Première partie : Calcul numérique

(1)

Février 1995 : Devoir commun de quatrième

Consignes : les deux parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro.

L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée

La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Chaque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle.

Première partie : Calcul numérique

I. Calculer On donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.

A = 2 + 3

5 ; B = 3 6

5 ; C = 4 3

− 3 ÷ × 8

2



 

−

−

= 4

3 7

D 4 ; 



 

−

×

−

= 7

3 3

E 14

F = − − +

+ + ×

− ×

1 2 5

3 2 1 2

5 3 2

24 21

12 ; H = -49 56

16 ; I = 2 + 3 2

9

___________________________

II. a) Prendre les 4 3 de 24 b) Les 3

11 d'un nombre sont 21, quel est ce nombre ?

___________________________

III. Julie part au marché avec 450 F. Elle en dépense les 5

9 pour l'alimentation et les 3

5 de ce qui reste pour s'acheter une jupe.

1) Calculer la dépense faite pour l'alimentation.

2) Quel est le prix de la jupe ?

3) Combien lui reste-t-il après les deux achats ? Quelle fraction de 450 F le reste représente-t-il ? ___________________________

IV. Dans un collège, il y a 40% de garçons et 300 filles. Quel est le nombre total d'élèves du collège ?

=========================================================

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1. On considère un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 4 cm et BC = 6 cm.

1) Faire la figure

2) Calculer le cosinus de l'angle ABC. En déduire la valeur approchée arrondie au degré près de ABC.

3) On désigne par D le symétrique de B par rapport à A, et par E le symétrique de C par rapport à A.

Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? Pourquoi ?

(2)

N° de l' élève : ...

Cette feuille sera jointe à la copie. L'exercice 2 sera fait directement sur la feuille.

Exercice N°2 : Un trapèze ABCD a pour base [AB] et [CD].

A B

C D

Compléter en regardant la figure :

Dans la projection sur (AD) parallèlement à (AB) : Le projeté de A est ...

Le projeté de B est ...

Le projeté de C est ...

Le projeté de D est ...

Dans la projection sur (BC) parallèlement à (CD) : Le projeté de A est ...

Construire sur la figure ci-dessus le point E, projeté de B sur (AD) parallèlement à (BC) Construire le point F, projeté orthogonal de A sur (CD)

Exercice N°3 : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 15 cm et B$= °32 Calculez la valeur approchée de AB arrondie au millimètre près.

Exercice n°4 : Sur la figure, I est le milieu de [AC], J est le milieu de [BC] et (JK) et (BD) sont parallèles.

A

B

D C

J

K

I

1) Montrez que K est le milieu de [CD]

2) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [CD]

En déduire la nature du triangle JDC 3) En déduire que (IK) est parallèle à (AD)

(3)

Février 1996 : Devoir commun de Quatrième

Consignes : les deux parties doivent être rédigées sur deux copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro.

L'usage du blanco et de la machine à calculer est interdit ainsi que le prêt du matériel.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée.

La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathématique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Première partie : Calcul numérique

I. Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : A= +1

3 5

4 ; B= −3 7

10

21^;C= 15× × 28

7 25

1

6^;D= 24÷ −

7 ( 12) ; E = − +5 4

3 2

7 6 F = + ×2 7

9 1

2^;G = − + 3 5

1 4 1 2

5

;

2 1 7 2 4 3− ×

= H

II

x 4

x

Calculez x pour que le périmètre du triangle soit le même que celui du carré.

III. On partage un somme de 17500F entre 3 personnes ; la première reçoit les 2

5 de la somme totale , le seconde reçoit les 3

4 de la part de la première

a) Quelle fraction de la somme totale revient à la troisième personne ? b) Calculer la part de chacun.

IV. On a parcouru les 5

7 de la randonnée avant la halte du déjeuner. Il reste encore 6 km avant l'arrivée du soir.

Quelle est la longueur de la randonnée ?

(4)

Deuxième partie : Géométrie

Faire les figures sur une feuille simple séparée sur laquelle vous marquerez votre numéro Exercice 1 :

I. LUGE est un parallèlogramme de centre I.

O est le milieu du segment [LU] et N est le milieu du segment [LE].

1) Montrez que les droites (NI) et (LO) sont parallèles. Comparez NI et LO.

