Devoir commun de MATHEMATIQUES
Terminale S
Lundi 4 février 2019
L’attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction,la clarté et la précision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats devront êtresoigneusement justifiés
Dans l’ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
L’usage de la calculatrice est autorisé, mais l’échange entre les candidats est interdit.
Exercice 1 6 points
A. Étude d’une fonction 1. g est la fonction définie surRparg(x)=1−xex.
a. Déterminer les limites deg aux bornes de son ensemble de définition.
b. On admet queg est dérivable surR.
Montrer que, pour tout réelx,g′(x)=(−x−1)ex. c. Dresser le tableau de variation deg.
d. Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαdansR. Déterminer un encadrement deαà 10−3près.
e. En déduire le signeg(x).
2. f est la fonction définie sur [0 ; 1] parf(x)= 1+x 1+ex. a. On admet que f est dérivable sur [0 ; 1].
Montrer que, pour tout réelx,f′(x)= g(x) (1+ex)2.
b. En déduire que f est strictement croissante sur [0 ; α].
c. Justifier que eα= 1
αet en déduire quef(α)=α. B. Étude d’une suite réelle On considère la suite (un) définie par :
u0=0 et pour tout entier natureln, un+1=f(un).
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln: 0ÉunÉun+1Éα. 2. a. En déduire que la suite (un) converge vers un réelℓ.
b. On admet que la limiteℓest solution de l’équation f(x)=x.
Donner une valeur approchée deℓarrondie au centième.
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Exercice 2 6 points
Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pou- voir anticiper ses commandes.
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que :
— parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90 % d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
— parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, 60 % d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour tout entiernÊ1, on noteAnl’évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine n».
On a ainsip(A1)=1.
1. a. Reproduireet compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois pre- mières semaines.
A1
A2
A3 A3
A2
A3
A3 b. Démontrer quep(A3)=0, 85.
c. Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la pro- babilité qu’il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ?
Arrondir au centième.
Dans la suite, pour tout entiernÊ1 : pn=P(An).
On a ainsip1=1.
2. a. Reproduireet compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux semainesn etn+1.
An
pn
An+1
An+1
An
An+1
An+1
b. Démontrer que, pour tout entiernÊ1 :pn+1=0, 5pn+0, 4.
3. Pour tout entiernÊ1, on posevn=pn−0, 8.
a. Démontrer que (vn)nÊ1 est une suite géométrique dont on donnera le premier termev1et la raison.
b. Exprimervnen fonction den.
En déduire que, pour tout entiernÊ1, pn=0, 8+0, 2×0, 5n−1.
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c. Déterminer la limite de la suite ¡ pn¢
nÊ1et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
4. On souhaite déterminer la plus petite valeur de l’entiernÊ1 telle quepnÉ0, 80001 a. Reproduireet compléter l’algorithme suivant permettant de répondre à la ques-
tion oùnetpsont des variables à valeurs réelles.
n←1 p←1
Tant que . . . . n←. . . . p←. . . . Fin Tant que b. Déterminer la valeur dencherchée.
Exercice 3 4 points
Soit ABCDEFGH un cube.
Le point I est le milieu de [AE].
Le point L est le milieu de [CG].
Les points J et K sont définis par les relations vecto- rielles :
−→ AJ =3
4
−−→
AB et −−→
BK =1 4
−−→ BC
b
A Bb
bC
bD
b
E
b
F
b
G
b
H
I+
+J
+K +L
1. a. Justifier que (A ;−−→ AB ,−−→
AD ,−→
AE ) est un repère de l’espace.
b. Donner les coordonnées des points B, F, I, J, K et L.
2. a. Montrer que les droites (IJ) et (KL) ne sont pas parallèles.
b. Donner une représentation paramétrique de paramètretde la droite (IJ).
Pour la suite, on admettra qu’une représentation paramétrique de la droite (KL) est :
x=1
y=1+3s s∈R z=1
2+2s
c. Montrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes en un point S dont on détermi- nera les coordonnées.
Pour la suite, on pourra admettre que S µ
1 ; 0 ; −1 6
¶ .
3. Les droites (IJ), (KL) et (BF) sont-elles concourantes ? Justifier.
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Exercice 4 4 points
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. La suite (un) définie pour tout entier naturelnnon nul parun=1+sin(n)
n n’est pas convergente.
2. Soient A et B deux évènements tels quep(A)=0, 3,p(B)=0, 5 etp(A∪B)=0, 65.
Les évènements A et B sont indépendants pour la probabilitép.
3. Soitf la fonction définie surR−{−2; 1} par : f(x)=
−x2−5x−4 (2+x)(x−1)
Alors lim
x→−2+f(x)= +∞.
4. Soitg la fonction définie surR−{2} par : g(x)=ex−3 2−x
Alors lim
x→+∞g(x)= +∞.
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