Correction du Devoir Commun – Terminales ES Janvier 2018

Correction du Devoir Commun – Terminales ES Janvier 2018

Exercice 1

Partie A

Partie B

2. (a) Variations de f

(b) On dresse le tableau de variations de f sur [1 ; 2] :

f est continue, strictement décroissante de [1 ; 2] vers [5 – e² ; 5 – 0,5e] et comme 0 appartient à l’intervalle [5 – e² ; 5 – 0,5e], la propriété des valeurs intermédiaires assure qu’il existe un réel unique α∈[1 ; 2] tel que f(α) = 0.

(c) Valeur approchée de α :

(d) Comme 5 – 3,5e ^{– 0,5}>0, le seul point où f s’annule dans l’intervalle [-3 ; 2] est α.

On en conclut que : sur [ – 3 ; α[, f est positive, et sur ]α ; 2], f est négative.

Exercice 2

1. Au 1^er mars 2016, le nombre de voitures est 0,75 10000 3000 10500 et au 1^er mars 2017 ce nombre est 0,75 10500 3000 11250

2. Relation entre un+1 et un :

3. Ecriture explicite de et limite :

On peut conjecturer qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre de voitures se stabilisera à 12000 voitures.

4. Algorithme :

On a en effet : u12 ≈ 11937 et u13 ≈ 11952

Exercice 3

Partie A

1) 1 1 0 1 5

0 0,18 1 0,18 0,418

La probabilité que parmi les 5 fiches tirées, au moins une soit celle d’un demandeur d’emploi sans expérience est d’environ 0,418.

2) 2 5

2 0,18 1 0,18 0,179

La probabilité que parmi les 5 fiches tirées, exactement deux soient celles d’un demandeur

Exercice 4

Question 1

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique (gain net) du joueur. ∈ 0; −2; 4"

Le dé étant équilibré, la probabilité de réalisation de chaque face est de

#. a) On gagne 4€ avec l’apparition de la face 1 ou de la face 6, donc $ = 4 =

#. On gagne 0€ avec l’apparition de la face 2, donc $ = 0 =

#.

On gagne −2€ avec la face 3 ou la face 4 ou la face 5, donc $ = −2 =^&

#. On récapitule cela dans le tableau :

k 0 – 2 4

$ = ' 1

6

3 6

2 6

b) ) = 0 ×

#− 2 ×^&

#+ 4 ×

#=

#=

&. A chaque fois que l’on joue, on peut espérer gagner

& €, soit environ 33 centimes d’euro.

Question 2

On donne * + =^&,-

,^.- . f est de la forme ^/

0 et sa dérivée est donc de la forme *¹ =^{/20 /01}

0² .

*¹ + =3 + + 1 − 2+ 3+ + 1

+ + 1 ² =3+ + 3 − 6+ − 2+

+ + 1 ² = −3+ − 2+ + 3 + + 1 ² .

Question 3

est une suite géométrique de raison 4 = 0,5 et de terme initial = 1.

a) D’après le cours, on sait que : 5 = + + ⋯ + = × ^789:

7 = 1 × ^{, 89:}

,

5 = 2 1 − 0,5 ^- = 2 − 2 × 0,5 × 0,5 = 2 − 0,5

b) Toujours d’après le cours, on sait que : lim 0,5 = 0 car −1 < 0,5 < 1.

Donc lim 5 = lim 2 − 0,5 = 2 − lim 0,5 = 2 − 0 = 2.