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DEVOIR COMMUN de MATHEMATIQUES Terminales S
Janvier 2018
Durée 3 heures Calculatrice autorisée (avec mode examen obligatoire) Aucun échange de matériel n’est autorisé
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Exercice 1
(sur 5 points)Dans cet exercice, on donnera si besoin, les valeurs approchées à 10-3 prés.
En utilisant sa base de données, la Sécurité Sociale estime que la proportion de Français présentant à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, est de 10%.
L’étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie, alors que cette proportion n’est que de 8% chez ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
Partie A
On choisit au hasard une personne dans la population française.
On considère les événements :
M : « La personne présente à la naissance une malformation cardiaque de type anévrisme » C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie »
1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.
2. a) Montrer que ∩ = 0,03.
b) Calculer .
3. On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque.
Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Partie B
La Sécurité Sociale décide de lancer une enquête de santé publique sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme. On étudie un échantillon de 400 personnes choisies au hasard dans la population française. L’élaboration de cet échantillon est assimilée à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.
1. Définir la loi de la variable aléatoire X. Justifier.
2. Déterminer = 35 .
3. Déterminer la probabilité que 30 personnes de cet échantillon, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
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Exercice 2
(sur 8 points)Soit a un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d’étudier la suite définie par : = et, pour tout entier naturel n, = −
On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : = − 1 . 1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par = − − .
a) Calculer et prouver que pour tout réel x, on a : = − 1 2 + 1 . b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
c) En remarquant que − = , étudier le sens de variation de la suite . 2. Dans cette question, on suppose que ≤ 0.
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, ≤ 0.
b) En déduire que la suite est convergente.
3. Dans cette question, on suppose que > 0.
On admet que pour tout entier naturel n, on a : ≥ + $ . Déterminer la limite de la suite .
4. Dans cette question, on prend = 0,02.
a) Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel n tel que > 60.
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur de n que cet algorithme affichera.
Exercice 3
(sur 7 points)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct &, '(, )( .
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) défini par : * + = + +,
On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).
1. On appelle A le point d’affixe = −√ + .√ . a) Déterminer la forme exponentielle de a.
b) Déterminer la forme algébrique de f(a).
2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation * + = 1.
3. Soit M un point d’affixe z du cercle C de centre O et de rayon 1.
a) Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme + = /0 avec 1 un nombre réel.
b) Montrer que f(z) est un nombre réel.
4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un réel.
