TS6 DS 4 17 d´ecembre 2018 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom,pr´enom :
Exercice 1 : Questions de cours (10 minutes) (2 points) On suppose qu’il existe une solution f d´erivable sur R solution de l’´equation y0=y telle que f(0) = 1. Montrons qu’elle est unique.
Soit g une autre solution v´erifiant la mˆeme ´equation.
On admet que pour tout r´eel x,f(x)6= 0.
Soit h la fonction d´efinie surRpar h= g f. 1. Montrer queh est d´erivable sur R. 2. En d´erivant h, montrer que h(x) = 1.
3. Conclure.
Exercice 2 : Questions classiques (15 minutes) (3 points) 1. R´esoudre e2x+5<1
2. D´eriver sans justification la fonction f d´efinie par f(x) = xex2−5. On factorisera le r´esultat par ex2−5
3. On consid`ere deux ´ev`enements ind´ependantsAetBtels queP(A) = 0,37 etPA(B) = 0,2.
DonnerP(B).
Exercice 3 : Probabilit´e (30 minutes) (6 points) On dispose de deux d´es cubiques dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6.
Ces d´es sont en apparence identiques mais l’un est bien ´equilibr´e et l’autre truqu´e. Avec le d´e truqu´e la probabilit´e d’obtenir 6 lors d’un lancer est ´egale
` a 1
3.
Les r´esultats seront donn´es sous forme de fractions irr´eductibles.
1. On lance le d´e bien ´equilibr´e trois fois de suite et on d´esigne par X la variable al´eatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
(a) Quelle loi de probabilit´e suit la variable al´eatoire X?
(b) Quelle est son esp´erance ? (c) Calculer P(X= 2).
2. On choisit au hasard l’un des deux d´es, les choix ´etant ´equiprobables. Et on lance le d´e choisi trois fois de suite.
On consid`ere les ´ev`enements D et A suivants :
• Dle d´e choisi est le d´e bien ´equilibr´e;
• A :obtenir exactement deux 6.
(a) Construire un arbre de probabilit´e mod´elisant ce probl`eme.
(b) Calculer la probabilit´e des ´ev`enements suivants :
• choisir le d´e bien ´equilibr´e et obtenir exactement deux 6;
• choisir le d´e truqu´e et obtenir exactement deux 6. (c) En d´eduire que :p(A) = 7
48.
(d) Ayant choisi au hasard l’un des deux d´es et l’ayant lanc´e trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilit´e d’avoir choisi le d´e truqu´e ?
3. On choisit au hasard l’un des deux d´es, les choix ´etant ´equiprobables, et on lance le d´e n fois de suite (n d´esigne un entier naturel sup´erieur ou
´
egal `a 2).
On note Bn l’´ev`enement obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs.
(a) D´eterminer, en fonction den, la probabilit´epn de l’´ev`enementBn. (b) Calculer la limite de la suite (pn). Commenter ce r´esultat.
TS 6 DS 4 Page 2 sur 2 Exercice 4 : Probl`eme fonction exponentielle (55 minutes) (9 points)
On a repr´esent´e ci-dessous la courbe d’´equation :y = 1
2(ex+ e−x−2). Cette courbe est appel´ee une chaˆınette.
On s’int´eresse ici auxarcs de chaˆınetted´elimit´es par deux points de cette courbe sym´etriques par rapport `a l’axe des ordonn´ees.
Un tel arc est repr´esent´e sur le gra- phique ci-contre en trait plein.
On d´efinit la largeur et la hau- teurde l’arc de chaˆınette d´elimit´e par les points M etM0 comme indiqu´e sur le graphique.
A.P.M.E.P.
!Baccalauréat S Métropole–La Réunion 22 juin 2018"
Exercice 1 6 points
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation : y=1
2
!ex+e−x−2"
. Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les pointsMetM′comme indiqué sur le graphique.
−2 −x x
largeur hauteur
M!
x;12(ex+e−x−2)"
M′
Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du pointMd’abscissexstricte- ment positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.
