ECO 4272 : Introduction ` a l’´ Econom´ etrie Tests diagnostics

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ECO 4272 : Introduction ` a l’´ Econom´ etrie Tests diagnostics

Steve Ambler

Département des sciences économiques Ecole des sciences de la gestion´ Université du Québec à Montréal

2018: Steve Amblerc

Hiver 2018

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Introduction

I But : présenter de fa¸con informelle quelques tests diagnostics couramment utilisés en économétrie appliquée.

I Stock et Watson : beaucoup d’accent sur les données non normales et non homoscédastiques, peu pou pas d’accent sur les fa¸cons de détecter la non-normalité ou l’hétéroscédasticité.

I Voir Boomsma (2014) et Fox (2009) pour plus de d´etails, ou le 4e chapitre de Kleiber et Zeileis (2008).

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Introduction (suite)

Quelques r´ef´erences Wikipedia: 1. Breusch-Pagan Test 2. Cook’s Distance

3. Errors-in-Variables Models 4. Hat Matrix

5. Heteroscedasticity 6. Leverage (Statistics) 7. Multicollinearity 8. Normality Test

9. Normal Probability Plot 10. Q-Q Plot

11. Ramsey Reset Test 12. Studentized Residual 13. White Test

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Plan

1. Section sur les diagnostics informels

1.1 Analyse grahique ou algébrique des résidus d’un modèle de régression

1.2 Diagnostics pour détecter des observations qui ont une influence démesurée sur les résultats de l’estimation (coefficients, valeurs prédites, variance estimée de l’erreur, variance estimée des coefficients, etc.)

2. Tests formels de 2.1 l’homosc´edasticit´e

2.2 la forme fonctionnelle du modèle de régression 2.3 la normalité du terme d’erreur

2.4 mesures de la multicollinéarité 2.5 l’indépendance des erreurs 2.6 l’endogénéité

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Diagnostics informels

I Résidus versus valeurs prédites. Nous avons déjà parlé de cet outil.

I Problème potentiel :même si les erreursdu modèle de régression sont homoscédastiques et indépendantes

(autrement dit les données proviennent d’un échantillon i.i.d.), les résidusdu modèle de régression auront une variance non constante et ne seront pas indépendants les uns par rapport aux autres.

I Pour cette raison, on travaille souvent avec les r´esidus

normalis´es, un concept auquel nous allons revenir ci-dessous.

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Graphique Q–Q

I Pour analyser l’hýpothèse de la normalité des erreurs. Le

Q est cens´e faire penser `a quantile

I On compare les quantiles de deux distributions de probabilit´e sur un graphique

I Si φ(·) est la fonction de distribution normale cumul´ee,φ⁻¹ donne les quantiles

I 2 distributions sont identiques ⇒ les points se retrouveront sur une droite avec une pente de 45 degr´es

I Relation lin´eaire entre 2 distributions⇒ les points se retrouveront sur une droite

I En R qqnorm(x) crée un graphique qui compare x à une normale théorique

I En R plot(model,which=2) fait la même chose pour les résidus d’un modèle estimé aveclm(·)

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Diagramme de variable ajout´ ee

I But – détecter si l’impact d’une variable individuelle (dans un modèle de régression multiple) est bien capté par une relation linéaire

I Difficile avec un graphique des r´esidus contre la variable explicative (il faut tenir constantes les valeurs de toutes les autres variables explicatives)

I On voudrait regarder l’impact d’une variable individuelle sur la variable d´ependante ayant purg´e l’impact de toutes les autres variables

I Un diagramme de variable ajout´ee nous permet de faire ceci.

