I.1 Norme d’un vecteur

I Pour bien commencer

I.1 Norme d’un vecteur

Une unité de longueur étant choisie, la norme d’un vecteur − → u = −−→ AB est la longueur AB.

On note ||− → u || = || −−→

AB || = AB.

Si ||− → u || = 1 , le vecteur − → u est dit unitaire.

Conséquences :

• || −−→

AB || = 0 équivaut à A = B.

• Pour tout nombre λ et tout vecteur − → u , || λ − → u || = | λ |||− → u || . Par exemple

|| 2 − → u || = . . . et || − 5 − → u || = . . . .

• Dans un repère orthonormé (O; − → i ; − → j ) a pour coordonnées (x; y), alors ||− → u || = p x

+ y

I.2 Projection vectorielle orthogonale

A B C

C

~v

v ~

~u

bc bcbcbc

Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls. Il existe trois points A, B et C du plan tels que −−→ AB = ~u et −→ AC = ~v et un point C

de (AB) tel que (CC

) est perpendiculaire à (AB).

Le vecteur u ~

= −−→

AC

est appelé projection orthogonale du vecteur ~v sur le vecteur ~u.

EXERCICE 1 :

Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle isocèle en A et ABIJ est un parallélogramme.

Soit ~u = −−→ BC.

Déterminer les projetés orthogonaux sur le vecteur ~u des vecteurs suivants et les coefficients de colinéarité (le nombre k tel que − →

v

= k − → u )

−−→ BO, −−→ AB, − IJ, → −→ BI, −→ BJ, −→ CJ, −→ IA et −→ CI.

A

C O

B J

I

bc bc bc

bc

bc

bc

II Définitions et premières propriétés

II.1 Produit scalaire de deux vecteurs

Attention, il s’agit d’une nouvelle « opération » entre deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel.

II.1.1 Cas de deux vecteurs colinéaires

Soit ~u et ~v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire des vecteurs ~u et ~v le nombre réel noté ~u · ~v défini par :

~u · ~v =

|| ~u || × || ~v || si ~u et ~v sont de même sens

−|| ~u || × || ~v || si ~u et ~v sont de sens contraires Exemple 1 Soit A et B deux points tels que AB = 4. Calculer −→

AB · −→

AC lorsque :

• A est le milieu de [BC] ;

• B est le milieu de [AC] ;

• C est le milieu de [AB].

II.1.2 Cas général

Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls et soit v ~

le projeté orthogonal de

~v sur ~u.

On pose par définition :

~u · ~v = ~u · v ~

(1)

~v

v ~

~u

bc bcbcbc

Exemple 2 Soit ABC un triangle rectangle en B. Calculer −→

AB · −→

AC et −→

AB · −−→

BC

EXERCICE 2 Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = 4. Le point I est le milieu de [AB].

Calculer les produits scalaires −−→ AB · −−→ BC, −−→ AB · −−→ CD, −−→ AB · −→ AC et −−→ AB · −−→ DO.

Calculer également les produits scalaires −→ OA · −−→ OC , −→ AC · −−→ BD, −→ OI · −−→ BC et −→ AO · −−→ BC.

II.1.3 Caractérisation de l’orthogonalité de 2 vecteurs

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

~u et ~v orthogonaux ⇔ ~u · ~v = 0

II.1.4 Autre expression du produit scalaire

~i H ~u

~j

−−→ OB = ~v

O

B

bc

(~u, ~v)

A

Soit C

le cercle trigonométrique et (O; − → i ; − → j ) le repère associé. Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls et deux points A et B tels que −→ OA = ~u et −−→ OB = ~v.

Quelles sont les coordonnées de ~v dans la base ( ~i,~j) ?

En déduire une autre expression du produit scalaire ~u · ~v.

Pour deux vecteurs non nuls ~u et ~v :

~u · ~v = || ~u || × || ~v || × cos(~u, ~v) (2)

Exemple 3 :

• Calculer ~ u · ~ v sachant que || ~ u || = √

5, || ~ v || = 3 et qu’une mesure de (~ u, ~ v) est 5π 9 ;

• Déterminer une mesure de l’angle (~ u, ~ v) (principale) sachant que || ~ u || = 3, || ~ v || = 4 et ~ u · ~ v = − 7 ;

• Soit ABC un triangle équilatéral. Calculer de deux manières le produit scalaire −→ AB · −→ AC.

