DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (3h) 1°S

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DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES (3h) 1°S

Mai 2018

Nom, Prénom ……….. Classe :

……….

Echange de matériel interdit - Une seule calculatrice autorisée.

Enoncé à rendre à l’intérieur de la copie double.

Exercice 1 ( /5,5 points)

On considère la fonction f définie et dérivable sur ℝ, de dérivée f ’, dont les courbes représentatives cf et cf ’ dans un repère orthonormé sont données ci-dessous.

Partie A

1) Par lecture graphique, donner les valeurs de 𝑓(0), 𝑓(1) et 𝑓’(0).

2) On sait que f est une fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎 + ^{𝑏 − 𝑥}

𝑥² + 𝑐 𝑎, 𝑏 et 𝑐 étant trois constantes réelles qu’on va chercher à déterminer.

Exprimer 𝑓’(𝑥) en fonction de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑥.

3) Déduire des résultats précédents que 𝑐 = 1.

4) a. Montrer que 𝑎 et 𝑏 sont solutions du système : { 𝑎 + 𝑏 = 4

2𝑎 + 𝑏 = 7 b. En déduire 𝑎 et 𝑏.

5) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, on a : 𝑓(𝑥) = ^3𝑥

2−𝑥+4 𝑥²+1 Partie B

L’objectif de cette partie est de déterminer la position de la courbe cf par rapport à la droite T tangente à cf au point d’abscisse 0.

1) Déterminer, par le calcul, l’équation réduite de la droite T, tangente à cf au point d’abscisse 0.

Sur l’énoncé, dans le repère ci-dessus, tracer avec précision la droite T.

2) Justifier que pour tout réel 𝑥, on a : 𝑓(𝑥) − (4 − 𝑥) = ^𝑥

3−𝑥² 𝑥²+1

.

3) Etudier le signe de ce quotient sur ℝ. En déduire l’ensemble des valeurs de 𝑥 sur lequel cf est en-dessous strictement de la tangente T.

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Exercice 2 ( /4 points)

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d’un parallélépipède rectangle dont le volume est 𝑉 = 576 mm³.

On souhaite déterminer, pour une question de coût de fabrication, les dimensions nécessaires pour que l’aire de la surface totale du parallélépipède rectangle soit minimale.

1) Exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥 .

2) On note 𝑆(𝑥) l’aire totale, en mm², de ce parallélépipède rectangle.

Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ [3 ; 12] : 𝑆(𝑥) = ¹⁷²⁸

𝑥 + 4𝑥² . 3) a. Prouver que, pour tout 𝑥 ∈ [3 ; 12] : 𝑆′(𝑥) = ^8𝑥

3−1728 𝑥² .

b. Justifier que, pour tout réel 𝑥, on a : 8𝑥³ − 1728 = 8(𝑥 − 6)(𝑥²+ 6𝑥 + 36) . c. Dresser le tableau de variation de la fonction 𝑆 sur [3 ; 12].

d. En déduire l’aire totale minimale de ce parallélépipède rectangle et les dimensions correspondantes de celui-ci.

Exercice 3 ( / 3,5 points)

On considère les deux suites (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) définies sur ℕ* par : 𝑢_𝑛 = ^2𝑛

4𝑛+1 et 𝑣_𝑛 =¹₂− ² 𝑛² 1) Soit 𝑓 la fonction définie sur [1; +∞[, par : 𝑓(𝑥) = ^2𝑥

4𝑥+1 . a. On note 𝑓′ la fonction dérivée de 𝑓 sur [1; +∞[.

Démontrer que, pour tout réel 𝑥 de [1; +∞[, on a : 𝑓′(𝑥) = ² (4𝑥+1)² . b. En déduire le sens de variation de la suite (𝑢_𝑛).

2) a. Pour tout entier naturel non nul, exprimer 𝑣_𝑛+1− 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛.

b. En déduire le sens de variation de la suite (𝑣_𝑛).

On note 𝑦 sa hauteur en millimètres.

Ses deux autres dimensions sont 𝑥 et 2𝑥 en mm, avec 3 ≤ 𝑥 ≤ 12.

𝑦

2𝑥 𝑥

Lycée Bellevue Page 3 / 4 3) a. Calculer puis comparer 𝑢₁ et 𝑣₁. Faire de même pour 𝑢₂ et 𝑣₂.

b. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche le plus petit entier naturel non nul 𝑛 tel que 𝑢_𝑛 < 𝑣_𝑛. Rappel : la flèche ← signifie « prend la valeur ».

N ← 1

U← ………

V ← ………

Tant que …………..

N← ………

U← ………

V← .…………..

Fin tant que Afficher N

c) En utilisant la calculatrice, donner la valeur affichée par l’algorithme. Justifier.

Exercice 4 ( /4 points)

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et 𝑛 boules noires (avec 𝑛 entier strictement positif).

Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 5€ ; si la boule tirée est jaune, il reçoit 2€ ; si la boule tirée est noire, le joueur reçoit 1€.

1) Dans cette question, 𝑛 = 6. On note X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Déterminer la loi de probabilité de X. Déterminer la valeur exacte de l’espérance mathématique de X, puis la valeur arrondie à 10^-2 près de l’écart-type.

Dans les questions suivantes, 𝑛 est un entier quelconque strictement positif.

2) On note X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

a. Déterminer, en fonction de 𝑛, la loi de probabilité de X.

b. Calculer, en fonction de 𝑛, l’espérance mathématique E(X).

3) En réalité, pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant 1,70€.

a. Soit G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Déterminer en fonction de 𝑛, le gain moyen du joueur s’il joue un grand nombre de fois.

b. Le club souhaite gagner en moyenne 0,50€ par partie. Déterminer le nombre de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie.

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Exercice 5

( /3 points)

Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse.

Toutes les réponses seront justifiées. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

1. Soit

un

triangle ABC quelconque et les points E et F définis par AE⃗⃗⃗⃗⃗ = 3AC⃗⃗⃗⃗⃗ + CB⃗⃗⃗⃗⃗ et CF⃗⃗⃗⃗ = ¹ 3CB⃗⃗⃗⃗⃗ . Affirmation 1. Les points A, E et F sont alignés.

2. On se place dans un repère du plan. Soit (d) la droite d’équation 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 et

𝑢 ⃗ (−

¹

5

; −

²

15

).

Affirmation 2.

𝑢 ⃗

est un vecteur directeur de(d).

3. On considère A, B, C et D quatre points du plan tels que (CA⃗⃗⃗⃗⃗ , BA⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −^𝜋₆

^{et (CA}⃗⃗⃗⃗⃗ , AD⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −^2𝜋₃. Affirmation 3. ABD est un triangle rectangle en A.