2) En déduire la nature du quadrilatère non croisé LOIN. Faire la démonstration.

3) Sachant que la droite (ON) coupe la droite (LG) en J, montrez que J est le milieu de [ON].

Exercice 2

1) Construire le parallèlogramme ABCD tel que AB=8cm, AD = 6 cm et BAD

∧

= 57°.

Les droites (AC) et (BD) se coupent en I.

La droite perpendiculaire à (CD) et passant par A coupe la droite (BD) en E.

La droite perpendiculaire à (CD) et passant par C coupe la droite (BD) en F.

2) Démontrez que les droites (AE) et (FC) sont parallèles.

3) Compléter le tableau ci-dessous des images par la projection sur la droite (BD), parallèlement à la droite (AE) (le découper et le coller sur votre feuille).

Démontrez que I est le milieu du segment [EF].

4) Quelle est la nature du quadrilatère AECF ? 5) Démontrez que (EC) et (AF) sont parallèles.

Point ... A B C D I

projeté de ...sur (AB) parallèlement à

(AE)

(5)

Février 1997 : Devoir commun de quatrième

Consignes : les deux parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l’une dans l’autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro.

L’usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée.

La présentation, l’orthographe, ainsi que la rigueur de l’écriture mathématique (droites, segments, longueurs ...)seront notées.

Première partie : Calcul numérique

I. Calculer On donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible.

A = 2 +3

5 ; B = 3 6

5 ; C = 4 3

− 3 ÷ ×8

2 ^;D= − − −

 

 × −

 



4 7

3 4

3 ; E = -14 7

3 F = − − +

+ + ×

− ×

1 2 5

3 2 1 2

5 3 2

24 21

12 ; H = -49 56

16 ; I = 2 + 3 2

9

___________________________

II. Julie part au marché avec 450 F. Elle en dépense les 5

9 pour l’alimentation et les 3

5 de ce qui reste pour s’acheter une jupe.

1) Calculer la dépense faite pour l’alimentation.

2) Quel est le prix de la jupe ?

3) Combien lui reste-t-il après les deux achats ?

___________________________

III. Les trois problèmes suivants sont à résoudre uniquement par équation.

1) J’ai pensé un nombre, je le multiplie par 3, j’enlève 8 au résultat et j’ai trouvé -2 : Quel est ce nombre ?

2)Le périmètre de ce triangle vaut 108. : trouver x

x

x+5 x+4

3) Un rectangle a une longueur qui dépasse de 2 cm sa largeur. Le périmètre de ce rectangle est 30 cm.

Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

=========================================================

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1. On considère un triangle ABC rectangle en A tel queABC

∧

= 35° AB = 4 cm 1) Faire la figure

2) Calculer .la valeur approchée arrondie au dixième de BC.

(6)

3) On désigne par D le symétrique de B par rapport à A, et par E le symétrique de C par rapport à A. Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? Pourquoi ?

(7)

N° de l’ élève : ...

Cette feuille sera jointe à la copie. L’exercice 2 sera fait directement sur la feuille.

Exercice N°2 : Un trapèze ABCD a pour bases [AB] et [CD].

A B

C D

Compléter en regardant la figure :

Dans la projection sur (AD) parallèlement à (AB) : Le projeté de A est ...

Dans la projection sur (BC) parallèlement à (CD) : Le projeté de A est ...

Exercice N°3 : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 15 cm et B$ = °32

Calculez la valeur approchée de AB arrondie au dixième.

Exercice n°4 : Sur la figure, I est le milieu de [AC], J est le milieu de [BC] et (JK) et (BD) sont parallèles.

A

B

D C

J

K

I

1) Montrez que K est le milieu de [CD]

2) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [CD]

En déduire la nature du triangle JDC 3) Montrez que (IK) est parallèle à (AD)

(8)

Février 1995 : Devoir commun de quatrième

Correction (4 points de présenratrion)

Première partie : Calcul numérique

I. Calculer On donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.

A = 2 + 3

5 = 20

10 + 6 10 - 15

10 = 26 10 - 15

10 = 11 10 B = 3 6

5 = 3 5

6 = 3 5

2 3 = 5

2

C = 4 3

8

−

÷ × ×

×

× = ×

× = 3

2

4 3

2 4

3 2

1

( )

pt

D ^pt

pt

= − − −

 



