TS Les nombres complexes (1) Chapitre d’algèbre. I. Introduction 1°) Bref historique Nombres impossibles 

(1)

TS Les nombres complexes (1)

Chapitre d’algèbre.

I. Introduction 1°) Bref historique

Nombres impossibles  nombres imaginaires (Descartes)  nombres complexes.

2°) Ensembles de nombres

        

x70 2x70 x² 2 0 x² 1 0

L’équation x² 1 n’a pas de solution dans  (x 1 ou x  1)

A chaque fois que l’on gagne quelque chose, on perd quelque chose (c’est souvent vrai dans d’autres contextes).

Par exemple, quand on passe de  à , on perd la relation d’ordre.

3°) Problème

Construire un ensemble de nombres qui va contenir  dans lequel l’équation x² 1 0 admette des solutions et prolonger les opérations connues dans  à ce nouvel ensemble de nombres de telle manière qu’elles aient les mêmes règles de calcul que dans .

II. Ensemble des complexes 1°) Définition

Nous admettrons qu’il existe un ensemble noté  qui vérifie les conditions précédentes.

Les éléments de cet ensemble sont appelés nombres complexes.

2°) Opérations

L’ensemble des nombres complexes est muni des opérations d’addition et de multiplication avec les mêmes propriétés que dans .

3°) Nombre i

Nous admettrons sans démonstration l’existence d’un « nombre imaginaire » noté i tel que i² 1. 4°) Comparaison des ensembles de nombres

    

     

III. Écriture algébrique des nombres complexes 1°) Propriété (admise sans démonstration)

Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme zaib avec



^{a b}^;



^^²^.

2°) Exemples

3 2i  (a = 3 ; b = 2) 5 (a = 5 ; b = 0) 4i (a = 0 ; b = 4) 3 i 2  (a = 3 ; b = 2 ) 5 7i  (a = 5 ; b = – 7) 3°) Vocabulaire

 a + ib est la forme algébrique du nombre complexe z.

 a est appelé la partie réelle de z ; on écrit ^Re

 

^z ^a.

 b est appelé la partie imaginaire de z ; on écrit ^Im

 

^z ^^b^.

La partie imaginaire est b et non ib ; c’est un réel.

4°) Cas particuliers

 Si b = 0 (c’est-à-dire Im (z) = 0), alors z = a ; z est un réel.

 Si a = 0 (c’est-à-dire Re (z) = 0), alors z = ib ; z est un imaginaire pur.

Un imaginaire pur est un nombre qui s’écrit sous la forme ib où b est un réel.

L’ensemble des imaginaires purs est noté i.

N.B. 0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.

 et i sont deux sous-ensembles de .

5°) Exemple

 

Re Im

3 5 i

z z

z  

 

Re z  3

 

Im z 5

(2)

3 6°) Égalité de deux nombres complexes ; nullité

z = a + ib (



^{a b}^;



²)

z’= a’ + ib’ (



^a'^;^b'



^²⁾

'

zz '

' a a b b



 

 

(Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.)

0

z 0

0 a b

 

  

(Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est nulle).

7°) Récapitulatif i

z a b (



^{a b}^;



²) Reza

Imzb i2 1

z  Im z0 i

z  Re z0 (imaginaire pur)

IV. Interprétation géométrique (XIX^e siècle Argand-Cauchy-Gauss) 1°) Définition

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}^{ }



^.

M(x ; y) est un point quelconque du plan.

On appelle affixe de M le nombre complexe x + i y.

Le point M est appelé l’image du nombre complexe z = x + i y.

4 x

y

O

M

u v

z = x + i y est l’affixe de M.

2°) Notation M(z) ou M(x + iy)

On lit le « point M d’affixe z ».

3°) Exercice

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}^{ }



^.

Placer :

 le point A d’affixe z_A= 5 + 3i.

 le point B d’affixe z_B= 2.

 le point C d’affixe z_C= 4i.

5 3

A(5+3i)

B(2) C(4i)

axe des réels axe des imaginaires

O _u^ v

4°) Vocabulaire

 Le plan orienté rapporté à un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}^{ }



est appelé plan complexe.

 L’axe de repère



^O,^u^



est appelé l’axe des réels.

 L’axe de repère



^O,^v^



est appelé l’axe des imaginaires purs.

purs

(3)

V. Calculs dans  Cauchy (1789-1857) 1°) Principe

On peut effectuer les mêmes opérations que dans  (addition, multiplication, division) avec les mêmes propriétés que dans  (en particulier, tout nombre complexe non nul admet un inverse pour la multiplication).

