Chapitre 6 : Fonctions vectorielles
Table des matières
1 Fonctions vectorielles 2
1.1 Généralités . . . 2
1.2 Fonctions vectorielles de classeCk . . . 2
1.3 Développement limité d’une fonction vectorielle . . . 3
1.4 Formules sur les dérivées . . . 3
2 Arcs paramétrés 6 2.1 Généralités . . . 6
2.2 Tangente en un point . . . 6
2.3 Position relative de la courbe et sa tangente . . . 7
2.4 Longueur d’un arc paramétré . . . 8
3 Exemples 10 3.1 Réduction du domaine d’étude et utilisation des symétries . . . 10
3.2 Étude de l’astroïde . . . 11
3.3 Étude du lemniscate de Bernoulli . . . 12
3.4 Étude de la strophoïde . . . 13
Lycée du Hainaut
Dans tout le chapitre,nest un entier naturel supérieur ou égal à 2 etIest un intervalle non trivial deR.
1 Fonctions vectorielles
1.1 Généralités
Définition 1. Fonction vectorielle.
On appellefonction vectorielletoute fonction deI surRn.
Remarque 1. Si f :I −→Rn est une fonction vectorielle, on peut l’écrire sous la formef = (x1,. . .,xn) où pour touti∈[[1,n]],xi est une fonction deI surR.
Exemple 1. La fonction f :R −→R2 définie parf(t) = (cos(t), sin(t))est une fonction vectorielle où les fonctionsxet y sont définies surRparx(t) =cos(t)et y(t) =sin(t).
Définition 2. On considère une fonction vectorielle f = (x1,. . .,xn):I−→R. Soit a∈I.
(i) On dit quef estcontinueen a, si pour touti∈[[1,n]],xi est continue ena.
(ii) On dit quef estcontinuesurI, si pour touti∈[[1,n]],xi est continue surI.
(iii) On dit quef estdérivableen a, si pour touti∈[[1,n]],xi est dérivable ena et on pose alors f′(a) = x′1(a),. . .,x′n(a).
(iv) On dit quef estdérivablesurI, si pour touti∈[[1,n]],xi est dérivable surI et on pose alors
∀t∈I, f′(t) = x′1(t),. . .,x′n(t). Remarque 2. La dérivée correspond à la vitesse du point mobilef(t)à l’instantt.
Exemple2.En reprenantfdéfinie ci-dessus,fest dérivable surRet pour toutt∈R,f′(t) = (−sin(t), cos(t)). Proposition 1. Opérations sur les fonctions vectorielles.
Soientf,g:I−→Rn deux fonctions vectorielles. Soitλ:I−→R une fonction réelle.
(i) Sif etg sont continues surI (resp. dérivable surI), alors f+g est continue surI (resp. dérivable sur I et pour toutt∈I, (f+g)′(t) =f′(t) +g′(t)).
(ii) Si λ et f sont dérivables surI, alors la fonction vectorielle λf est dérivable sur I et pour tout t ∈I, (λf)′=λf′+λ′f.
Démonstration. (i) Il suffit d’utiliser les théorèmes relatifs à la somme de fonction continues (resp. déri- vables) pour les fonctions coordonnées.
(ii) Il suffit d’utiliser la formule permettant de calculer la dérivée d’un produit pour les fonctions coordonnées.
1.2 Fonctions vectorielles de classe C
kDéfinition 3. Fonction vectorielle de classe Ck. Soit k∈N∪ {∞}.
On dit quef = (x1,. . .,xn):I−→R est declasse Ck si pour touti∈[[1,n]],xi est de classe Ck surI.
Notation. On noteCk(I,Rn)l’ensemble des fonctions vectorielles définies surIà valeurs dansRnde classe Ck surI.
Remarque 3. La dérivée seconde correspond à l’accélération du point mobilef(t)à l’instantt.
Proposition 2. L’ensembleCk(I,Rn) est un espace vectoriel pour les lois usuelles.
Démonstration. Il suffit remarquer que Ck(I,Rn) contient la fonction nulle et est stable par combinaison linéaire : cela résulte du fait queCk(I,R)est un espace vectoriel (que l’on utilise aux fonctions coordonnées).
