DEVOIR COMMUN de MATHEMATIQUES Terminales ES
Janvier 2018
Durée 2 heures 15 minutes Calculatrice autorisée (avec mode examen obligatoire) Aucun échange de matériel n’est autorisé
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Partie A
On donne ci-dessous la courbe repr´esentative Cf d’une fonction d´efinie et d´erivable sur l’in- tervalle [−3 ; 2]. On note f0 la fonction d´eriv´ee de la fonction f.
Le point A de coordonn´ees (0 ; 3) appartient `a la courbe Cf. B est le point de la courbeCf dont l’abscisse est 1.
On dispose des informations suivantes :
• la fonctionf est strictement d´ecroissante sur les intervalles [−3 ; −0,5] et [1 ; 2] et elle est strictement croissante sur [−0,5 ; 1] ;
• la droite ∆ est tangente `a la courbeCf au point A et passe par le point C(−6 ; 0) ;
• la tangente ∆0 `a la courbeCf au point B est parall`ele `a l’axe des abscisses.
Chaque r´eponse devra ˆetre justifi´ee.
1. Donner la valeur de f0(1).
2. Quel est le signe de f0(−2) ? 3. Donner la valeur de f0(0).
Partie B
On admet que la fonctionf est d´efinie pour tout r´eel xde [−3 ; 2] par f(x) = −x2+ 2,5x−2
ex+ 5.
1. Montrer que pour tout r´eelx de l’intervalle [−3 ; 2]
Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d’un total de 10000 voitures pour l’Europe.
Afin d’entretenir son parc, il d´ecide de revendre, au 1er mars de chaque ann´ee, 25 % de son parc automobile et d’acheter 3000 voitures neuves.
On mod´elise le nombre de voitures de l’agence `a l’aide d’une suite :
Pour tout entier natureln, on noteunle nombre de voitures pr´esentes dans le parc automobile au 1ermars de l’ann´ee 2015 +n.
On a doncu0 = 10000.
1. Calculer le nombre de voitures pr´esentes au 1er mars 2016 et au 1er mars 2017.
2. Expliquer pourquoi pour tout entier natureln,un+1 = 0,75un+ 3000.
3. Pour tout entier naturel n, on consid`ere la suite (vn) d´efinie par vn=un−12000.
(a) Montrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 0,75. Pr´eciser son premier terme.
(b) Exprimervn en fonction de n.
D´eterminer la limite de la suite (vn).
(c) Justifier que, pour tout entier naturel n,un= 12000−2000×0,75n.
(d) En vous appuyant sur les r´eponses donn´ees aux deux questions pr´ec´edentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’ann´ees ?
4. On admet dans cette question que la suite (un) est croissante.
On aimerait d´eterminer l’ann´ee `a partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.
(a) Recopier l’algorithme suivant et compl´eter les pointill´es afin qu’il permette de r´epondre au probl`eme pos´e.
U← 10000 N← 0 Tant que . . .
N ←. . . U ←. . . Fin Tant que Afficher . . .
(b) `A l’aide de la calculatrice, d´eterminer l’ann´ee recherch´ee.
Les parties A et B sont ind´ependantes Notations :
Pour tout ´ev`enement A, on note A l’´ev`enement contraire de A et P(A) la probabilit´e de l’´ev`enementA.
SiAetB sont deux ´ev`enements, on notePB(A) la probabilit´e deA sachant que l’´ev`enement B est r´ealis´e.
Dans cet exercice, on arrondira les r´esultats au milli`eme
Une agence Pˆole Emploi ´etudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux crit`eres, le sexe et l’exp´erience professionnelle.
Cette ´etude montre que :
• 52 % des demandeurs d’emploi sont des femmes et 48 % sont des hommes ;
• 18 % des demandeurs d’emploi sont sans exp´erience et les autres sont avec exp´erience ;
• parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que 17,5 % sont sans exp´erience.
Partie A
On pr´el`eve au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :
• S : l’´ev`enementle demandeur d’emploi est sans exp´erience;
• F : l’´ev`enementle demandeur d’emploi est une femme. 1. Pr´eciser P(S) et PF(S).
2. Traduire les informations pr´ec´edentes `a l’aide de l’arbre pond´er´e.
3. D´emontrer queP F ∩S
= 0,084. Interpr´eter le r´esultat.
4. La fiche pr´elev´ee est celle d’un demandeur d’emploi sans exp´erience. Calculer la proba- bilit´e pour que ce soit un homme.
5. Sachant que la fiche pr´elev´ee est celle d’une femme, calculer la probabilit´e que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans exp´erience.
Partie B
La responsable de l’agence d´ecide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle pr´el`eve cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation
`
a un tirage avec remise. En justifiant la d´emarche, calculer la probabilit´e que :
Les questions de cet exercice sont ind´ependantes.
Question 1. Un jeu se joue ainsi : on jette une fois un d´e cubique ´equilibr´e.
• Si on obtient la face 1 ou la face 6, on gagne 4 euros.
• Si on obtient la face 2, on ne gagne rien.
• Dans les autres cas, on perd 2 euros.
Soit X la variable al´eatoire ´egale au gain du joueur.
a) Donner la loi de probabilit´e de X en recopiant et compl´etant le tableau suivant :
k 0 -2 4
P(X=k)
b) Calculer l’esp´erance de la variable al´eatoire X et en donner l’interpr´etation.
Question 2. On consid`ere la fonction f d´efinie par f(x) = 3x+1x2+1. Calculerf0(x).
Question 3. Soit (un)n∈N la suite g´eom´etrique de raisonq = 0,5 et de terme initialu0 = 1. On pose Sn=u0+u1+u2+...+un.
a) ExprimerSn en fonction de n.
b) Calculer la limite deSn lorsquen tend vers l’infini.