On tiendra compte dans les calculs que i² 1. 2°) Exemples

Calculons (on pourra repasser les i en rouge dans chaque expression) :

   

1 3 2i 5 3i 8 i

z      

  

²

2 3i 5i 15i 15

z      

  

²

 

3 3 2i 5 3i 15 9i 10i 6i 15 i 6 1 21 i

z             

 

² ²

4 3 2i 9 12i 4i 5 12i

z       

5

1 z 3 2i



 

   

5

1 3 2i

3 2i 3 2i

z  

   

5 2

3 2i z 9 4i

 

5

3 2i z 9 4

 

5

3 2i z 13



5

3 2

13 13i z  

N.B. : Une écriture algébrique ne doit pas contenir de i au dénominateur.

On peut vérifier les résultats à l’aide de la calculatrice (modèle TI 82 Stats ou TI-83 Plus) ou d’un logiciel de calcul formel sur ordinateur.

3°) Quelques formules de calcul i

z a b (



^{a b}^;



²).

i

z'a'b' (



^a'^;^b'



^^²^).

Somme ^z^^z^'^



^a^^a^'



^ⁱ



^{b b}^ ^'



Produit ^zz^'^



^aa^'^^bb^'



^ⁱ



^ab^'^^{a b}^'



Inverse



^z⁰



1 1 ₂ i₂ i

a b

z a b a b

  

 

Identités remarquables



^aⁱ^b



²^a²^b²²ⁱ^ab



^a^ⁱ^b



²^^a²^^b²^²ⁱ^ab



^aⁱ^{b a}



ⁱ^b



^a²^b² 4°) Puissances de i Cyclicité d’ordre 4

i01 i1i i2 1

  ^{ }

3 2

i  i i   i 1  i

  ^{ }

4 3

i  i i    i i 1

5 4

i i  i i

6 5

i i     i i i 1

7 6

i i   i i

8 7

i i     i i i 1

9 8

i i 1 i i

i     

1 i

u v

O

i2009?

–1

–i

(4)

7 4

2009

1 502

2009 4 502

i i^ i

 

⁵⁰²

2009 4

i  i i

2009 502

i 1 i i2009i

Un résultat important :

1 i

i 

VI. Calcul littéral ; équations dans 

1°) Exemple 1

Résoudre dans  l’équation 2z i iz1 (1).

(1)  2ziz  i 1 



^{2 i}^



^z^{  }^{i 1}

 i 1

z  2 i

 



  

i 1 2 i

2 i 2 i

z   

  

 1 3i z  5



1 3i S  5 

  

 

2°) Exemple 2

Factoriser z²1 dans .

Astuce : 1 i².

2 2 2

1 i

z  z  (Identité remarquable)

  

2 1 i i

z   z z 3°) Exemple 3

Pour tout nombre complexe z x i y

 

^{x y}^;



^^²



^{, on pose}^Z^^z²^²^z^³^.

Écrire Z sous forme algébrique en fonction de x et y.

8

2 2 3

Zz  z



ⁱ



² ²



ⁱ



³

Z x y  xy 

2 2 i 2 2 2i 3

Zx  x yy  x y

On regroupe les « i » et les « non i ».

 

2 2 2 3 i 2 2

Z x y x y x

 

     

 

 

On en déduit que

2 2

Re Zx y 2x3

 

Im Zy 2x2

4°) Exemple 4 (très important)

Pour tout nombre complexe z  2i, on pose 3 2i Z z

z

 

 .

On pose z = x + iy, x et y étant deux réels tels que (x ; y)  (0 ; 2).

Exprimer Re Z et Im Z en fonction de x et de y.

1^ère étape : on écrit le numérateur et le dénominateur sous forme algébrique.

 

i 3

i 2i

x y

Z x y

 

  

 

3 i

i 2

x y

Z x y

 

   (forme algébrique : expression de la forme a+ib)

2^e étape : on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.

   

3 i i 2

i 2 i 2

x y x y

Z

x y x y

       

   

        

3^e étape : on effectue intelligemment les calculs au numérateur et au dénominateur.

Développement à 4 facteurs

       

 

²

2

3 2 i 3 2

2

x x y y x y yx

Z

x y

 

   

            



 



^aⁱ^b



^a^{' i '} ^b

 

 ^aa^'^bb^'



ⁱ



^ab^'^{a b}^'



Identité remarquable :



^a^ⁱ^{b a}



^ⁱ^b



^^a²^^b²

 

2 2

3 2 i 2 3 6

2

x y x y x y

Z

x y

     



 

 

2 2

3 2

Re

2

x y x y

Z

x y

  

  

 

²

2

2 3 6

Im

2

x y

Z

x y

 



 

(5)

VII. Conjugué d’un nombre complexe 1°) Définition

Le conjugué d’un nombre complexe z = a + ib avec



^{a b}^;



² est le nombre complexe z a ib. 2°) Image dans le plan complexe

a b

u v

O

O

 

M 'S _x M

3°) Propriété immédiate : conjugué d’un conjugué

 z zz 4°) Exemples

3 i  3 i 5i 5i 77

5°) Conjugué d’une somme

 Propriété



^{z z}^{, '}



²

  zz' z z'

Le conjugué d’une somme est égal à la somme des conjugués.