× −

 

 = + × ×

× = 4

7

3 4 3 7

2 7 3

3 7 2

1

= -16 28+21

28= 5 28 E = -14

3

( )

F

pt

= − − + pt

+ + = − − +

+ + = = × =

× − ×

−

× × × × ×

× = + ×

× = + = + =

1 2

5 3 2

1 2

5 3 2

10 10

4 10

15 10 10

10 4 10

15 10

1 10 29 10

1 10

10 29

1 29 24

21

12 56

2 3 2

3 3 2 2

3 6 3

2 3

8 3 1

2

( )

H = -49

16 = - 7 7 6 4 4 3

4 4 7 3 8 7 = - 3

4 I = 2 + 3 2

9

( 1 , 5 pt )

___________________________

II. a) Prendre les 4

3 de 24 (1 pt) 24 4

3

8 3 4

3 32

× = × × = Les 4

3 de 24 sont 32 b) Les 3

11 d'un nombre sont 21, quel est ce nombre ?(1 pt) 21 3

11 21 11 3

7 3 11

3 77

÷ = × = × × = Le nombre est 77

___________________________

III. Julie part au marché avec 450 F. Elle en dépense les 5

9 pour l'alimentation et les 3

5 de ce qui reste pour s'acheter une jupe.1) Calculer la dépense faite pour l'alimentation.

2) Quel est le prix de la jupe ? 3) Combien lui reste-t-il après les deux achats ? Quelle fraction de 450 F le reste représente-t-il ?

1)450 5 9

9 50 5

9 250

× = × × = La dépense pour l'alimentation est de 2501 pt) 2) 450 - 250 = 200. Il lui reste 200 F.(

200 3 5

5 40 3

5 120

× = × × = La jupe a coûté 120F(1,5 pt)

3) 200 - 120 = 80 Il lui reste 80 F Ce qui représente 80

200

20 4 20 10

4 10

2

= × 5

× = = ^{(2 pt)}

___________________________

IV. Dans un collège, il y a 40% de garçons et 300 filles. Quel est le nombre total d'élèves du collège ? 300 filles représentent 60% du nombre total d'élèves

300 60

100 300 100 60

60 5 100

60 500

÷ = × = × × = Dans le collège il y a 500 élèves (2 pt)

(9)

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1. On considère un triangle ABC rectangle en A tel queAB = 4 cm et BC = 6 cm.1) Faire la figure

2) Calculer le cosinus de l'angle ABC. En déduire la valeur approchée arrondie au degré près de ABC.

3) On désigne par D le symétrique de B par rapport à A, et par E le symétrique de C par rapport à A.

Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? Pourquoi ?

A

B C

D

E

Dans le triangle ABC rectangle en A : cos $

cos $

$

B côté adjacent hypot nuse B AB

BC CosB donc

=

≈ ° é

B 4 6

48

(1,5 pt)

2) D est le symétrique de B par rapport à A donc A est le milieu de [DB]

E est le symétrique de C par rapport à A donc A est le milieu de [EC]

De plus (DB) et (EC) sont perpendiculaires car ABC est un triangle rectangle en A

Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires alors c'est un losange.

Donc BCDE est un losange. (2 pt) Exercice N°2 : Un trapèze ABCD a pour base [AB] et [CD].Compléter en regardant la figure :

A B

C D

E F

(0,5 pt par point) Dans la projection sur (AD) parallèlement à

(AB) :

Le projeté de A est .A Le projeté de B estA Le projeté de C est D Le projeté de D est D

Dans la projection sur (BC) parallèlement à (CD) :

Le projeté de A est B . Le projeté de B est B Le projeté de C est .C.

le projeté de D est .C...

(10)

Exercice N°3 : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 15 cm et B$= °32 Calculez la valeur approchée de AB arrondie au millimètre près.

A B

C 15 cm

32°

Dans le triangle ABC rectangle en A (2 pt) cos $

$

cos ,

B côtéadjacent hypoténuse CosB AB

BC

Cos AB

AB cm

=

°=

= × °≈

32 15

15 32 12 7

Exercice n°4 : Sur la figure, I est le milieu de [AC], J est le milieu de [BC] et (JK) et (BD) sont parallèles.

