INTEGRATION – FEUILLE D’EXERCICES
Exercice A : calcul intégral
Calculer les intégrales suivantes (les foncions sont toutes positives sur l’intervalle considéré) : 𝐴 = ∫ (4𝑥 − 3)𝑑𝑥,+ 𝐵 = ∫ 𝑥/,, .𝑑𝑥
𝐶 = ∫ 𝑒3, /.2𝑑𝑥 𝐷 = ∫3,+25,. 𝑑𝑥
Exercice 1 : calculer les intégrales suivantes :
𝐴 = ∫ (𝑥3, ++ 3𝑥.− 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝐵 = ∫ 9 ,. :2−2,;< 𝑑𝑥 𝐶 = ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥A@
B
𝐷 = ∫/,. .25+. 𝑑𝑥 𝐸 = ∫ 𝑒3, :2𝑑𝑥
Exercice B : décomposer puis intégrer
a) Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]−3; +∞[ : 𝑓(𝑥) =.2/,25+ = 2 −25+I . b) En déduire 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥,J
c) Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la courbe de la fonction 𝑓.
Que représente géométriquement le nombre 𝐴 ? On détaillera la réponse.
Exercice 2 : soit 𝑓 la fonction définie sur ]2; +∞[ par 𝑓(𝑥) =2;/.2/,2/.
a) Montrer que, pour tout nombre réel 𝑥 ∈ ]2; +∞[ :
2;/.2/,
2/. = 𝑥 −2/., b) En déduire 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+J
Sur le repère ci-contre où a été représentée la courbe de cette fonction 𝑓.
a) Que représente le nombre 𝐴 ? On détaillera la réponse.
b) Hachurer l’aire correspondant sur la courbe.
Exercice 3 :
La courbe ci-contre est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d’une fonction f.
1) Comment calcule-t-on l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie hachurée ? 2) La fonction f est définie sur ]0; +∞[ par . Calculer cette aire.
Exercice 4 :
La courbe ci-contre est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d’une fonction g.
1) Comment calcule-t-on l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie hachurée ? 2) La fonction g est définie sur ]0; +∞[ par . Calculer cette aire.
Exercice 5 :
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ; , ) d’unités graphiques 2cm sur l’axe des abscisses et 1cm sur l’axe des ordonnées.
On considère la fonction f définie, pour tout nombre réel x strictement positif par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 +ln 𝑥
𝑥
On note ! sa courbe représentative dans le repère (O ; , ).
On considère la fonction F définie, pour tout nombre réel x strictement positif par : 𝐹(𝑥) = 𝑥.+ 𝑥 +1
2(ln 𝑥).
1) Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[.
2) On note " la surface plane délimitée par la courbe !, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives 𝑥 = 1 et 𝑥 = 𝑒.
a) On note # l’aire de la surface " exprimée en unités d’aire. Hachurer " et calculer la valeur exacte de #.
b) Donner une valeur décimale approchée à 10/. près de la surface " exprimée en cm2.
Exercice 6 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; , ) d’unités graphiques 2cm.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : On note ! sa courbe représentative dans le repère (O ; , ).
On considère la fonction F définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :
1) Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur ]0; +∞[
2) Sur le graphique ci-contre, on a tracé la courbe !.
x x
f 5
)
( =
x x
g 1 2
) 3
( +
= -
i!
!j
i!
!j
i!
!j
x x
x
f( )=( +1)ln i!
!j
) 4 1 2 (ln
) (
2
2 x x x
x x
F ÷÷ø - +
çç ö è
æ +
=
!f
!g
!
!
a) Hachurer la partie du plan $ délimitée par la courbe !, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives 𝑥 = 1 et 𝑥 = 𝑒.
b) Déterminer la valeur exacte de l’aire de la partie $ en cm2. Exercice 7 :
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ; , ) d’unités graphiques 2cm sur l’axe des abscisses et 1cm sur l’axe des ordonnées.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :
On note ! sa courbe représentative dans le repère (O ; , ).
On considère la fonction H définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :
1) Déterminer pour tout nombre réel x strictement positif.
2) En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0; +∞[.
On appelle D la partie du plan délimitée par la courbe !, l’axe des abscisses et les droites d’équations et 3) Hachurer D et calculer la valeur exacte de l’aire de D en unités d’aire, puis en cm2.
Exercice C : aire entre deux courbes
On considère les fonctions f et g définies sur ]0; +∞[ par : et .
1) a) Calculer la limite de 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) en +∞. Interpréter graphiquement le résultat.
b) Déterminer la position relative de la courbe représentative !f de la fonction f par rapport à la courbe représentative !g de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal d’unités graphiques 2cm en abscisse et 1,5cm en ordonnée.
2) Montrer que 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) admet pour primitive sur ]0; +∞[ la fonction K définie par . 3) a) Sur l’annexe ci-dessous, hachurer l’aire A comprise entre les deux courbes et les droites d’équations
𝑥 = 𝑒 et 𝑥 = 𝑒..
b) Calculer la valeur de l’aire A en cm2. i!
!j
x x
x
f( )= 2 -4-2ln
i!
!j x
x x x
H( )= ln - )
( ' x H
=1
x x=2
x x x
x
f 1 2ln
4 )
( = - + +
x x x
g 3
4 )
( = - +
)2
1 (ln )
(x = x- K
!
