Probabilité pour les terminales (Programme 2021)     

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Probabilité pour les terminales Page 1 sur 8

Probabilité pour les terminales (Programme 2021)

I) Rappels de première :

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La réunion de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A …… l’événement B.

On note A∪B et on lit « A ……… B »

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L’intersection de deux événements A et B est l’événement constitué des résultats qui réalisent l’événement A …… l’événement B.

On note A∩B et on lit « A ……… B »

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Deux événements sont ……… si :

- Ils n’ont ………

- La réunion de leur résultat forme ………

On note A l’événement contraire de A. On lit « ………».

A et A sont des évènements ………. A∩ A = …… et A∪ A = …….

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La probabilité d’un évènement correspond ………

……….

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Propriétés des probabilités : p(A ) = ………

p(A∪B) = ………

Si A et B sont incompatibles, alors P(A∩B) = …… et p(A∪B) = ………

Exercice N°1 : On lance un dé à six faces, on considère l’événement A « obtenir au moins 5 » et l’événement B « obtenir un nombre impair ».

Ecrire les issues correspondantes à :

A = {………} B = {………}

Calculer p(A) et p(B) (arrondir au millième): p(A) = ……… p(B) = ………

Décrire l’évènement A ∩ B : ………

Ecrire les issues correspondantes à A∩B : A∩B = {………}

Calculer p(A∩B) (arrondir au millième) : p(A∩B) = ………… = ……….

Calculer p(A∪B) (arrondir au millième) : p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) = p(A∪B) = ………

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Exercice N°2 : Un jeu contient 32 cartes, la règle du jeu est la suivante : « Chaque joueur tire une carte, il gagne si c’est une figure. »

L’événement A permettant de gagner est le tirage d’une figure. Ecrire les résultats correspondant à l’événement A.

A = {………}

Calculer la probabilité p(A).

p(A) = …… = ………

L’événement contraire de A est noté A . Déterminer la probabilité de l’événement A . p( A ) = ……….

On modifie la règle du jeu : « Pour gagner, il faut tirer une figure ou un as ».

Déterminer la probabilité de l’événement B : « tirer un as ».

p(B) = ……… = ……….

Les événements A et B sont-il incompatibles ? ………

………

Calculer p(A∪B) = ………

II) Probabilité conditionnelle :

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Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé. L’ « univers des possibles » est restreint par la condition.

Soient A et B deux événements tels que la probabilité de A est non nulle. La probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisée, noté pA(B), est définie par :

pA(B) = ……… avec p(A)  0 pA(B) se lit probabilité de B sachant A.

Cette formule peut évoluer en utilisant le cardinal qui correspond à l’effectif (nombre d’issues possibles) :

pA(B) = ……… avec Card(A)  0

Calculer une probabilité conditionnelle à l’aide d’un tableau (2) (9 min 58) https://www.youtube.com/watch?v=Shh5IdHwqqw&feature=youtu.be

III) Utilisation d’un tableau croisé :

L’A.R.S (agence régionale de santé), constatant un taux élevé de cas de maladie alors que cette maladie est traitée par la vaccination, réalise une enquête auprès de ses habitants.

Sur les 400 personnes interrogées, 79% sont vaccinées, 10% des personnes interrogées sont tombées malades et 3% des personnes interrogées sont tombées malade en ayant été

vaccinées.

Soit M l’évènement « la personne est malade ».

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Soit V l’évènement « la personne est vaccinée ».

a) Complétez le tableau croisé suivant :

M M Total

V V Total

b) Calculer les probabilités p(V) et p(M), en déduire les probabilités p( V ) et p( M ).

p(V) = ……… p(M) = ………

p( V ) = ……… p( M ) = ………

c) Calculer au centième les probabilités conditionnelles P ^V ( M ) et P ^V (M), puis calculer P ^V ( M ) + P ^V (M)

P ^V ( M ) = ……… P ^V (M) = ……… P ^V ( M ) + P ^V (M) = …………

La somme des probabilités conditionnelles ………ou ………

……… est égale à …….

IV) Utilisation d’un arbre de probabilités pondéré :

Reprenons l’exemple du tableau croisé précédent, compléter les probabilités (arrondir au centième).

…

P(V) = ……

P( V ) = ……

……

PV(M) = ……

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Un ……… est un outil qui permet de calculer des probabilités.

Partant d’une racine, il est constitué de ……… qui mènent à ……… . Chaque ……

correspond à un événement dont la probabilité est notée sur ……… qui y mène.

La ……… des probabilités partant d’un même ……… est égale à …….