La d´emarche est la suivante :

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Diagramme de variable ajout´ ee (suite)

1. Estimer un modèle avecY comme variable dépendante et toutes les autres variables à partXj comme variables explicatives. Appelons les résidus û_y

2. Estimer un modèle X_j comme variable dépendanteet toutes les autres variables explicatives à partX_j comme variables explicatives. Appelons les résidus ûj

3. Créer un graphique avec û_y sur l’axe vertical et û_j sur l’axe horizontal

4. On peut aussi estimer ˆ

u_yi =γ₀+γ₁uˆ_ji +_i.

et ajouter la ligne de r´egression au graphique (avec la commande abline(·))

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Diagramme de variable ajout´ ee (suite)

I Le théorème Frisch-Waugh-Lovell nous dit que le ˆγ₁ doit être identique à ˆβ_j

I En R,avPlots(·)(packagecar), où l’argument est un modèle estimé, crée des diagrammes de variable ajoutée pour toutesles variables explicatives

I Interprétation — le coefficient ˆγ donne l’impact deXj sur Y une fois que l’on purgeX_j des effets des autres variables explicatives. Mais c’est exactement ce que fait l’estimation par MCO du modèle de régression multiple.

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Diagramme de r´ esidus partiels

I Graphique avec ˆu_i + ˆβ_jX_ji sur l’axe vertical, X_ji sur l’axe horizontal

I La pente est donn´ee par ˆβ_j

I Boomsma (2014) – ces diagrammes sont plus utiles pour détecter les non-linéarités, tandis que les diagrammes de variable ajoutée sont plus utiles pour détecter les observations aberrantes et influentes

I R:prplot(·,x)(packagefaraway) permet de générer automatiquement des graphiques de résidus partiels pour un modèle estimé

I Premier argument : nom du modèle estimé. Deuxième argument : nombre de la variable explicative.

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R´ esidus Normalis´ es

I Même si les erreurs d’un modèle sont homoscédastiques, les résidus ne le sont pas

I Les résidusne peuventêtre indépendants puisqu’ils satisfont X⁰Uˆ= 0

I Cette propriété impose des relations algébriques exactes(en faitk+ 1 relations exactes) entre les résidus qui les

empêchent d’être indépendantes au sens statistique du terme

I Nous avons

Uˆ≡Y −Xβˆ=Y −X X⁰X−1

X⁰Y

=

I −X X⁰X−1

X⁰

Y

≡(I−H)Y

I (I−H) est sym´etrique etidempotente

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R´ esidus Normalis´ es (suite)

I Variance (conditionnelle) du vecteur des résidus Û. Û est n×1, la matrice variance-covariance est n×n

E

UˆUˆ⁰|X

= E (I−H)YY⁰(I −H)|X

= E (I −H) (Xβ+U) (Xβ+U)⁰(I −H)|X

= (I−H)Xββ⁰X⁰(I−H) +E (I−H)XβU⁰|X +E Uβ⁰X⁰(I−H)|X + (I−H) E UU⁰

(I −H).

= (I−H) E UU⁰

(I−H) puisque (I −H)X = 0

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R´ esidus Normalis´ es (suite)

I Cas homosc´edastique :

=σ²(I−H),

I Même si les erreurs sont homoscédastiques les variances des résidus sont proportionnelles aux éléments sur la diagonale de (I−H)

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R´ esidus normalis´ es (suite)

I Résidusnormalisés (oustudentisés de fa¸con interne) :

r_i ≡ uˆ_i ˆ σ√

1−h_ii

où ˆσ est l’écart type de la régression et lesh_ii sont les

´

el´ements sur la diagonale de H

I On normalise les r´esidus en divisant par un estim´e de leurs

´

ecarts types (sousH₀ de l’homosc´edasticit´e)

I Un graphique avec les résidus normalisés (ou au carré) sur l’axe vertical et avec la variable dépendante ou une des variables explicatives sur l’axe horizontal peut faire ressortir mieux si l’hypothèse de l’homoscédasticité tient ou non

I R:rstandard(·). L’argument : l’objet utilisé pour sauvegarder les résultats d’estimation d’un modèle

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R´ esidus normalis´ es (suite)

I Si les hypothèses statistiques derrière le modèle tiennent (y compris l’homoscédasticité des erreurs), il devrait être le cas que Var (r_i|X) = 1 et Corr (r_i,r_j|X) a tendance à être faible (Kleiber et Zeileis 2008)

I Dans les sections qui suivent, la plupart des mesures utilisées sont basées sur les résidus normalisés et non sur les résidus eux-mêmes.

