Les nombres complexes : une introduction
1. Les algébristes italiens du 16ème siècle.
Nicolo Tartaglia (1500-1557)
a. On veut résoudre l’équation − + 1 = 0. Calculons son discriminant :
∆= donc
Et pourtant, on peut dire que ses solutions sont √ et √ Vérifions : remplaçons dans l’équation par √ :
= 1 + √−3
2 =
4 =
4 = 2
On a donc − + 1 = − + 1 = Ça alors …
b. Résolvez de même l’équation + 2 + 5 = 0 :
∆= …
Les solutions sont
Résoudre l’équation 2 − 6 + 5 = 0
c. Calculez 1 + √−1 =
d. Pourquoi peut-on écrire √−4 + √−9 = √−25 ?
Les algébristes italiens calculaient avec ces nombres, sans se poser de questions.
Comme ils savaient quand même que les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée, ils les ont appelés nombres imaginaires.
2. Leonhard Euler (1707-1783)
a. Combien vaut √−1 ? Et −1 ?
Voila qui est fâcheux. Pour éviter cela, Euler a décidé de nommer le nombre (imaginaire) dont le carré est égal à −1. Nous n’écrirons donc plus de racines carrées de nombres négatifs (quand Euler dit quelque chose, on obéit). Les nombres s’appelleront désormais des nombres complexes.
Alors, comment résoudre − + 1 = 0 ?
∆= 1 − 4 = −3 = √3 . Les solutions sont donc √ et √ . Reprendre le b, c, d du 1 avec la notation .
b. Calculons avec des :
Addition : 2 + 3 + 5 − 4 = 7 − Multiplication :
2 + 3 5 + 2 = 10 + 4 + 15 + 6 = 10 + 19 − 6 = 4 + 19 Calculez
4 + 2 3 − 5 = 2 − 3 2 + 3 = 4 + 2 =
+ − =
+ ! "+ !′ =
c. Divisions :
Montrez que = − . Calculez
Que vaut ? Pour faire ce calcul, on se souvient du calcul + − et on multiplie numérateur et dénominateur par 1 − 2 qui s’appelle complexe conjugué de 1 + 2 . On a donc = = $ %$ &&= '( .
Calculez de même Calculez (