 Démonstration (ROC) i

z a b (



^{a b}^;



²).

i

z'a'b' (



^a'^;^b'



^^²⁾

   

' ' i '

zz  aa  b b

   

' ' i '

zz  a a  b b

   

' i ' i '

zz  ab  ab

–b

 

M z

 

M ' z

' '

zz  z z

6°) Conjugué d’un produit

 Propriété



^{z z}^{, '}



²

  zz' z z'

Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués.

 Démonstration (ROC) i

za b (



^{a b}^;



^^²^).

i

z'a' b' (



^a'^;^b'



^²⁾

   

' ' ' i ' '

zz  aabb  aba b

   

' ' ' i ' '

zz  aabb  aba b

  

' i ' i '

z z  a b ab

   

' ' ' i ' '

z z  aabb  aba b

' '

zz  z z

 Généralisation

Le conjugué d’un produit d’un nombre quelconque de facteurs est égal au produit des conjugués.

7°) Conjugué d’une puissance

 Propriété z

   n ^* ^zⁿ^

 

^zⁿ

 Démonstration (ROC)

facteurs n ...

n

z    z z z

On applique le résultat sur le produit.

n ...

z    z z z

n ...

z    z z z

 

ⁿ

zn z

(6)

11 8°) Conjugué d’un inverse

 Propriété z *

  1 1

z z

 

  

1 1

zz

1 1

1

z z

    

 

1 1

z z

  

 

z0 donc z0

1 1

z z

 

  

9°) Conjugué d’un quotient

 Propriété



^{z z}^{, '}



^*

  

' '

z z

 

 

 

 Démonstration (ROC) 1

' '

z z z  z

1

' '

z z

 

  

  1

' '

z z

 

  

  1

' '

z z

 

  

 

' '

z z

 

 

 

12 10°) Expressions des parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe à l’aide du conjugué

 Propriété

 z 

Re 2

Im 2i

z z z

 

 



  



On pose : z a ib (



^{a b}^;



^²^).

z a ib 2

z z a donc 2 z z

a 



2i z z b donc

2i z z

b 



11°) Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide du conjugué

 Propriété

z zz i

z z z

z Im z = 0  0

2i zz

  z z 0  zz

i

z  Re z = 0  0

2 zz

  z z 0  z z

 Utilisation

On se sert de cette propriété pour démontrer qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur (voir exercices).

(7)

VIII. Équations du second degré dans 

1°) Exemple : nombres complexes de carré donné

 (Cas particulier) Résoudre dans  l’équation z² 9 (1).

(1)  z² 9 0 ^z²

 

³ⁱ²⁰ 



^z³ⁱ



^z³ⁱ



⁰  z3i ou z 3i

 (Cas général) Résoudre dans  l’équation z²a (a réel fixé).

1êr cas : a0 2ê cas : a0 3ê cas : a0



^;



S_ a  a ^S^

 

⁰ ^S^^



ⁱ ^^a^{; i}^ ^^a



N.B. :  a 0

2°) Démonstration dans le cas général a, b, c sont trois réels tels que a  0.

Résoudre dans  l’équation az²bz c 0 (E).

(E)  ² b c 0

a z z

a a

 

  

 

 

: a (a  0)

 ² b c 0

z z

a a

  



2 2

2 2 0

b c b

z a a a

   

   

   

   



2 2

2

4 0

2 4

b b ac

z a a

  

  

 

 

On pose :  b²4ac. (E) 

2

2 0

2 4

z b

a a

  

  

 

 



2

2 4 2

z b

a a

  

 

 

 

1^er cas :  0

(E)  2 2

z b

a a

  

ou

2 2

z b

a a

   

 2

z b a

  

 ou

2 z b

a

  



2^e cas :  0 (E) 

2

2 0 z b

a

 

 

 

 

 0

2 z b

 a 

2 z b

  a 3^e cas :  0

(E) 

i

2 2

z b

a a

  

ou i

2 2

z b

a a

   



i 2 z b

a

  

 ou

i 2 z b

a

  



(8)

15 3°) Règle

2 0

az bz c 



^{a b c}^{, ,}



^³^,a0

2 4

b ac

  

1^er cas :  0 L’équation admet 2 racines réelles distinctes : ₁ 2 z b

a

  

 et ₂ 2 z b

a

  

 .

