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Problème 4

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Problème 4

Théophile Cailliau

Soit un ensemble E ={a, b, c, d, . . .} aveca < b < c < d < . . .. On procède par récurrence.

Pour {a, b}, a+b est bien le coût minimal (c’est la seule valeur possible).

On suppose maintenant que le coût minimal pour E tq #E = k est atteint en fusionant toujours les plus petites valeurs.

PourE_k+1 tq#E =k+ 1, en prenant n’importe quel couple on se ramène à un ensemble àk éléments dont on sait que le cout est minimisé en prenant les deux plus petits éléments. Comme le coût s’additionne, on doit prendre, pour minimiser le cout, les deux plus petits éléments de E_k+1.

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Références

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a0·bn+1+ (∑n k=1 (n k ) ·ak·bn−k+1

A l’aide du raisonnement par récurrence, on vient de montrer que cette propriété est vraie pour tout entier naturel

T A B L E d e D U R B I N - W A T S O N : T e s t u n i l a t é r a l d e r r = 0 c o n t r e r r > 0 , a u s e u i l d e 5 % ( t e s t b i l a t é r a l : s e u i l a a = 1 0 % ) k ’ = 1 k ’ = 2 k ’ = 3 k ’ = 4 k ’ = 5 k ’ = 6 k ’ = 7 k ’ = 8 k ’ = 9 k ’

[r]

We set e~k:=e⊗k1 1

[r]

1JH@K?JE =K ?=?K @AI FH>=>EEJ I

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins trois fois (( face

Dans tout le problème, E désigne un ensemble à n éléments.

D'après la partie préliminaire, tous les coecients du binôme qui interviennent dans la formule précédente sont plus petits que ω(n). Ce qui permet

k + 1 − ln(k + 1) + ln k = 1

En sommant l'encadrement de la

Pourk≥1, on peut écrire (k+ 1) n k =k n k + n k =n n−1 k−1 + n k d'où , en notantS la somme cherchée : S=n n X k=1 n−1 k−1 + n X k=0 n k =n2n−1+ 2n = (n+ 2)2n−1 Autre solution

Une somme qui porte sur les k de K α (x) est plus petite qu'une somme obtenue en ajoutant des termes positifs pour les autres k.. On considère la somme de la

V E ( ( X X ) ) = = i k i k ∑ = = ∑ = = 1 n 1 n x x i k 2 × × P P ( ( X X = = x x k i ) ) − = [] k k E ∑ = = ( 1 n X x ) k 2 × p k

[r]

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      C P k = = C − k et = i () C e ⋅ e = () () C C 2 2 C C C 12 C C C C ()= () P = E × B d r = E ⋅ A k E = − iC − e ; A = − e ; ⎡⎣⎤⎦ ⎡⎣⎤⎦ E P P P = − ⋅ = = A = − iC k k = = k + − k + − k k + − = − k − 0 k k = k ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ L L L

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