1.3 Développement limité d’une fonction vectorielle Lycée du Hainaut
1.3 Développement limité d’une fonction vectorielle
Définition 4. Développement limité.
Soit f :I −→Rn, a∈I et k∈ N. La fonction vectorielle f admet un développement limité en a à l’ordre ks’il existe des vecteurs v0,. . .,vk ∈Rn tels que pour touth∈R tel quea+h∈I
f(a+h) =
h→0v0+v1h+· · ·+vkhk+o hk
.
Remarque 4. (i) Si f admet un développement limité à l’ordre k en a, alorsf admet un développement limité enaà l’ordreℓpour toutℓ∈[[0,k]].
(ii) La fonctionfadmet un développement limité enaà l’ordreksi, et seulement si, ses fonctions composantes admettent un développement limité à l’ordrek ena.
Exemple 3. En reprenant la fonctionf de l’exemple 1, on a f(t) =
t→0(1, 0) + (0, 1)t+
−1 2, 0
t2+
0,−1
6
t3+o t3 . Théorème 1. Formule de Taylor-Young.
Soit f :I−→Rn une fonction de classeCk. Soita∈I. Alors f admet un développement limité à l’ordre k ena et pour touth∈R tel quea+h∈I, on a
f(a+h) =
h→0f(a) +f′(a)h+f
′′(a)
2! h2+· · ·+f(
k)(a)
k! hk+o hk
.
Démonstration. Il suffit d’appliquer la formule de Taylor-Young à chacune des fonctions coordonnées, qui sont de classeCk d’après la définition 3.
1.4 Formules sur les dérivées
Proposition 3. Dérivée d’un produit scalaire et d’une norme.
Soientf,g:I−→Rn deux fonctions vectorielles dérivables surI.
(i) L’application sdéfinie surI pars(t) =hf(t),g(t)iest dérivable surI et
∀t∈I, s′(t) =f′(t),g(t)+f(t),g′(t).
(ii) Soit l’application n définie sur I parn(t) = kf(t)k. Si f ne s’annule pas sur I, alors n est dérivable surI et
∀t∈I, n′(t) = hf(t),f′(t)i kf(t)k .
Remarque5. Le lecteur observateur remarquera en (i) que la formule est la même que celle qui donne la dérivée d’un produit. C’est normal !
On utilisera l’inégalité suivante, dite inégalité de Cauchy-Schwarz, que l’on prouvera dans un chapitre ultérieur.
Proposition 4. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
On note parh·,·ile produit scalaire usuel sur R2 ouR3. On notek·k la norme associée. Pouri∈ {2, 3}, on a
∀(x,y)∈Ri×Ri, |hx,yi| ≤ kxk × kyk.
Démonstration. (i) Soient t∈I et h∈Rtel quet+h∈I. Comme f et g sont dérivables en t, d’après le théorème 1, il existe deux fonctionsε1 etε2 vérifiant lim
h→0ε1(h) = lim
h→0ε2(h) =0 telles que f(t+h) =f(t) +hf′(t) +hε1(h) et g(t+h) =g(t) +hg′(t) +hε2(h).
1.4 Formules sur les dérivées Lycée du Hainaut
En utilisant la bilinéarité des, on peut écrire
s(t+h) = f(t) +hf′(t) +hε1(h),g(t) +hg′(t) +hε2(h)
= hf(t),g(t)i+h
f′(t),g(t)+f(t),g′(t) +h(hε1(h),g(t)i+hf(t),ε2(t)i)
+h2
f′(t),ε2(h)+ε1(h),g′(t) +hε1(h),ε2(h)i Ainsi
s(t+h)−s(t)
h = f′(t),g(t)+f(t),g′(t)
+hε1(h),g(t)i+hf(t),ε2(t)i+h
f′(t),ε2(h)+ε1(h),g′(t) +hε1(h),ε2(h)i. Or, en utilisant l’inégalité triangulaire et l’inégalité de Cauchy-Schwarz (proposition 4), on a
|hε1(h),g(t)i+hf(t),ε2(t)i| ≤ |ε1(h)| |g(t)|+|ε2(h)| |f(t)| −→
h→00 et
h
f′(t),ε2(h)+ε1(h),g′(t) +hε1(h),ε2(h)i
≤ |h|
f′(t)|ε2(h)|+g′(t)|ε1(h)|+|ε1(h)| |ε2(h)|
h→0−→0.