2^e cas :  0 L’équation admet 1 racine réelle double : ₀ 2 z b

  a. 3^e cas :  0 L’équation admet 2 racines complexes conjuguées : ₁ i

2 z b

a

  

 et ₂ i

2 z b

a

  

 .

4°) Exercice

Résoudre dans  l’équation z²  z 1 0.

Considérons le polynôme z² z 1. Recensement des coefficients :

1

a ; b1 ; c1 Calcul du discriminant

2 4

b ac

   1²  4 1 1  3

On a :  0 donc le polynôme admet 2 racines complexes distinctes conjuguées :

1

i 2 z b

a

  



1

1 i 3 z  2



2

i 2 z b

a

  



2

1 i 3 z  2



1 i 3 1 i 3

2 ; 2

S     

  

 

 

5°) Factorisation d’un polynôme du second degré

 

²

f z az bzc



^{a b c}^{, ,}



³, a0 On note z1 et z2 les racines distinctes ou confondues.

 z f z

 

a z



z1



zz2



16 6°) Somme et produit des racines

1 2

z z b

  a _{1 2} c

z z a

IX. Premières applications géométriques des nombres complexes 1°) Remarque préliminaire

Dans tout le paragraphe, on se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct



^{O, ,}^{u v}^{ }



^.

2°) Définition de l’affixe d’un vecteur

A tout vecteur w

de coordonnées cartésiennes (x ; y) on fait correspondre son affixe i zw^ x y.



^;



w x y

  wx uy v

3°) Propriété 1 : égalité de 2 vecteurs w



et w'

sont deux vecteurs quelconques.

' ww

 

 z_w^z_w^_'

4°) Propriété 2 : affixe d’un vecteur défini par deux points

 Énoncé

 

A

A z et B

 

zB sont deux points quelconques de P.

Le vecteur AB

a pour affixe z_Bz_A.

B A

zAB^z z

 Démonstration

B A

AB

B A

AB

AB x x x

y y y

 



AB AB i AB

z^x^ y^



B A

 

B A



AB i

z^ x x  y y



B B

 

A A



AB i i

z^ x y  x  y

B A

zAB^z z

(9)

5°) Propriété 3 : règles de calcul sur les affixes

 

w z



et ^{w z}^^'

 

^' sont deux vecteurs quelconques.

 

Le vecteur w w  '

a pour affixe zz'. Le vecteur w

a pour affixe z.

' '

w w w w

z z z

  

   

w w

z z

^ ^

6°) Propriété 4 : affixe du milieu d’un segment

 Énoncé

 

_A

A z et ^B

 

^z_B sont deux points quelconques de P.

Le milieu M du segment [AB] a pour affixe _M ^A ^B 2

z z

z 

 .

M milieu de [AB]  MA MB   0  z_Az_Mz_Bz_M0  z_Az_B2z_M0  _M ^A ^B

2 z z

z 



7°) Propriété 5 : affixe d’un barycentre

 Énoncé

 

A

A z et B

 

zB sont deux points quelconques de P.

a et b sont deux réels tels que a b 0.

Le barycentre G des points pondérés (A ; a) et (B ; b) a pour affixe _G az^A bz^B

z a b

 

 .

G barycentre des points pondérés (A ; a) et (B ; b)  aGAbGB 0

 a z



AzG



b z



BzG



0  az_Aaz_Gbz_Bbz_G0  ^az_A^bz_B



^{a b z}



_G

 _G az^A bz^B

z a b

 



 Généralisation

- Pour trois points

G : (A ; a), (B ; b), (C ; c)



^{a b}  ^c ⁰



A B C

G

az bz cz

z a b c

 

  

- Pour n points

G :



A ;1 a1

 

, A ;2 a2



, ... , A ;



_n a_n



(

1

0

i n i i

a





 ⁾

A 1 G

1 i n

i i i

i n i i

a z z

a





X. Applications du plan complexe 1°) Définition

Une application du plan complexe est une « fonction » de P (ou d’une partie de P) dans lui-même qui à tout point M (z) associe un point M’(z’).

Lorsque f est une bijection, on dit que f est une transformation du plan complexe.

2°) Exemples f : P P

M(z) | M’(z’) avec z'z²

Images de A(3) et B(1+i) ?

 

² ²

A ' A 3 9

z  z   donc A’(9)

 

²

 

²

B ' B 1 i 2i

z  z    donc B’(2i)

3°) Vocabulaire

M’ est appelé l’image de M par f. On écrit f (M) = M’.

L’expression de z’ en fonction de z est appelée l’« expression complexe » de f.

Les antécédents d’un point A par f sont les points qui ont pour image A par f.