Lycée BELLEVUE Toulouse Devoir Commun de Mathématiques (enseignement Obligatoire)
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Janvier 2016
DEVOIR COMMUN de MATHEMATIQUES – Terminales S
Durée 3 heures
Cette épreuve, notée sur 15 points, comprend trois exercices.
La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur. Aucun échange de matériel n’est autorisé.
Avant de composer, le candidat s'assure que le sujet comporte bien 3 pages.
Exercice 1 (4 points)
Soit f la fonction définie sur ℝ par
Sur le graphique ci-après, on a tracé dans un repère orthonormé la courbe C représentative de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 4.
1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante surℝ. 2. a) Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C.
b) De même, justifier que l’axe des abscisses est asymptote à C.
3. a) Démontrer que l’équation f(x) = 3,999 admet une unique solution α dansℝ b) Donner un encadrement de α d’amplitude 10-1.
4. Soit T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.
La droite T passe-t-elle par le point , 0 ? Justifier.
∆
C
2 3 4
-1 -2
-3 -4
2 3 4
0 1
1
x y
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Page 2 sur 3 Exercice 2 (5 points)
Ci-après sont présentées cinq propositions. Pour chacune de ces propositions, dire si elle est vraie ou fausse en JUSTIFIANT la réponse. Toute démarche constructive, même non aboutie, sera valorisée. Une réponse non justifiée rapporte 0 point.
1. L’équation 2 d’inconnue z∈ℂ , admet exactement deux solutions qui sont réelles.
2. Pour tout complexe z, le conjugué de 3+ iz est égal à 3 – iz.
3. Soit z un nombre complexe. Si z est un imaginaire pur, alors |z|2= – z2.
4. A tout point M du plan complexe, d’affixe 2, on associe le point M’ d’affixe z’
définie par .
L’ensemble des points M d’affixe z tel que z’ soit un imaginaire pur, est un cercle privé d’un certain point.
5. Pour tous complexes z1 et z2, on peut dire que : z1= z2 équivaut à |z1|= |z2|.
Exercice 3 (6 points)
Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.
• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
• Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n +1 avec une probabilité égale à 0,04.
• Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0,24.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par En l’évènement :
« le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ».
On note pn la probabilité de l’évènement En.
On a ainsi : p1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1: 0 ≤ pn < 1.
1. a. Déterminer la valeur de p3 à l’aide d’un arbre de probabilité.
b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
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2. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous :
b. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, pn+1 = 0,2pn + 0,04.
c. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par : un = pn − 0,05.
Montrer que (un) est une suite géométrique.
d. En déduire l’expression de un puis de pn en fonction de n.
e. En déduire la limite de la suite (pn).
f. On admet dans cette question que la suite (pn) est croissante. On considère l’algorithme suivant :
Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel Initialisation P prend la valeur 0
J prend la valeur 1 Entrée Saisir la valeur de K Traitement Tant que P < 0,05−10−K
P prend la valeur 0,2×P+0,04 J prend la valeur J +1
Fin tant que Sortie Afficher J
• À quoi correspond l’affichage final J ?
• Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
3. Cette entreprise emploie 240 salariés. Par la suite, on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à p = 0,05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à une semaine donnée, associe le nombre de salariés malades.
a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
b. En moyenne, combien y a-t-il de salariés malades une semaine donnée ?
c. Calculer la probabilité pour que moins de 5% des salariés soient malades une semaine donnée. (donner une valeur approchée à 10-3).
