)

³ ³ ³ ⁷ ²⁴ ⁷ ³

5 − ² − − + = − + − + + = −

= M

IV Soit x le prix d'un paquet de café et y celui d'un kilogramme de pommes.





−

×

= +

) 2 ( 30 , 57 2 5

46 4 3

y x

y

x Le système devient





−

=

−

= +

60 , 114 4

10

46 4 3

y x

Ajoutons membre à membre 3x+4y−10x−4y =46 114 6− ,

3 4 10 4 46 114 6

7 68 6

68 6

7 9 8

x y x y

x x

+ − − = −

− = −

= −− =

, ,

Cherchons y

3 4 46

3 9 8 4 46

4 46 29 4

16 6

4 4 15

x y y y

y

+ =

× + =

= −

= =

,

, ,

Le paquet de café coûte 9,80F et le kilogramme de pommes 4,15F

=========================================================

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1.

A B

D C

E

F

2) Dans le triangle ABC rectangle en B : tan )

A= côté opposé côté adjacent tan $

$ A BC

AB A

= =

≈ ° 4 7 30

donc valeur approchée au degré près

1) ABCD est un rectangle.donc le triangle ABC est rectangle en B.

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en B

AB BC AC AC AC AC AC

2 2 2

2 2

7 4

49 16 65

65

+ =

+ = + =

=

3) Appliquons le théorème de Thalès au triangle ABC A, E, F sont alignés et C, F, B sont alignés

(AC) et (EF) sont parallèles

le théorème de Thalès appliqué au triangle BFE et ABC affirme que EB BA

BF BC

EF

= = AC

BE = 1 AB =

4

1 donc BE 4

AB Calcul de BF :

EB BA

BF BC

BF

= = =

=

1

4 4

donc 1 4 donc BF = 1

Calcul de EF 1

4 65

65 4

= =

= EF AC

EF

donc 1 4

(4)

Exercice N°2

J I y'

y

x' x

A B

O C

AB x y y

OB x y y

OA x y y

B XA B A

B XO B O

A XO A O

= + =

− − + − = − + = + = =

= + =

− − + − = − + = + = =

= + =

− + − = + = =

− −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 6 4 4 2 16 4 20 2 5

2 0 4 0 2 4 4 16 20 2 5

2 0 6 0 4 36 40 2 10

AB = OB donc AOB est isocèle De plus dans le triangle OAB

2 2

40

40 20

20 doncAB OB OA

OA OB

AB + =





=

= +

D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AOB est rectangle et isocèle en B

2) (AB) est une droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est donc de la forme y = ax + b Cherchons a et b

A(2 ; 6) ∈(AB) donc 6 = 2a + b B(-2 ; 4)∈(AB) donc 4 = -2a+b

Il faut donc résoudre le système 

+

−

= +

=

b a

b a 2 4

2 6

Ajoutons membre à membre : 6+4 = 2a + b + (–2a) + b 10 = 2b

5 = b

Cherchons a 6 = 2a+5 6-5=2a

1 2⁼a

L'équation de (AB) est y=¹ 2x+5 3) C(0 ; 5)∈(AB) si les coordonnées de C sont solution de l'équation y=¹

2x+5 1

2x+5 = ¹

20+5 = 5 or l'ordonnée de C est 5 donc C∈(AB) 4)

BC x x y y BC BC

CA x x y y CA CA

C B C B

A C A C

→ − − →

+ − →

→ − − →

− − →

( ; ) ( ; ) ( ; )

0 2 5 4 2 1

2 0 6 5 2 1

BC

→

et CA

→

ont les mêmes coordonnées ils sont donc égaux. Si BC

→

=CA

→

alors C est le milieu de [BA]

5) La médiatrice de [AB] est la perpendiculaire à [AB] en son milieu.

Son équation est de la forme y = ax + b.

∆ est perpendiculaire à (AB) donc le produit de leur coefficient directeur est -1.

1

2× = −a 1 donc a = − × = −1 2 2

de plus C(0;5)∈∆ donc l'ordonnée à l'origine est 5. ∆∆ a pour équation y = -2x +5

(5)

Troisième partie : Questions enchaînées

1) Le triangle AEB est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] il est donc rectangle en E.

2)E et D sont deux points du cercle donc OE = OD.

(ED) est la médiatrice de [AO] donc EO = EA et DO=DA conclusion : DA = OD = OE = EA

Le quadrilatère a ses quatre côtés de même mesure donc AEOD est un losange.

Calcul de EH.Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires donc le triangle EOH est rectangle en H.

Dans le triangle EOH rectangle en H appliquons le théorème de Pythagore.

EO EH HO EH

EH EH

EH cm

2 2 2 2

25 6 25

5 2 5 18 75

18 75 6 25 3 2 5 3

= + − =

= + =

= = × =

,

, ,

, , ,

3) Calcul EOA

∧

Dans le triangle OAE

EA = EO et AO = EO car A et E appartiennent au cercle de centre O. Donc EA=EO=AO donc EAO est un triangle équilatéral donc EOA

∧

=60°

Ou bien Dans le triangle OEH rectangle en H Tan O Côté Côté

EH OH opposé

adjacent

$ ,

= = = 2 5 3, =

2 5 3

Donc O = 60°$ Calcul de EBA

∧

Le triangle AOE est un triangle équilatéral donc EAO

∧

= 60°. D'après la première question AEB est un triangle rectangle en E donc EAO

∧

+EBA

∧

= 90° Donc EBA

∧

= 90-60=30°

4) a) Dans le triangle AOD : F est le symétrique de O par rapport à D donc D est le milieu de [OF] donc OD = DF mais AD = OD donc la médiane issu de A est égal à la moitié du côté [OF]. Le triangle OAF est donc rectangle en A.

b) Il en résulte que la droite (AF) est perpendiculaire en A au rayon [AO] donc (AF) est al tangent en A au cercle de centre O et de rayon 5 cm

5) AEOD est un losange donc (AE) et (OD) sont parallèles donc (AO) et (DF) sont parallèles.

(AF) et (AO) sont perpendiculaires

(EH) et (AO) sont perpendiculaires car les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième elles sont parallèles. Donc (AF) et (ED) sont parallèles.

Le quadrilatère AEDF a ses côtés parallèles deux à deux donc AEDF est un parallèlogramme.

OU BIEN AEOD est un parallélogramme donc EA→ OD

= → F est le symétrique de O par rapport à D donc DF→ OD

= →

donc DF→ EA

= →

donc EAFD est un parallélogramme

6) Dans le triangle AOF : J est le milieu de [AF] et [D est le milieu de [OF]

Dans un triangle la droite qui joint le milieu de deux côté est parallèle au troisème côté donc (AO) et (JD) sont parallèles.

Nous avons démontré au 5) que (AJ) et (HD) sont parallèles.

Un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux est un parallélogramme.

Dans le parallélogramme AHDJ HAJ

∧

= 90°. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle donc AHDJ est un rectangle.

7) Dans un rectangle les diagonales ont même mesure donc A, H, D, J appartiennent au cercle de centre le milieu de [AD].

Nous avons démontré que AEDF est un parallèlogramme donc [AD] et [EF] ont même milieu Z Donc AHDJ appartiennent à un cercle de centre Z milieu de [EF]

(6)

A O B E

D H

F J

(7)