INTRODUCTION HISTORIQUE DES NOMBRES COMPLEXES.
Les nombres complexes apparaissent pendant la Renaissance, en Italie.
Dans son livre Ars Magna (1545), Cardan énonce le résultat suivant (‘‘volé’’ à Tartaglia) :
Uns solution de l’équation x3 = px + q, où p est un nombre non nul et q un nombre strictement positif, est donnée par la formule : x =
q
q²
p
+
q
q²
p
. 1. Soit (E1) l’équation x3 = 36x + 91
a. Utiliser la formule pour déterminer une solution de (E1). Vérifier que est bien solution de (E1).
b. Déterminer deux réels b et c tels que x3 36x 91 (x )(x² bx c).
c. En déduire toutes les solutions de (E1) dans .
2. On cherche maintenant à résoudre l’équation historique proposée par Bombelli : (E2) : x3 = 15x + 4.
a. Utiliser la formule de Cardan. Quel est le problème qui se pose ici ?
Bombelli invente alors des nombres qu’il qualifie d’imaginaires, en introduisant le symbole : qui représente pour lui un nombre imaginaire dont le carré est 1. Il décide d’appliquer à ces nombres les règles usuelles de calcul utilisées pour les réels.
b. Développer (2 + )² et (11 )². On notera alors 11 = .
c. Calculer (2 + )3 et (2 )3.
d. Reprendre les règles de calcul dans la formule de Cardan et terminer le calcul. Vérifier que le nombre trouvé est bien solution de (E3).
e. Déterminer deux réels b et c tels que x3 15x 4 (x )(x² bx c).
f. En déduire toutes les solutions de (E2) dans .
Bombelli a donc prouvé que les quantités imaginaires qu’il avait introduites pour les besoins du calcul se
‘‘recombinent’’ pour obtenir une solution réelle.
Euler introduit en 1 777 la notation i pour le nombre noté par Bombelli. Il définit alors l’ensemble des nombres complexes comme l’ensemble des nombres de la forme a + ib où a et b sont des réels.