On en déduit donc que
hlim→0
s(t+h)−s(t)
h =f′(t),g(t)+f(t),g′(t). (ii) Soientt∈I et h∈Rtel quet+h∈I. On écrit
n(t+h)−n(t) = kf(t+h)k − kf(t)k
= kf(t+h)k2− kf(t)k2 kf(t+h)k+kf(t)k
= hf(t+h),f(t+h)i − hf(t),f(t)i kf(t+h)k+kf(t)k D’après (i), il existe une fonctionεvérfiant lim
h→0ε(h) =0 telle que hf(t+h),f(t+h)i=hf(t),f(t)i+2h
f′(t),f(t)+hε(h). Il s’ensuit que
n(t+h)−n(t)
h = 2hf
′(t),f(t)i
kf(t+h)k+kf(t)k+ ε(h)
kf(t+h)k+kf(t)k. Commek·k est continue surRn etf est continue surI, on en déduit que lim
h→0kf(t+h)k=0, ainsi
h→lim0
n(t+h)−n(t)
h = hf
′(t),f(t)i kf(t)k .
Proposition 5. Dérivée d’un produit vectoriel.
Soientf,g :I−→R3 deux applications vectorielles dérivables. L’application v l’application définie sur I parv(t) =f(t)∧g(t) est dérivable surI et
∀t∈I, v′(t) =f′(t)∧g(t) +f(t)∧g′(t). Proposition 6. Rappel sur la norme d’un produit vectoriel.
Soientuetv deux vecteurs deR3. Le vecteuru∧v a pour normekuk kvk |sin(u,v)|. En particulier, ku∧vk ≤ kuk kvk.
1.4 Formules sur les dérivées Lycée du Hainaut
Remarque 6. Le lecteur toujours observateur remarquera que la formule est la même que celle qui donne la dérivée d’un produit. C’est encore normal !
Démonstration. Adapter la preuve de (i) de la proposition 3. L’argument important est la linéarité du produit vectoriel par rapport à chacune de ses variables.
Proposition 7. Dérivée d’un déterminant.
Soientf,g,h:I−→Rn trois fonctions vectorielles dérivables surI.
(i) Sin=2, l’application D définie surI parD(t) =det(f(t),g(t))est dérivable surI et
∀t∈I, D′(t) =det f′(t),g(t)+det f(t),g′(t).
(ii) Sin=3, l’application D définie surI parD(t) =det(f(t),g(t),h(t))est dérivable surI et
∀t∈I, D′(t) =det f′(t),g(t),h(t)+det f(t),g′(t),h(t)+det f(t),g(t),h′(t). Avant de prouver cette proposition, nous utiliserons le lemme suivant qui nous permet de majorer le déterminant d’une matrice en fonction de la norme de ses colonnes. C’est une version affaiblie (mais simple) d’une inégalité dûe à Hadamard.
Lemme 1. SoitA∈Mn(K). On écritA= (C1| · · · |Cn)ses colonnes. En notant, pourj∈[[1,n]], Cj
=
v u u t
n
X
i=1
ai,j
2, on a
|det(A)| ≤nn/2
n
Y
j=1
Cj
.
Démonstration. D’après la proposition 13 du chapitre 3 (vous l’avez en tête, bien sûr !), on a
|det(A)| ≤
n
Y
j=1 n
X
i=1
ai,j
! .
L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
n
X
i=1
ai,j
≤
v u u t
n
X
i=1
1 v u u t
n
X
i=1
ai,j
2=√n Cj
. On en déduit que
|det(A)| ≤
n
Y
j=1
√n Cj
=nn/2
n
Y
j=1
Cj
.
Nous pouvons maintenant prouver la proposition 7.
