8,181… Autre solution Soit f(n) la variable aléatoire « nombre de groupes de voitures pour n voitures » qui a pour espérance mathématique E[f(n

G130 –Embouteillages [*** à la main]

Solution de Michel Boulant

L'espérance mathématique E(n) du nombre de convois pour 1 voiture est évidemmentde 1.

Mettons sur la route les voitures par ordre de vitesse, de la plus lente àla plus rapide.

E(2)= 1+1/2 (2 convois si la plus rapide est devant, 1 convoi si elle estderrière)

E(3)=1+1/2+1/3 (la voiture 3 ajoute 1 à E(2) si et seulement si elle est lapremière, et comme elle a une chance sur 3 d'être la première:1/3)

E(n)=1+1/2+1/3+1/4+...1/n

E(2007)=ln2007+0.577, la constante d'Euler, soit 8.18 environ.

Solution de Vincent Vermaut Nous avons clairement k(1)=1.

Lorsque nous ajoutons une voiture qui est plus rapide que toutes celles deja placées (n-1), 2 cas peuvent se présenter:

* elle est placée en première position (probabilité=1/n) et dans ce cas le nombre de tas augmente de 1

* elle est placée ailleurs et le nombre de tas est inchangé.

Nous obtenons donc k(n)=k(n-1)+1/n et donc k(n)=1+1/2+1/3+...+1/n Pour n=2007, nous obtenons une bonne approximation de la solution par ln(2007)=7.604+0.577 (constante d’Euler) = 8,181…

Autre solution

Soit f(n) la variable aléatoire « nombre de groupes de voitures pour n voitures » qui a pour espérance mathématique E[f(n)]. L’égalité f(n) = k signifie qu’il y a k groupes de voitures dont les voitures de tête roulent respectivement aux vitesses v₁,v₂,...v_i,...,v_k qui sont décroissantes : v₁v₂ v₃....v_k1v_k. Les inégalités sont strictes car les vitesses intrinsèques de toutes les voitures sont différentes entre elles.

On a évidemment E[f(1)] = 1.

On suppose qu’on ajoute une (n+1)^ième voiture dans la file dont la vitesse est v.

Si v>v et si cette voiture est en tête de la file, elle constitue à elle seule un (k+1)₁ ^ième groupe.

La probabilité correspondante est n 1.

Si sa vitesse est telle que v₁vv₂, il y a un (k+1)^ième groupe si et seulement si cette voiture occupe une position intermédiaire entre la dernière voiture du 1^er groupe et la voiture de tête du 2^ème groupe. Là encore, la probabilité correspondante est

n 1.

Et ainsi de suite quelle que soit la vitesse v telle que v_i-1vv_i, il y a un (k+1)^ième groupe si et seulement si la (n+1)^ième voiture occupe une position intermédiaire entre la dernière voiture du (i-1)^ième groupe et la voiture de tête du i^ème groupe.La probabilité correspondante est toujours

n 1.

En conclusion quelle que soit la vitesse de la (n+1)^ième voiture, il y a un groupe supplémentaire avec une probabilité

n 1.

Il en résulte que E[f(n+1)] = E[f(n)] + 1*

n

1= E[f(n)] + n 1

D’où E[f(2007)] =

2007 1 2006 .... 1

3 1 2

11    quantité qui est approchée par Log(2007)

7,6.

On peut donc dire qu’il y a 8 groupes de voitures en moyenne pour une file de 2007 voitures.

Nota : dans la réalité, on observera très probablement un énorme bouchon avec seulement un ou deux groupes de voitures mais c’est un tout autre problème…