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La Matrice H

I La matrice H a été définie dans la sous-section précédente.

I H est cens´e faire penser `ahat (chapeau).

I La matrice H est utilis´ee aussi pour calculer les distances de Cook et pour mesurer les effets de levier.

I Il est possible de montrer que l’on peut exprimer les valeurs pr´edites de la variable d´ependante comme

Yˆ_j =h_1jY₁+h_2jY₂+. . .+h_njY_n=

n

X

i=1

h_ijY_i.

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La Matrice H (suite)

I Ainsi, le poids h_ij capte la contribution de l’observationY_i `a la valeur pr´edite ˆY_j.

I On peut montrer que

hii =

n

X

j=1

hij2,

et donc la valeur h_ii r´esume l’influence potentielle de l’observation Yi sur toutesles valeurs pr´edites ˆYj.

I On peut montrer que 1

n ≤hii ≤1.

I On peut aussi montrer que la valeur moyenne des h_ii est donn´ee par

1 n

n

X

i=1

hii = ¯h = k+ 1 n .

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La Matrice H (suite)

I Il est possible de montrer que, dans le mod`ele de r´egression simple,

h_ii = 1

n + X_i −X¯2

Pn

j=1 Xj −X¯2,

ce qui a l’interprétation de la distance deXi par rapport à la moyenne échantillonnale ¯X, normalisée par la somme des distances des X_j par rapport à la moyenne échantillonnale ¯X.

I Les h_ii peuvent ˆetre calcul´es en Ravec la commande

hatvalues(·)où l’argument de la commande est un modèle estimé avec la commandelm(·).

I Pour plus de détails sur les propriétés de la matrice H voir Hoaglin et Welsch (1978).

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Sensibilit´ e ` a des observations particuli` eres

I Il y a quelques techniques informelles d’essayer de détecter des observations aberrantes ou influentes, qui ont une influence prépondérante sur les résultats de l’estimation.

I L’id´ee de base est d’analyser ce qui arrive si on laisse tomber une seule observation de l’´echantillon.

I On peut mesurer l’impact ou bien sur les coefficients estimés ou bien sur la valeur prédite de la variable dépendante.

I Définissons ˆβ_(i₎ comme le vecteur de paramètres estimés après avoir laissé tomber l’observation i de l’échantillon, et ˆY_(i) le vecteur de valeurs prédites de la variable dépendante après avoir laissé tomber l’observation i de l’échantillon.

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Effets de levier

I L’effet de levier de l’observation i est donn´e tout simplement par la valeur de hii.

I Parmi les autres propri´et´es deH, 0≤h_ii ≤1, trace (H) =k+ 1,

o`u (k+ 1) est le nombre de variables explicatives dans le mod`ele.

I Comme règle approximative, des valeurs au moins trois fois la valeur moyenne peuvent être considérées indicatrices

d’observations aberrantes ou influentes.

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DFFITS

i

I D´efinition :

DFFITi ≡Yˆi−Yˆ_(i).

I Cette mesure calcule l’impact d’omettre l’observation i sur la valeur pr´edite de la variable d´ependante (aussi de

l’observation i).

I D´efinition :

DFFITS_i ≡ Yˆi−Yˆ_(i₎ ˆ σ_(i)√

hii

où ˆσ_(i) est l’écart type de la régression estimé sans l’observation i :

ˆ

σ²_i ≡ 1 n−k

X

j6=i

ˆ u_i²,

I Comme règle approximative, les points où la mesure dépasse 2×q

k+1

n sont `a signaler comme des observations influentes.

