DEVOIR DE MATHEMATIQUES
14 – 12 – 2018 Term. S Rouge
EXERCICE 1 : ( 2,5 pts )
Pour tout complexe z on donne P(z)=3 z3+(1+6 i)z2+(16+2 i)z+32 i 1) Montrer que - 2i est solution de l'équation P(z) = 0.
2) Montrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que pour tout complexe z, P(z)=(z+2 i)(az2+bz+c) . 3) Résoudre dans ℂ l'équation P(z) = 0.
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EXERCICE 2 : ( 2 pts)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct O; u ,v , on donne les points A, B, C, D et E d'affixes respectives zA=3+3 i , zB=2i , zC=−1+5 i , zD=2+6 i et zE=−9
2 +1 2i . a) Déterminer l’affixe de I milieu de [AC].
b) Déterminer l’affixe de G centre de gravité du triangle ABC.
b) Montrer que ABCD est un parallélogramme.
d) Montrer que A, B et E sont alignés.
--- EXERCICE 3: ( 4,5 pts )
Soit f la fonction définie pour tout nombre complexe z ≠ 1 , par f(z)=z−1+2 i z – 1 . 1) Donner la forme algébrique de f ( i ).
2) Déterminer la forme algébrique de la solution de l'équation f ( z ) = i . 3) a) Montrer que (1+i)2 = 2i.
b) En déduire les complexes invariants par f ( c'est à dire les complexes z tels que f(z) = z).
4) On pose z = x + i y avec x et y des réels.
Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) en fonction de x et y.
TOURNEZ S.V.P.
EXERCICE 4 : ( 5,5 pts )
Dans cet exercice le plan est muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation y=1
2(ex+e−x−2). Cette courbe est appelée « une chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de la chaînette délimité par les points M et M’, comme indiqué sur le graphique.
Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de la chaînette soit égale à sa hauteur.
1) Justifier que le problème revient à résoudre l’équation (E) : ex+e−x−4 x−2=0 . 2) On note f la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=ex+e−x−4 x−2 .
a) Vérifier que pour tout x > 0, f(x)=x
(
exx−4)
+e−x−2 .b) En déduire la limite de f en +∞.
3) On note f ' la fonction dérivée de la fonction f . a) Calculer f '(x).
b) Montrer que pour tout x > 0, f '(x) est du même signe que p(x)=e2 x−4 ex−1 . c) Factoriser p(x).
d) En déduire que f est décroissante sur [0 ;ln(2+
√
(5))] et croissante sur [ln(2+√
(5));+∞ [ puis dresser le tableau de variation de f.4) En déduire que l'équation (E) admet une seule solution sur ]0 ;+∞[.
--- EXERCICE 5 : ( 5,5 pts)
On considère la fonction f définie et dérivable sur par ℝ f(x)=x e−x. Partie A
1) Déterminer la limite de la fonction f en +∞ et en – ∞.
2) Calculer la dérivée de f et dresser le tableau de variations de f.
On donne en annexe la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La droite d’équation y = x a aussi été tracée.
Partie B
Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un).
1) Construire sur le graphique donné en annexe, u0, u1 et u2 sur l'axe des abscisses.( Laisser les tracés explicatifs apparents).
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un 0.
3) Etudier le sens de variation de la suite (un). 4) Montrer que la suite (un) est convergente.
5) a) Résoudre l'équation f(x) = x.
b) En déduire la limite de (un)
