Université Paris 7 - Denis Diderot
UFR de Mathématiques M2 - Intro. aux formes modulaires
Feuille d’exercices nř4
Nombres de Bernouilli
Attention : ici, la somme infinie P
n∈Z an signifie limn0→+∞ P
n=−n0
n0
an = a0 + P
n>1 (an+a−n). De même, le produit infini Q
n∈Z an signifie limn0→+∞ Q
n=−n0
n0
an = a0 Q
n>1 ana−n). Par exemple la somme P
n∈Z an peut converger sans que P
n>1 an con- verge !
Exercice 1. Nombres de Bernouilli.
a) On définit les nombresbk (k>0) par le développement en série et−t 1=P
k>0 bk
k!tk. Jusitifier cette définition. Calculerb0,b1,b2,b3et b4.
b) Montrer que les nombres de Bernouilli sont rationnels.
c) Vérifier, au voisinage de 0, les égalités cotgz= i (1 +e2iz2−1) = i +P
k>0 (2 i)kbk
k! zk−1. d) En déduire quebk= 0dès quek>3 est impair.
e) En posantBk6(−1)k+1b2k(k>1), montrer l’égalité cotgz=1z−P
k>1 22kBk
(2k)! z2k−1. Exercice 2. Valeurs de ζ aux entiers positifs pairs.
On admet l’égalité cotgz =P
n∈Z 1
z−n π et on rappelle que la fonction ζ de Riemann est définie par le produit infini ζ(z) =P
n>1 1
ns (Re(s)>1).
a) Montrer que, pour toutz∈Ctel que|z|< π, on a cotg(z) =1z−2P
k>1 ζ(2k)
π2k z2k−1. b) En déduire que ζ(2k) =2
2k−1π2kBk
(2k)! , pour tout k>1.
On remarquera que ζ(2k)π2k (k>1) est rationnel.
Exercice 3. Le but de cet exercice est de montrer l’égalité cotg(z) =P
n∈Z 1 z−n π.
a) Montrer que chacun des membres de cette égalité définit une fonction holomorphe, impaire et périodique de périodeπsur CrZπ.
b) Montrer que chacun des membres de cette égalité est borné sur la bande {x+ iy:x, y∈ R,|x|6π
2, y>π}.
c) Montrer que la différence G(z) = cotg(z)− P
n∈Z 1
z−n π est une fonction entière (i.e.
holomorphe surC) et bornée.
d) En déduire l’égalité voulue.
Exercice 4. Factorisation de Weierstrass de la fonction sin.
Utiliser l’exercice précédent pour démontrer la factorisation sinz=zQ
n∈Z
′ 1−n πz .