Démonstration. (i) Soient t∈I et h∈Rtel quet+h∈I. Comme f et g sont dérivables en t, d’après le théorème 1, il existe deux fonctionsε1 etε2 vérifiant lim
h→0ε1(h) = lim
h→0ε2(h) =0 telles que f(t+h) =f(t) +hf′(t) +hε1(h) et g(t+h) =g(t) +hg′(t) +hε2(h). En utilisant la linéarité du déterminant par rapport à chacune de ses variables, on a
D(t+h) = det(f(t+h),g(t+h))
= det f(t) +hf′(t) +hε1(h),g(t) +hg′(t) +hε2(h)
= D(t) +h det f′(t),g(t)+det f(t),g′(t) +h(det(f(t),ε2(h)) +det(ε1(h),g(t)))
+h2 det f′(t),g′(t)+det f′(t),ε2(h)+det ε1(h),g′(t)+det(ε1(h),ε2(h))
Lycée du Hainaut
Ainsi
D(t+h)−D(t)
h = det f′(t),g(t)+det f(t),g′(t) +det(f(t),ε2(h)) +det(ε1(h),g(t))
+h det f′(t),g′(t)+det f′(t),ε2(h)+det ε1(h),g′(t)+det(ε1(h),ε2(h)). En utilisant le lemme 1, on a
|det(f(t),ε2(h))| ≤2kf(t)k kε2(h)k −→
h→00 et |det(ε21(h),g(t))| ≤2kε1(h)k kg(t)k −→
h→00.
On montre de même que
hlim→0h det f′(t),g′(t)+det f′(t),ε2(h)+det ε1(h),g′(t)+det(ε1(h),ε2(h))=0.
Il s’ensuit que lim
h→0
D(t+h)−D(t)
h =det(f′(t),g(t)) +det(f(t),g′(t)). (ii) La preuve est analogue à la précédente.
2 Arcs paramétrés
2.1 Généralités
Définition 5. Arc paramétré.
Unarc paramétréest une fonction vectorielle de I versRn.
Remarque 7. On utilise la terminologie d’arc paramétré lorsque l’on veut étudier l’ensemble C = f(I). On dit quef paramètre l’arcC, mais ce n’est pas la seule.
Exemple 4. Si h: I −→R est une fonction. Alors sa courbe représentative Ch est un arc paramétré par la fonctionf :t∈I7−→(t,h(t)).
2.2 Tangente en un point
On fixe un arc paramétré C et soit f : I −→ Rn qui paramètre l’arc. Soit a ∈ I. On suppose que f(t)6=f(a)pourtassez proche dea.
Définition 6. Tangente.
Si les deux limites suivantes existent et sont égalesouopposées
fg′(a) = lim
t→a−
f(t)−f(a)
kf(t)−f(a)k et fd′(a) = lim
t→a+
f(t)−f(a) kf(t)−f(a)k, la tangenteen f(a)est alors la droite passant par f(a)et dirigée par fg′(a) etfd′(a).
Proposition 8. On suppose quef est de classe C∞ et qu’il existek∈N∗ tel quef(k)(a)6=0.
Soit p=minn
ℓ∈N∗, f(ℓ)(a)6=0o
. La tangente enf(a) est dirigée parf(p)(a). Démonstration. On utilise la formule de Taylor-Young :
f(t) =f(a) +f
(p)(a)
p! (t−a)p+o((t−a)p). Il s’ensuit que, pour tout t > a, on a
f(t)−f(a) kf(t)−f(a)k =
f(p)(a)
p! (t−a)p+o((t−a)p)
f(p)(a)
p! (t−a)p+o((t−a)p)
= f(
p)(a) +o(1) f(p)(a) +o(1) t→a−→+
f(p)(a) f(p)(a).
2.3 Position relative de la courbe et sa tangente Lycée du Hainaut
Pourt < a, on a f(t)−f(a) kf(t)−f(a)k =
f(p)(a)
p! (t−a)p+o((t−a)p)
f(p)(a)
p! (t−a)p+o((t−a)p) = (t−a)p
|t−a|p × f(p)(a) +o(1)
f(p)(a) +o(1) t→a−→+ε
f(p)(a) f(p)(a)
oùε=
(1 sipest pair
−1 sipest impair.
D’après la définition 6, la tangente à la courbe admet une tangente en f(a) dirigée par f(p)(a) f(p)(a) et ε f(p)(a)
f(p)(a) .