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DFBETAS

_j,(i)

I Pour le coefficientβ_j, on d´efinit DFBETA_j,(i) comme DFBETA_j,(i)≡βˆj −βˆ_j_,(i).

I C’est une mesure de l’impact de laisser tomber l’observationi sur la valeur du coefficient estim´e j.

I Pour le coefficientβ_j, on d´efinit DFBETAS_j,(i) comme DFBETAS_j,(i)≡

βˆ_j−βˆ_j_,(i) ˆ

σ q

(X⁰X)⁻¹_jj

où (X⁰X)⁻¹_jj est l’élément dans lajê colonne et la jê rangée de l’inverse de (X⁰X)

I Une valeur sup´erieure `a 2/√

n est consid´er´eesuspicieuse.

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Distances de Cook

I D´efinition : pour l’observation i, La distance de Cook est d´efinie comme

D_i =

Yˆ−Yˆ_(i) 0

Yˆ−Yˆ_(i)

(k+ 1)ˆσ

où (k+ 1) est le nombre total de paramètres estimés et ˆσ est l’écart type de la régression

I Dans le modèle de régression simple, on peut montrer que les définitions suivantes sont équivalentes algébriquement :

Di = uˆ_i² (k+ 1)ˆσ

h_ii (1−h_ii)²

,

D_i =

βˆ−βˆ_i0

(X⁰X)

βˆ−βˆ_i (1 +k+ 1)ˆσ²

où β_i est le vecteur (entier) de paramètres estimés en omettant l’observation i de l’échantillon

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R´ esidus studentis´ es

I D´efinition :

t_i ≡ uˆ_i ˆ σ_(i)√

1−hii

(où ˆσ_(i) a la même définition que dans la sous-section sur DFFIT), qui a l’interprétation de la variance estimé de l’erreur en excluant l’observation i

I La justification de cette mesure (par rapport aux résidus normalisés définis plus haut) est que si on veut juger si l’observation i est une observation aberrante ou non, il est mieux d’exclure cette observation de l’estimation de la variance

I La commande en R rstudent(·)où comme d’habitude l’argument est le nom du modèle estimé va calculer les résidus studentisés automatiquement

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Trois Commandes utiles

1. plot(·): l’argument est un mod`ele estim´e

2. influence.measures(·): calcule entre autres les distances de Cook et les mesures DFFITS et DFBETAS.

summary(influence.measures(·)): indique toutes les observations influentes selon au moins un des crit`eres 3. influence(·): calcule les r´esultats suivants :

3.1 hat: un vecteur dont les ´el´ements sont les hii

3.2 coefficients: une matrice où l’iê rangée donne le changement des coefficients estimés lorsqu’on laisse tomber l’iê observation de l’échantillon (tous les DFBETAj,(i)) 3.3 sigma: un vecteur dont l’iê élément contient un estimé de

l’écart type de l’erreur de l’équation lorsqu’on laisse tomber l’iê observation

3.4 wt.res: un vecteur de résidus de l’estimation du modèle par moindres carrés pondérés (section 17.5 du manuel)

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Tests diagnostics formels — h´ et´ erosc´ edasticit´ e

I Plusieurs tests pour détecter l’hétéroscédasticité. Tous ces tests ont comme H0 l’homoscédasticité

I Les deux tests les plus fr´equemment utilis´es sont Breusch-Paganet White

I Breusch-Pagan: test de significativit´e de la r´egression Uˆ²=Xγ+

où Û² est le vecteur de résidus au carré (par défaut les résidus normalisés)

I White : on régresse les résidus au carré sur (1) les variables explicatives du modèle, (2) les produits de toutes les paires de variables explicatives, (3) les variables explicatives au carré. La statistique nR² suit une distribution chi-carré en grand

´

echantillon (nombre de degrés de liberté égal au nombre de paramètres estimés dans le modèle auxiliaire. En R,

white.test(·)(package bstats)

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Test Reset de Ramsey

I Pour évaluer la forme fonctionnelle d’un modèle de régression.

