DEVOIR DE MATHEMATIQUES 05 – 10 – 2018 Term. S Rouge

(1)

EXERCICE 1 : ( pts )

Soit la suite v définie pour tout entier naturel n, par vn= n−2 3 n+1 . 1) Etudier le sens de variation de la suite v.

2) Montrer que v est minorée par – 2 et majorée par 1 3. 3) Déterminer la limite de v.

EXERCICE 2 : ( pts)

Soit la suite u_n définie par u0=9 et pour tout n ∈ ℕ u_n1=1

4u_n3 . Partie A :

1) Le plan est muni d' un repère orthonormé (on prendra 2 cm comme unité).

a) Construire les droites d'équations y = 1

4x3 et y = x.

b) En déduire la construction de ^u1 et ^u2 sur l'axe des abscisses.

2) Calculer les valeurs exactes de u1 et u2 .

Partie B : On se propose de trouver de deux manières différentes la limite la suite u.

Les questions 1 et 2 sont donc indépendantes.

1) a) Montrer par récurrence que pour tout n : ∈ ℕ ^un > 4 b) En déduire que la suite u est décroissante.

c) En déduire la convergence de la suite et déterminer sa limite.

2) On pose la suite auxiliaire définie pour tout n par ∈ ℕ v_n=u_n– 4 .

a) Montrer que v est une suite géométrique de raison 1 4 .

b) En déduire que pour tout n , ∈ ℕ ^un = 5



¹4

ⁿ^{4 .}

c) Retrouver la limite obtenue précédemment.

(2)

Soit la suite u définie pour tout entier naturel n par un+1=2 u_n+1−n et u0=1 .

On se propose de trouver de deux manières différentes la limite la suite u.

Les questions 1 et 2 sont donc indépendantes.

1) a) Calculer u1 et u2.

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un n. c) En déduire la limite de u.

2) a) Pour tout entier naturel n, on pose v_n=n+2ⁿ. Montrer que les deux suites u et v sont égales.

b) Retrouver la limite obtenue à la question 1c).

Soit la suite u définie pour tout entier naturel n non nul par un= 6 n²+3 3 n²+(−1)ⁿ .

1) Montrer que pour tout entier naturel n, 6 n²+3

3 n²+1  u_n  6 n²+3 3 n²−1 . 2) En déduire la limite de u.

Répondre par vrai ou faux et justifier la réponse.

1) Toute suite bornée est convergente.

2) Soit u et v deux suites dont tous les termes sont tous négatifs. Si u diverge vers –∞ alors u + v diverge.

(3)

(4)