Exemple : p(V) + p( V ) = ……….

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La probabilité de l’événement qui correspond ……… est égale ………

des probabilités notées sur ………de ce chemin.

Exemple : le chemin repéré par p( V ∩ M) = p( V ) x p ^V (M) = ……….

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Formule des probabilités totales : La probabilité d’un événement est égale à la ………

des probabilités ………qui aboutissent à cet événement.

Exemple : Calculer p(M). Il y a deux chemins qui conduisent à M.

p(M) = p(V ∩ M) + p( V ∩ M) =

p(M) = p(V) x PV(M) + p( V ) x p ^V (M) = ……….

(Effectivement à partir du tableau croisé, nous avions trouvé p(M) = ………….) Appliquer la formule des probabilités totales (11 min 57)

https://www.youtube.com/watch?v=qTpTBoZA7zY V) Exercices :

Prépare ton bac : Probabilité conditionnelles (9 min 57) https://www.youtube.com/watch?v=7V7zRFislOQ Exercice N°1 :

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

L’entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables et des clés USB.

Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi :

- Parmi les ordinateurs vendus, 5% ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2% ont aussi un disque défectueux.

- Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5% ont un disque dur défectueux.

On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.

Suite à l’achat d’un ordinateur : Proposition 1 :

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La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,8 à 0,01 près.

Proposition 2 :

La probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,048 5.

Proposition 3 :

Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02.

Afin de résoudre le problème, vous créerez un arbre de probabilités pondéré. On détermine pour cela deux évènements :

L’évènement B : « la batterie est défectueuse ».

L’évènement D : « le disque dur est défectueux ».

Proposition 1 :

………

Proposition 2 :

………

Proposition 3 :

………

Exercice N°2 :

Une étude a été réalisée dans deux entreprises A et B qui fabriquent des trottinettes. On sait que 40% des trottinettes proviennent de l’entreprise A et que parmi celles-ci 40% sont électriques alors qu’il n’y a que 20% de trottinettes de l’entreprise B qui sont électriques.

On choisit au hasard une trottinette dans l’ensemble de la production. On note les événements :

A « la trottinette provient de l’entreprise A ».

…

……

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B «la trottinette provient de l’entreprise B ».

E « la trottinette est électrique ».

a) Compléter le tableau croisé suivant :

A B Total

E E

Total 100

b) Compléter l’arbre de probabilités pondérées.

Exercice N°3 :

Un sac contient dix pièces de monnaie, trois de ces dix pièces sont truquées. Une pièce truquée permet d’obtenir face 8 fois sur 10. On pioche au hasard une pièce dans ce sac et on la lance. On note les événements :

T « la pièce est truquée ».

F « on obtient face au lancé ».

a) Compléter l’arbre de probabilités pondérées.

b) Quelle est la probabilité d’obtenir « face ».

………

…

……

…

……

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VI) Indépendance de deux événements :

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Lorsque deux événements A et B sont indépendants, on a ……….

Propriété : Si deux événements A et B sont indépendants, alors :

……… sont indépendants.

On dit que deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ………

de la réalisation de l’autre.

1) Montrer que deux événements sont indépendants.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements : A « obtenir une figure ».

B « obtenir un pique ».

Ces deux événements sont-ils indépendants ?

Si les deux événements sont indépendants, on peut dire que p(A ∩ B) = p(A) x p(B).

p(A) = ……… p(B) = ……… p(A ∩ B) = ………

p(A) x p(B) = ………

Les événements A et B ……… indépendants.

Démonter l’indépendance de deux événements (9 min 03) https://www.youtube.com/watch?v=wdiMq_lTk1w

2) Exercice :

Sur 300 élèves d’un lycée, 120 étudient l’anglais, 100 l’espagnol et les autres l’italien. Parmi ces élèves, 120 ont voyagé à l’étranger au cours de leurs vacances, dont 40 qui étudient l’espagnol et 30 l’anglais.

Soient les événements suivants :

V « l’élève a voyagé à l’étranger pendant ses vacances ».

A « l’élève étudie l’anglais ».

E « l’élève étudie l’espagnol ».

I « l’élève étudie l’italien ».

a) Compléter le tableau des effectifs.

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V V Total

A E I Total

b) Les événements E et V sont-ils indépendants ? (Les calculs de probabilités seront arrondis au millième si nécessaire.)

c) Les événements A et V sont-ils indépendants ?

d) Les événements A et E sont-ils indépendants ? (Les calculs de probabilités seront arrondis au millième si nécessaire.)