A

B

D C

J

K

I

1) Montrez que K est le milieu de [CD] (2 pt) 2) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [CD](2pt) En déduire la nature du triangle JDC (1 pt)

3) En déduire que (IK) est parallèles à (AD)(2 pt)

1) Dans le triangle DBC, J est le milieu de [DC] et (JK) et '(BD) sont parallèles.

Rappel du thèorème : Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté, passe par le miliau du troisième côté.

Donc K est le milieu de [CD]

2) Le triangle BDC est rectangle en D, donc (BD) et (DC) sont perpendiculaires.

(DB) et (KJ) sont parralèles.

Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Donc (KJ) et (DC) sont perpendiculaires.

K est le milieu de (DC).

La droite perpendiculaire à un segment qui le coupe en son milieu, est la médiatrice de ce segment.

Donc (JK) est la mmédiatrice de [DC]

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

J appartient à la médiatrice de [DC], donc JD = JC.

Le triangle DJC est un triangle isocèle en J.

3) Dans le triangle ADC, I est le milieu de [AC] et K est le milieu de [DC]

Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Donc (AD) et (IK)sont parallèles.

(11)

février 96 : Première partie : Calcul numérique

I. Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : A= + = + =1

3 5 4

4 12

15 12

19

12 ; B= − = − = −3 7

10 21

6 21

10 21

4 21^; C= × × = × ×

× × × × × = 15

28 7 25

1 6

5 3 7

7 4 5 5 2 3

1

40^;D= ÷ − = − ×24 × = −

7 12 2 12

7

1 12

2

( ) 7 ;

E = − + = − + =5 4

3 2

7 6

15 12

18 12

14 12

11

12 F = + × = + = + =2 7 9

1

2 2 7

18 36 18

7 36

42 18^; G= −

+ = −

+ = = × =

3 5

1 4 1 2 5

12 20

5 20 5 5

2 5

7 20

7 5

7 20

5 7

1

4^;H = −

 

× = −

 

× = − × = − 3

14 2 7

1 2

3 14

4 14

1 2

1 14

1 2

1 28 II

x 4

x

Pour que les deux périmètres soient égaux il faut que x= 2cm

Calculez x pour que le périmètre du triangle soit le même que celui du carré

Périmètre du carré = 4x

Périmètre du triangle = x+x+4=2x+4

.

4 2 4 4 2 4 2 4

4

2 2

x x x x x x

= +

− =

=

= = III. On partage un somme de 17500F entre 3

personnes ; la première reçoit les 2 5 de la somme totale , le seconde reçoit les 3

4 de la part de la première

a) Quelle fraction de la somme totale revient à la troisième personne ?

b) Calculer la part de chacun.

a) 2 5

3 4

3

× =10

La deuxième personne reçoit 3

10 de la somme totale

2) 10

3 10

7 10 10 10

3 5

1 =2 = −



 

 +

−

La deuxième personne reçoit aussi 3 10 de la somme totale

3)

17500 2

5 3500 2 7000 17500 3

10 1750 3 5250

× = × =

La première personne personne reçoit 7000F, les deux autres reçoivent 5250 F

IV. On a parcouru les 5

7 de la randonnée avant la halte du déjeuner. Il reste encore 6 km avant l'arrivée du soir.

Quelle est la longueur de la randonnée ? Après le déjeuner il reste 2

7 de la randonnée à parcourir.

6 km représentent 2

7 de la randonnée 6 2

7 6 7

2 21

÷ = × =

La randonnée était de 21 km

(12)

Deuxième partie : Géométrie correction

Exercice 1 :I. LUGE est un parallèlogramme de centre I.

O est le milieu du segment [LU] et N est le milieu du segment [LE].

1) Montrez que les droites (NI) et (LO) sont parallèles. Comparez NI et LO.

2) En déduire la nature du quadrilatère non croisé LOIN. Faire la démonstration.

3) Sachant que la droite (ON) coupe la droite (LG) en J, montrez que J est le milieu de [ON].

L U

E G

O

N I

J

Données

LUGE parallèlogramme centre I.

O milieu de [LU]

N milieu de[LE].

Conclusion

1) (NI) et (LO) parallèles.

NI=LO

2) LOIN parallèlogramme 3) J milieu de [ON]

Démonstration : 1) LUGE est un parallèlogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu il en résulte que I est le milieu de [EU].