Définition 7. Point régulier.
On dit qu’un point f(a) estrégulier sif′(a)existe et est non nul.
Corollaire 1. Si le point f(a)est régulier, alors la tangente à la courbe paramétrée par f en aexiste et est dirigée par f′(a).
Démonstration. Il suffit d’utiliser la proposition 8.
2.3 Position relative de la courbe et sa tangente
On considère une courbe paramétrée par f : I −→ R2 de classe C∞. On suppose que les deux entiers ci-dessous existent
p=minn
k∈N∗, f(k)(a)6=0o et
q=minn
k∈N∗, f(k)(a) n’est pas colinéaire àf(p)(a)o. Par définition, on a 1≤p < q.
Proposition 9. Position relative d’un arc paramétré et d’une de ses tangente.
Avec les notations ci-dessus, on a :
(i) siq est pair, alors la tangente en f(a) à la courbe paramétrée par f reste du même côté que la courbe au voisinage dea;
(ii) siq est impair, alors la tangente enf(a) à la courbe paramétrée par f coupe la courbe au voisinage de a.
Démonstration. D’après la formule de Taylor-Young, on écrit f(t) =f(a) +f(
p)(a)
p! (t−a)p+· · ·+f(
q)(a)
q! (t−a)q+o((t−a)q). Comme pour toutk∈[[p+1,q−1]], les vecteurs f(k)(a)
k! sont colinéaires àvp= f
(p)(a)
p! , on écrit
∀k∈[[p+1,q−1]], f(k)(a)
k! =λkvp. En posantvq = f
(q)(a)
q! , on a alors
f(t)−f(a) = (t−a)p1+λp+1(t−a)vp+· · ·+λq−p−1(t−a)q−1−pvp+ (t−a)qvq+o((t−a)q). (1) Commevp et vq ne sont pas colinéaires, la famille (vp,vq)est une base deR2.
2.4 Longueur d’un arc paramétré Lycée du Hainaut
Pour alléger les notations, on poseαt =1+λp+1(t−a)vp+· · ·+λq−p−1(t−a)q−1−p. Remarquons que
tlim→aαt =1. La ligne (1) se réécrit alors en
f(t)−f(a)−αt(t−a)pvp= (t−a)qvq+o((t−a)q).
(a) Siqest pair, alors(t−a)q ≥0 au voisinage dea, donc la courbe paramétrée parf reste dans le demi-plan R+vq. Ainsi, la tangente à la courbe paramétrée et la courbe reste du même côté lorsquetest dans un voisinage dea.
(b) Si q est impair, alors (t−a)q change de signe au voisinage de a, donc la courbe paramétrée par f ne reste pas dans le demi-planR+vq. Ainsi, la tangente à la courbe paramétrée coupe la courbe en f(a).
Définition 8. On conserve les notations et les hypothèses introduites ci-dessus.
(i) Sipest impair etqpair, on dit que le point est ordinaire.
(ii) Sipest impair etqimpair, on dit que le point est un point d’inflexion.
(iii) Sipest pair etq impair, on dit que le point est un point derebroussement de première espèce.
(iv) Sipest pair etq pair, on dit que le point est un point derebroussement de seconde espèce.
Voici les différenties situations. On a notéT la tangente.
Figure 1 – Les quatre types de points.
2.4 Longueur d’un arc paramétré
Définition 9. Longueur d’une courbe.
Soit C une courbe paramétrée par une fonction vectorielle f :I −→Rn. Soit (a,b)∈I2 avec a < b. On définit lalongueur de la courbe entre a et b, notéeL(a,b,f)par
L(a,b,f) = sup
a=t0<t1<···<tm<tm+1=b,m∈N∗ m
X
k=0
kf(ti+1)−f(ti)k
où le suprémum est pris dans R+∪ {+∞}.
Remarque 8. La définition semble obscure. Un dessin permet de comprendre.
La somme des longueurs des segments en pointillé est une approximation d’autant meilleure que l’on augmente le nombre de points de la subdivision de l’intervalle.
2.4 Longueur d’un arc paramétré Lycée du Hainaut
0 1 2
0 1 2 3 4 5 6
Figure2 – Approximation de la longueur d’une courbe.