I But : savoir s’il y a des combinaisons non lin´eaires des valeurs pr´edites qui ajoutent du pouvoir explicatif

I Peut détecter des non-linéarités, mais ne suggère pas la forme fonctionnelle appropriée

I On estime le mod`ele suivant :

Y_i =γ₀+γ₁X_1i +γ₂X_2i +. . .+γ_kX_ki +δ₁Yˆ_i²+δ₂Yˆ_i³+. . .+δk−1Yˆ_i^k +_i.

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Test Reset de Ramsey (suite)

I On utilise une statistique F pour tester la significativit´e des coefficientsδ

I Le choix de l’ordre du polynˆome en ˆY_i est arbitraire. On utilise souvent seulement ˆY_i au carr´e

I Notez que l’hypothèse nulle est que les termes non linéaires dans les valeurs prédites sont non significatives. Donc, l’hypothèse nulle est que la spećification initiale de l’équation est adéquate

I L’utilisation du test Reset ne devrait pas remplacer un examen d´etaill´e par d’autres moyens (graphiques ou autres)

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Normalit´ e : Shapiro-Wilk

I H0 : l’´echantillon provient d’une distribution normale W ≡

P_n

i=1a_ix_(i)2

Pn

i=1(x_i −x)¯ ²

x_(i) : l’observation i où les observations ont été classées dans l’ordre et

a≡(a1, . . . ,an)≡ m⁰V⁻¹ (m⁰V⁻¹V⁻¹m)^1/2 o`u

m= (m₁, . . . ,m_n)⁰

sont les valeurs anticipées des statistiques d’ordre de variables i.i.d. provenant d’une normale centrée réduite, V est la matrice variance-covariance des statistiques d’ordre

I Des petitesvaleurs m`enent au rejet. Shapiro et Wilk (1965) a une table de points de la distribution cumul´ee de la statistique

I R:shapiro.test(·), provenant du packagestats, o`u l’argument est un vecteur de r´esidus

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Normalit´ e : Jarque-Bera

I Combine des mesures empiriques de l’asym´etrie et de l’aplatissement

JB≡ n 6

S²+1

4(K −3)²

o`u

S ≡ µˆ³ ˆ σ³ =

1 n

Pn i=1( ˆu_i)³ 1

n

Pn

i=1( ˆu_i)²3/2

et

K ≡ µˆ⁴ ˆ σ⁴ =

1 n

Pn i=1( ˆui)⁴ 1

n

Pn i=1( ˆui)²

2,

où ˆµ³ et ˆµ⁴ sont des estimés des troisième et quatrième moments centrés des résidus et ˆσ² est un estimé de la variance des résidus. Les moments sontcentréspuisque de toute fa¸con la somme des résidus d’une régression est par construction égale à zéro.

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Normalite : Jarque-Bera (suite)

I La statistique JB suit (approximativement ou en grand

´

echantillon) une distribution chi-carré avec deux degrés de liberté. L’hypothèse nulle est la normalité

I Une grande valeur de la statistique calcul´ee m`ene au rejet

I R:jarque.bera.test(·)(packagetseries) où l’argument de la commande est une série de données

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Ind´ ependance des erreurs

I Ce sujet est beaucoup plus pertinent dans le cas où les données sont des séries chronologiques. Il s’agit de tests pour détecter la présence d’autocorrélation dans les erreurs

I A voir dans le cadre du cours ECO5272`

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Multicollin´ earit´ e

I Voir Giles (2011, 2013f). Giles est assez sarcastique au sujet de la multicollin´earit´e, surtout dans son article de 2011.A generally reliable guide may be obtained by counting the number of observations. Most of the time in econometric analysis, when n is close to zero, it is also far from infinity.

