TS Test 3 2013-2014
EXERCICE 1 : (2 points)
f est de la formeu×v3oùu:x7→xet v:x7→√ x+ 1.
Ces deux fonctions sont dérivables sur ]0; +∞[ et u′ : x7→ 1, puis v′ : x7→ 1 2√
x._ En utilisant la dérivation d’un produit, on af′=u′v3+u×3v′v2.
Pour toutx >0,f′(x) = 1×(√
x+ 1)3+ 3×x× 1 2√
x×(√
x+ 1)2= (√
x+ 1)3+ 3x 2√
x(√ x+ 1)2
Finalement, après factorisation et simplification, pour x >0, f′(x) = (√
x+ 1)2(3 2x+5
2
√x+ 1) .
EXERCICE 2 : (2.5 points)
f =√uavecu:x7−→x2+x+ 1.uest définie, dérivable, et strictement positive surR. (discriminant négatif donc expression du signe dea).
f′= u′ 2√
u, ce qui donne pour toutx∈R, f′(x) = 2x+ 1 2√
x2+x+ 1. f(−1) = 1,f′(−1) =−1
2 donc
y=f′(−1)(x+ 1) +f(−1)⇔y=−1
2(x+ 1) + 1⇔y=−1 2x+1
2
EXERCICE 3 : (2.5 points)
Calculer la limite en +∞de la fonction suivante f(x) =
r 1−x
−4x+ 3 + 2 x2
x→+∞lim 1−x
−4x+ 3 =1 4
Xlim→1/4
√X =1 2
(composition)
x→+∞lim
r 1−x
−4x+ 3 = 1 2
x→+∞lim 2 x2 = 0
(somme)
x→+∞lim f(x) = 1 2
EXERCICE 4 : (3 points)
M :« Il pleut le matin »etS:« Il pleut le soir ».
b b
M 1/6
b S
1/3
b S
2/3
b
5/6 M
b S
1/6
b S
5/6
On a S =
S∩M;S∩M . En utilisant la formule des probabilités totales :
p(S) =p(S∩M) +p(S∩M)
=pM(S)×p(M) +pM(S)×p(M)
=1 3 ×1
6 +1 6×5
6
= 1 18+ 5
36 p(S) = 7
36
My Maths Space 1 sur 1