1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation
(E) : ex+e−x−4x−2=0.
2. On notef la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :
f(x)=ex+e−x−4x−2.
a. Vérifier que pour toutx>0,f(x)=x
#ex
x−4
$ +e−x−2.
b. Déterminer lim x→+∞f(x).
3. a. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf. Calculerf′(x), oùxappartient à l’intervalle [0 ;+∞[.
b. Montrer que l’équationf′(x)=0 équivaut à l’équation : (ex)2−4ex−1=0.
c. En posantX=ex, montrer que l’équationf′(x)=0 admet pour unique solution réelle le nombre ln!
2+%5"
.
4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivéef′def:
Le but de l’exercice est d’´etudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaˆınette soit ´egale `a sa hauteur.
1. Justifier que le probl`eme ´etudi´e se ram`ene `a la recherche des solutions strictement positives de l’´equation (E) : ex+ e−x−4x−2 = 0.
2. On note f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) = ex+ e−x−4x−2.
(a) V´erifier que pour toutx >0, f(x) =x ex
x −4
+ e−x−2.
(b) D´eterminer lim
x→+∞f(x).
3. (a) On note f0 la fonction d´eriv´ee de la fonction f. Calculer f0(x), o`u x appartient `a l’intervalle [0 ; +∞[.
(b) Montrer que l’´equation f0(x) = 0 ´equivaut `a l’´equation : (ex)2−4ex−1 = 0.
(c) En posant X = ex, montrer que l’´equation f0(x) = 0 ´equivaut `a l’´equation ex= 2 +√
5.
On admet dans la suite que la solution est environ 1,44
4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction d´eriv´eef0 def : x
f0(x)
0 ≈1,44 +∞
− 0 +
(a) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
(b) D´emontrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution stric- tement positive que l’on notera α.
5. On consid`ere l’algorithme suivant o`u les variables a, b et m sont des nombres r´eels :
Tant que b−a >0,1 faire : m← a+b
Si em+e2−m−4m−2>0, alors : b←m
Sinon : a←m Fin Si Fin Tant que
m a b b−a
2 3 1
2,5
. . . .
(a) Avant l’ex´ecution de cet algorithme, les variablesa etb contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles `a la fin de l’ex´ecution de l’algorithme ?
On justifiera la r´eponse en compl´etant le tableau ci-contre avec les diff´erentes valeurs prises par les variables, `a chaque ´etape de l’al- gorithme.
(b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme `a la question pr´ec´edente ?
6. La Gateway Arch, ´edifi´ee dans la ville de Saint-Louis aux ´Etats-Unis, a l’allure ci- contre.
Son profil peut ˆetre approch´e par un arc de chaˆınette renvers´e dont la largeur est ´egale
`
a la hauteur.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
x 0 ln!
2+! 5"
+∞
f′(x) − 0 +
a. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
b. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution strictement positive que l’on noteraα.
5. On considère l’algorithme suivant où les variablesa,betmsont des nombres réels : Tant queb−a>0,1 faire :
m←a+b
Si em+2e−m−4m−2>0, alors : b←m
Sinon : a←m Fin Si Fin Tant que
a. Avant l’exécution de cet algorithme, les va- riablesaetbcontiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.
b. Comment peut-on utiliser les valeurs obte- nues en fin d’algorithme à la question précé- dente ?
m a b b−a
2 3 1
2,5
. . . . . . . . .
6. LaGateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-contre.
Son profil peut être approché par un arc de chaînette ren- versé dont la largeur est égale à la hauteur.
largeur hauteur
La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation :
!E′"
: e39t +e−39t −4 t
39−2=0.
Donner un encadrement de la hauteur de laGateway Arch.
Métropole 2 22 juin 2018
La largeur de cet arc, exprim´ee en m`etre, est ´egale au double de la solution strictement positive de l’´equation : (E0) : e39t + e−39t −439t −2 = 0.
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