I Interprétation : le problème survient puisque nous n’avons pas assez d’observations pour distinguer entre les impacts de variables explicatives différentes

I La multicollinéarité (lorsqu’elle n’est pas parfaite) est une propriété de l’échantillon de données qui est à notre

disposition. Donc, il n’y pas forcément un remède au problème

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Multicollin´ earit´ e : d´ etection

1. Changements importants dans les valeurs estim´ees de coefficients lors de l’ajout ou du retrait d’une ou plusieurs variables

2. Coefficients non significatifs individuellement mais significatifs en bloc

3. Variance inflation factor: VIF≡ _1−R¹ 2 j

.R_j² : ajustement statistique d’une r´egression de la variable explicativej sur toutes les autres variables explicatives du mod`ele

4. Conditionnement de X⁰X. Racine carr´ee du ratio de la plus grande valeur caract´eristique sur la plus petite valeur

caractéristique. Un chiffre supérieur à 30 est un indice qu’il y a un problème

5. Test Farrar-Glauber (1967). Voir Giles (2013f).

Interpr´etation : test des corr´elations entre les variables dansX dans la population.

6. Construction d’une matrice de corr´elations.

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Multicollin´ earit´ e : cons´ equences

1. Cas extrêmes : l’ordi a des difficultés (numériques) à inverser X⁰X.

2. L’estimé de l’impact d’une des variables sur la variable dépendante devient beaucoup moins précis.

3. La multicollin´earit´e peut aggraver les effets de variables omises.

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Multicollin´ earit´ e : rem` edes possibles

1. Vérifier la présence de la trappe aux variables dichotomiques 2. Essayer de réestimer le modèle utilisant un sous-échantillon

des donn´ees

3. Rien faire. Essayer de faire parler les donn´ees lorsqu’elles sont muettes sur la question que nous leur posons est inutile 4. Laisser tomber une variable. Attention au probl`eme de biais ! 5. Obtenir davantage d’observations si possible

6. Centrer les variables explicatives en soustrayant les moyennes 7. Renormaliser les variables explicatives pour que les variables

explicatives soient d’un ordre de grandeur comparable. Ceci peut affecter le conditionnement de la matrice (X⁰X).

8. Utiliser la technique de la régression pseudo-orthogonale (ridge regression en anglais). Un sujet qui est au-delà de la matière du cours

9. Si les variables explicatives qui sont corrélées sont des retards (dans le contexte des séries chronologiques), on peut utiliser la technique des retards distribuées qui impose une structure sur les coefficients à estimer

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Endog´ en´ eit´ e

I Ce sujet nous mène vraiment à la frontière de la matière du cours, puisqu’il nous amène à parler de la technique

d’estimation par variables instrumentales. Le principe de base est (j’espère) relativement simple à comprendre. Pour plus de détails, voir le chapitre 12 du manuel de Stock et Watson (version en langue anglaise).

I C’est une fa¸con générale de résumer tout ce qui peut causer une corrélation non nulle entre les variables explicatives du modèle et le terme d’erreur. Nous avons déjà vu en détail le problème de variables omises. Il y a d’autres sources possibles du problème.

I Causes possibles de l’endogénéité.

1. Variable(s) omise(s).

2. Erreurs de mesure.

3. Simultan´eit´e.

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Endog´ en´ eit´ e : test Durbin-Hausman-Wu

I D´epend de l’existenced’instrumentsappropri´es.

I Instrument: variable corrélée avec les variables explicatives non corrélée avec le terme d’erreur

I Les instruments peuvent être utilisés pour construire un estimateur convergent des coefficients du modèle

I Soit le modèle linéaire donné par Y =Xβ+U

o`u il n’est plus forc´ement le cas que E (U|X) = 0

I Soit une matrice W de dimensions n×k2 avec k2≥k+ 1 et o`u E (U|W) = 0

I S’il y a des variables parmi X qui ne sont pas corrélées avecU elles peuvent être incluses dansW

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Endog´ en´ eit´ e : test Durbin-Hausman-Wu (suite)