Dans le triangle LEU, N est le milieu de [LE] et I est le milieu de [LG]

Dans un triangle la droite qui joint le mileiu de deux côtés est parallèle au troisième côté donc (NI) et (LO) sont parallèles NI = 1

2LU O est le milieu de [LU] donc LO = 1 2LU Conclusion : (NI) et (LO) sont parallèles et NI = LO

2) Dans le quadrilatère LOIN (NI) et (LO) sont parallèles et NI = LO de plus LOIN est non croisé.

Lorsqu'un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallèlogramme donc LOIN est un parallèlogramme.

3) Dans un parallèlogramme les diagonales se coupent en leur milieu donc J est le milieu de [ON].

Exercice 2 1) Construire le parallèlogramme ABCD tel que AB=8cm, AD = 6 cm et BAD

∧

= 57°.Les droites (AC) et (BD) se coupent en I. La droite perpendiculaire à (CD) et passant par A coupe la droite (BD) en E. La droite perpendiculaire à (CD) et passant par C coupe la droite (BD) en F.

2) Démontrez que les droites (AE) et (FC) sont parallèles.3) Compléter le tableau ci-dessous des images par la projection sur la droite (BD), parallèlement à la droite (AE) Démontrez que I est le milieu du segment [EF].4) Quelle est la nature du quadrilatère AECF ? 5) Démontrez que (EC) et (AF) sont parallèles.

1) (AE) et (CD) sont perpendiculaires. (CF) et (CD) sont perpendiculaires.

Lorsque deux droites sont perpendiculaires à una même troisième elles sont paralléles.

Donc (AE) et(FC) sont parallèles.

3) Considérons la projection sur la droite (BD), parallèlement à la droite (AE)

Point ... A B C D I

projeté de ... E B F D I

Le projeté de A est E Le projeté de I est I Le projeté de C est F

ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu : donc I est le milieu de [AC]. La projection conserve les milieux donc I est le milieu de [EF].

4) I est le milieu de [EF] et de [AC].

Lorsque un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.

Donc AECF est un parallélogramme.

5) Un parallélogramme a ses côtés opposés paralléles deux à deux donc (AF) et (EC) sont paralléles.

(13)

A

B

C

D

I

E

F

(14)

Février 1997 : Devoir commun de quatrième

Correction (4 points de présenratrion)

Première partie : Calcul numérique

I. Calculer On donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible.

A = 2 +3

5 = 20

10+ 6 10-15

10= 26 10-15

10= 11 10 B = 3 6

5= 3 5

6 = 3 5 2 3= 5

2 C = 4 3 8

−

÷ × ×

× × = ×

× = 3

2

4 3 2 4

3 2

1

1 1

( )

( ) ( )

pt

pt pt

D= − − − ^pt ^pt

 

 × −

 

 = + × ×

× = 4

7

3 4

3 7

2 7 3

3 7 2

1 1

= -16 28+ 21

28 = 5

28 E = -14

( ) 3 ( )

F

pt

= − − + pt

+ + = − − +

+ + = = × =

× − ×

−

× × × × ×

× = + ×

× = + = + =

1 2

5 3 2

1 2

5 3 2

10 10

4 10

15 10 10

10 4 10

15 10

1 10 29 10

1 10

10 29

1 29 24

21

12 56

2 3 2

3 3 2 2

3 6 3

2 3

8 3 1

2

( )

H = -49

16 = - 7 7 6 4 4 3

4 4 7 3 8 7 = - 3

4 I = 2 + 3 2

9

( 1 , 5 pt )

___________________________

II. Julie part au marché avec 450 F. Elle en dépense les 5

9 pour l’alimentation et les 3

5 de ce qui reste pour s’acheter une jupe.1) Calculer la dépense faite pour l’alimentation.

2) Quel est le prix de la jupe ? 3) Combien lui reste-t-il après les deux achats ?

1)450 5 9

9 50 5

9 250

× = × × = La dépense pour l’alimentation est de 250F (1 pt) 2) 450 - 250 = 200. Il lui reste 200 F.

200 3 5

5 40 3

5 120

× = × × = La jupe a coûté 120F(1,5 pt)

3) 200 - 120 = 80 Il lui reste 80 F

_________________________

III.1) J’ai pensé un nombre, je le multiplie par 3, j’enlève 8 au résultat et j’ai trouvé -2 :Quel est ce nombre ?