Proposition 10. Longueur d’un arc de classeC1.
Avec les mêmes notations que la définition 9, sif est supposée de classe C1 surI, on a : L(a,b,f) =
Z b a
f′(t)dt.
Démonstration. Nous n’allons pas faire la preuve en toute généralité (trop technique) mais simplement donner les étapes qui suffisent largement à comprendre.
(i) On commence par remarquer que
L(a,b,f) = lim
m→+∞ m−1
X
k=0
f
a+ (k+1)b−a m
−f
a+kb−a m
.
(ii) Par définition de la norme et en introduisantx1,. . .,xn les fonctions coordonnées def, on a
L(a,b,f) = lim
m→+∞ m−1
X
k=0
v u u t
n
X
j=1
xj
a+ (k+1)b−a m
−xj
a+kb−a m
2
.
(iii) On utilise l’égalité des accroissements finis à chaque fonction coordonnée entre a+kb−a
m et a+ (k+1)b−a
m : il existe ζj,k,m∈
a+kb−a
m ,a+ (k+1)b−a m
tel que :
xj
a+ (k+1)b−a m
−xj
a+kb−a m
= b−a
m x′j ζj,k,m de sorte que
L(a,b,f) = lim
m→+∞
b−a m
m−1
X
k=0
v u u t
n
X
j=1
x′j ζj,k,m2.
(iv) On reconnaît une somme de Riemann (en fait, ce n’est pas une somme de Riemann telle que vous l’avez définit en TSI 1, mais on peut s’y ramener), ainsi
L(a,b,f) = Z b
a
f′(t)dt.
Lycée du Hainaut
Exemple 5. Soitf :R−→R2définie parf(t) = (cos(t), sin(t)).
La longueur de la courbe entre les pointsf(0) = (1, 0)et f(2π) = (1, 0)est donnée par Z 2π
0
q
(−sin(t))2+cos()2dt= Z 2π
0
1dt=2π.
On retrouve le périmètre du cercle trigonométrique.
3 Exemples
3.1 Réduction du domaine d’étude et utilisation des symétries
SoitC un arc paramétré parf = (x,y):I−→R2.
Restriction par périodicité. LorsquexetysontT-périodiques, on étudief sur un intervalle de longueur T, par exemple [0,T].
Restriction par symétrie. Un certain nombre de transformations simples permettent encore de réduire l’intervalle d’étude. On peut retenir le tableau suivant.
Propriété Restriction Transformation
xety paires I∩R+ identité
xpaire,y impaire I∩R+ symétrie par rap- port à l’axe(Ox)
ximpaire,y paire I∩R+ symétrie par rap- port à l’axe(Oy)
xety impaire I∩R+ symétrie par rap-
port àO
Plan d’étude d’un arc paramétré. Soit f = (x,y) : I −→ R2 que l’on suppose de classe C1. On se propose d’étudier l’arcC =f(I).
1. On détermine l’ensemble de définition dexet dey. On essaie de restreindre l’intervalle en remarquant des propriétés de périodicité et/ou de parité.
2. On dresse le tableau de variations dexety.
(a) On justifie que les fonctionsxety sont dérivables surI.
(b) On résout les équationsx′(t) =0 ety′(t) =0 pourt∈I.
(c) On étudie les signes dex′(t)et y′(t) pourt∈I.
(d) On en déduit les tableaux de variations dexety surI.
3. On détermine une équation de la tangente en chaque pointf(t)apparaissant dans le tableau de variations.
4. On trace la courbe.
(a) On place sur le graphique les différentes valeurs def(t)qui apparaissent dans le tableau.
(b) On trace la tangente en chacun de ces points.
(c) On relie ces points en prenant évidemment en compte les variations dexety.
5. Si l’on a restreint l’intervalle d’étude, on n’oublie pas d’effectuer les transformations qui permettent d’obtenir toute la courbe.
3.2 Étude de l’astroïde Lycée du Hainaut
Étude des points d’inflexion. Soit un arc paramétré par une fonctionf :I−→R2 que l’on suppose de classeC∞. On souhaite étudier les points d’inflexion deC. On peut retenir le plan suivant.