I Considérez maintenant le modèle transformé R⁰W⁰Y =R⁰W⁰Xβ+R⁰W⁰U

R : matrice de pond´erations. L’estimateur IV (variables instrumentales)

βˆ_IV = R⁰W⁰X−1

R⁰W⁰Y

I Estimateur convergent βˆ_IV = R⁰W⁰X−1

R⁰W⁰(Xβ+U) =β+ R⁰W⁰X−1

R⁰W⁰U

⇒βˆ_IV −→^p β+ lim

n→∞

1

nR⁰W⁰X −1

× lim

n→∞

1

nR⁰W⁰U

=β puisque Corr (W,U) = 0

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Endog´ en´ eit´ e : test Durbin-Hausman-Wu (suite)

I Si les U sont indépendantes et homoscédastiques le choix optimal de R est donné par

R = W⁰W−1

W⁰X,

qui serait la matrice de coefficients estim´es de r´egressions MCO des variables X sur les W

I Dans ce cas, on a βˆIV =

X⁰W W⁰W−1

W⁰X −1

X⁰W W⁰W−1

W⁰Y

I Dans ce cas, l’estimateur IV est connu sous le nom de l’estimateur moindres carrés à deux étapes (la première étape

´

etant la r´egression de toutes les variables explicatives du mod`ele initial sur toutes les variables instrumentales)

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Endog´ en´ eit´ e : test Durbin-Hausman-Wu (suite)

I On estime le mod`ele par MCO et par IV

I Sous H0 (absence d’endogénéité) les deux estimés sont convergents et l’estimateur MCO est plus efficient que l’estimateur IV

I Sous H₁ l’estimateur IV est toujours convergent tandis que l’estimateur MCO ne l’est pas. La statistique s’´ecrit

DHW ≡

βˆ−βˆ_IV0 Σˆ_β_ˆ

IV −Σˆ_β_ˆ†

βˆ−βˆ_IV βˆ_IV : matrice variance-covariance (estimée) de ˆβ_IV, et †: l’inverse généralisée Moore-Penrose

I DHW suit une chi-carré avec un nombre de degrés de liberté

´

egal au rang de Σˆ_β_ˆ

IV −Σˆ_β_ˆ

I R :hausman.systemfit(·)(packagesystemfit)

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Endog´ en´ eit´ e : test Durbin-Hausman-Wu (suite)

I Fa¸con plus simple Wooldridge (2009, section 15.5)

I Soit le mod`ele lin´eaire

Y_i =β₀+β₁W_1,i +. . .+β_kW_k,i+β_k+1X_i+U_i, où les W ne sont pas corrélées avecU

I ∃ des instruments qui comprennent les W

I Soit le mod`ele auxiliaire

Xi =γ0+γ1W1,i +. . .+γ_k₂W_k₂_,i +i, k2 ≥k+ 1

I X sera non corrélée avec U si et seulement sin’est pas corrélée avecU.

I Utiliser les résidus î comme variable explicative additionnelle dans le modèle initial pour estimer

Y_i =β0+β1W_1,i+. . .+β_kW_k_,i +β_k+1X_i +β_k+2ˆ_i + ˜U_i.

I On teste H0 :β_k₊₂= 0 avec une statistique t. Si on rejette on conclut que X est endog`ene

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Endog´ en´ eit´ e : test Durbin-Hausman-Wu (suite)

I Possible de généraliser cette méthode au cas où il y a plus qu’une variable qui est potentiellement endogène dans le modèle initial

I Problème avec ce test et avec l’estimateur IV en général est la nécessité d’identifier des variables instrumentales appropriées.

Il faut trouver des variables non corrélées avec le terme d’erreur etfortement corrélées avec les variables explicatives qui sont endogènes

I Une recherche GoogleouGoogle Scholar avec les mots cl´es

weak instruments devrait suffir pour constater que c’est un sujet de recherche tr`es actif