Soit x ce nombre 3x− = −8 2 3x= − +2 8

3 6

6

3 2

x x

=

= =

Ce nombre est 2

2)Le périmètre de ce triangle vaut 108. : trouver x

x

x+5 x+4 x x x

x x

+ + + + = + =

= −

5 4 108

3 9 108

3 108 9

3x=99

x x

=

= 99

3 33

3) Un rectangle a une longueur qui dépasse de 2 cm sa largeur. Le périmètre de ce rectangle est 30 cm.

Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

Soit x la largeur la longueur est x+2

x x x x

x x

+ + + + + = + =

= −

2 2 30

4 4 30

4 30 4

4 26

26 4 6 5 x

x

=

= = ,

La largeur est égale à 6,5 cm et la longueur est égale à 8,5 cm

(15)

Deuxième partie : Géométrie

Exercice N°1. On considère un triangle ABC rectangle en A tel queABC

∧

= 35° AB = 4 cm 1) Faire la figure 2) Calculer .la valeur approchée arrondie au dixième de BC.3) On désigne par D le symétrique de B par rapport à A, et par E le symétrique de C par rapport à A. Quelle est la nature du quadrilatère BCDE ? Pourquoi ?

A

B C

D

E

Dans le triangle ABC rectangle en A :

( )

cos $ cos $

cos

cos ,

B côté adjacent hypot nuse B AB

BC

Cos BC

BC

BC cm

=

° =

× ° =

= ° ≈ é

35 4

4

35 4 9

(1,5 pt)

2) D est le symétrique de B par rapport à A donc A est le milieu de [DB]

E est le symétrique de C par rapport à A donc A est le milieu de [EC]

De plus (DB) et (EC) sont perpendiculaires car ABC est un triangle rectangle en A

Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires alors c’est un losange.

Donc BCDE est un losange. (2 pt)

Exercice N°2 : Un trapèze ABCD a pour base [AB] et [CD].Compléter en regardant la figure :

A B

C D

E F

(0,5 pt par point)

Dans la projection sur (AD) parallèlement à (AB) :

Le projeté de A est .A Le projeté de B estA Le projeté de C est D Le projeté de D est D

Dans la projection sur (BC) parallèlement à (CD) :

Le projeté de A est B . Le projeté de B est B Le projeté de C est .C.

le projeté de D est .C...

Construire sur la figure ci-dessus le point E, projeté de B sur (AD) parallèlement à (BC) Construire le point F, projeté orthogonal de A sur (CD)

(16)

Exercice N°3 : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 15 cm et B$ = °32

Calculez la valeur approchée de AB arrondie au millimètre.

A B

C 15 cm

32°

Dans le triangle ABC rectangle en A (2 pt) cos $

$

cos ,

B côtéadjacent hypoténuse CosB AB

BC

Cos AB

AB cm

=

°=

= × °≈

32 15

15 32 12 7

Exercice n°4 : Sur la figure, I est le milieu de [AC], J est le milieu de [BC] et (JK) et (BD) sont parallèles.

A

B

D C

J

K

I

1) Montrez que K est le milieu de [CD] (2 pt) 2) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [CD](2pt)

En déduire la nature du triangle JDC (1 pt) 3) Montrez (IK) est parallèles à (AD)(2 pt)

1) Dans le triangle DBC, J est le milieu de [DC] et (JK) et (BD) sont parallèles.

Rappel du thèorème : Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle au deuxième côté, passe par le miliau du troisième côté.

Donc K est le milieu de [CD]

2) Le triangle BDC est rectangle en D, donc (BD) et (DC) sont perpendiculaires.

(DB) et (KJ) sont parallèles.

Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Donc (KJ) et (DC) sont perpendiculaires.

K est le milieu de [DC].

La droite perpendiculaire à un segment qui le coupe en son milieu, est la médiatrice de ce segment.

Donc (JK) est la médiatrice de [DC]

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

J appartient à la médiatrice de [DC], donc JD = JC.

Le triangle DJC est un triangle isocèle en J.

3) Dans le triangle ADC, I est le milieu de [AC] et K est le milieu de [DC]

Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Donc (AD) et (IK) sont parallèles.