1. On détermine les réelsa∈I pour lesquels f′(a)et f′′(a) sont colinéaires, par exemple en utilisant le déterminant.
2. Parmi les points trouvés, on trouve les entiersp et q et on détermine si le point est ou non un point d’inflexion.
3.2 Étude de l’astroïde
On se propose d’étudier l’arc paramétré par la fonctionf :R−→R2définie parf(t) = cos3(t), sin3(t). On posex(t) =cos3(t)ety(t) =sin3(t).
xet y sont 2π-périodiques, on étudie f sur[0, 2π]. De plus, xest paire et y impaire, on restreint l’étude sur l’intervalle [0,π].
xet y sont dérivables sur[0,π] et on a :
∀t∈[0,π], x′(t) =−3 sin(t)cos2(t) et y′(t) =3 cos(t)cos2(t). On en déduit :
t x′(t)
x(t) y′(t)
y(t)
0 π
2 π
− −
11 0 -1-1
+ 0 −
00
11
00 On a facilementf(0) = (1, 0),f(π/2) = (0, 1)etf(π) = (−1, 0).
On remarque que f′(0) = f′(π/2) = f′(π) = 0, ainsi pour connaître la direction de la tangente, on calculef′′. On a
∀t∈[0,π], f′′(t) = −3 cos3(t)−2 sin2(t)cos(t), 3 −sin3(t) +2 cos2(t)sin(t). On a doncf′′(0) = (−3, 0),f′′(π/2) = (0,−3)etf′′(π) = (3, 0).
1
−1
−1 1
Figure3 – Astroïde.
3.3 Étude du lemniscate de Bernoulli Lycée du Hainaut
Calculons la longueur de l’astroïde. Par 2π-périodicité et d’après la proposition 10, la longueur est Z 2π
0
f′(t)dt = Z 2π
0
q9 sin2(t)cos4(t) +9 cos2(t)cos4(t)dt
= 3Z 2π 0
cos2(t)dt
= 3π.
3.3 Étude du lemniscate de Bernoulli
On se propose d’étudier l’arc paramétré par la fonctionf :R−→R2définie parf(t) = t
1+t4, t3 1+t4
. On posex(t) = t
1+t4 ety(t) = t
3
1+t4.
Les fonctions x et y sont définies sur R. On remarque qu’elles sont toutes les deux impaires, ainsi on restreint l’étude surR+.
xet y sont dérivables surR+ et
∀t∈R+, x′(t) = 1−3t
4
(1+t4)2 et y
′(t) =t
2 3−t4 (1+t4)2 . On en déduit :
t x′(t)
x(t) y′(t)
y(t)
0 √4
1/3 √4
3 +∞
+ 0 − −
00 3
4
√4
3 1/3 4
√4
1/3 1 00
4
√43
+ + 0 −
00
1 4
√4
1 27 4
√4
27
00 3
4
√4
1/27
1
−1
Figure4 – Lemniscate de Bernoulli.
3.4 Étude de la strophoïde Lycée du Hainaut
3.4 Étude de la strophoïde
On se propose d’étudier l’arc paramétré par la fonctionf :R−→R2 avecf(t) =
−1−t2
1+t2,−t1−t2 1+t2
. On posex(t) =−1−t2
1+t2 et y(t) =−t1−t2 1+t2.
Les fonctionsxety sont définies surR. On remarque quexest paire ety est impaire, on restreint l’étude surR+.
xet y sont dérivables surR+ et on a
∀t∈R+, x′(t) = 4t
(1+t2)2 et y
′(t) = t
2+2−√ 5
t2+2+√5 (1+t2)2 . On en déduit :
t x′(t)
x(t) y′(t)
y(t)
0 p√
5−2 +∞
0 + +
−1
−1 1−√ 11
5 2
− 0 +
00 p√5−2 1−√5 2
p√5−2 1−√5 2
+∞ +∞
Comme x′p√ 5−2
=0 et y′p√ 5−2
6
= 0, la tangente en fp√ 5−2
est dirigée par une tangente parallèle à l’axe(Oy).
0.5 1.0 1.5
−0.5
−1.0
−1.5
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
−2.5 0.5 1.0 1.5 2.0
Figure 5 – Strophoïde.