Remarque 1 : Soit α une mesure de (~u; ~v). Le signe du produit scalaire ~u · ~v est celui de cos(α) :

• pour α ∈ i

− π 2 ; π

2

h , ~u · ~v > 0

• pour α ∈ π

2 ; 3π 2

, ~u · ~v < 0

III Propriétés du produit scalaire

III.1 Symétrie du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs ~u et ~v : ~u · ~v = ~v · ~u

démonstration : Pour ~u et ~v deux vecteurs non nuls, (~v; ~u) = − (~u; ~v) (2π) et cos(x) = cos( − x) implique que cos(~u; ~v) = cos(~v; ~u) et donc que ~u · ~v = ~v · ~u. Si ~u ou ~v est un vecteur nul, l’égalité est également vérifiée.

III.2 Produit scalaire et opérations

Soit ~u, ~v et w ~ des vecteurs et α un nombre réel. Alors :

• ~u · (~v + w) = ~ ~u · ~v + ~u · w ~

• ~u · (α~v) = α(~u · ~v)

On peut donc dire : Le comportement du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs et à leur multi- plication par un nombre réel suit des règles analogues à celles de la « multiplication des nombres »

EXERCICE 3 On pose a = || ~u ||

, b = || ~v ||

et c = ~u · ~v. Exprimer en fonction de a, b et c, les produits scalaires suivants :

(3~u + 5~v) · ( − 2~u + 4~v) ; (2~u − 3~v) · (2~u + 3~v) ; (2~u + ~v)

+ (2~u − ~v)

Remarque 2 On obtient, compte-tenu des propriétés précédentes, certains produits scalaires « remarquables » (~u + ~v)

= ~u

+ ~v

+ 2~u · ~v

(~u − ~v)

= ~u

+ ~v

− 2~u · ~v (~u + ~v) · (~u − ~v) = ~u

− ~v

= || ~u ||

− || ~v ||

EXERCICE 4 Soit ABCD un parallélogramme. Montrer que

AC

+ BD

= 2(AB

+ AD

)

IV Produit scalaire en géométrie analytique

On suppose que le plan est muni d’un repère orthonormé (O; − → i ; − → j ).

IV.1 Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé

Soit ~u x

y

et ~v x

y

deux vecteurs.

~u · ~v = xx

+ yy

(3) et || ~u || = p x

+ y

démonstration :

Remarque 3 Distance AB :

Compte-tenu de la condition d’orthogonalité vue précédement :

~u et ~v orthogonaux ⇔ xx

+ yy

= 0.

IV.2 Exercices

1) Calculer le produit scalaire ~u · ~v dans chacun des cas suivants :

• ~u 2

− 3

et ~v − 5

− 1

;

• ~u α

β

et ~v − β

α

;

• ~u

√ √ 2 − 1 3 + 2

et ~v

√ √ 2 + 1 3 − 2

;

• • 2) Soit A

3 2 ; 3

2

, B(0; 1) et C(2; 0). Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.

3) Déterminer une mesure de (~u; ~v) dans chacun des cas suivants

• ~u 2

0

et ~v √ 3

3

;

• ~u 1

3

et ~v 3

4

;

• •

4) Soit Ω(a; b). Le cercle C de rayon R et de centre Ω est l’ensemble des points M (x; y) tels que ΩM = R. Déterminer une équation du cercle C .

Application : équation du cercle de centre Ω(3; 4) et de rayon 5.

IV.3 Équation d’une droite par vecteur normal

IV.3.1 Vecteur normal à une droite

Étant donné une droite D , tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de D est appelé vecteur normal à D . (dessin)

Exemple 4 Soit ~ n 1

2

. Le vecteur ~ n est-il normal à chacune des droites d’équations :

• 2x + 4y − 5 = 0 ;

• x − 2y = 0 ;

• y = − x 2 + 3 ?

EXERCICE 5 Donner un vecteur normal pour chacune des droites définies par les équations suivantes : a) 2x + 3y − 5 = 0

b) y = 3x + 2

c) 5x = 3 d) y − 3 = 0 IV.3.2 Équation de droite par vecteur normal

Soit ~n a

b

un vecteur non nul.

• Une droite admettant ~n a

b

comme vecteur normal a une équation de la forme ax + by + c = 0, où c est un nombre réel.

• Réciproquement, toute droite dont une équation est de la forme ax + by + c = 0 admat le vecteur ~n a

b

comme vecteur normal.

EXERCICE 6 Déterminer, dans chaque cas, une équation de la droite D passant par A et admettant ~n comme vecteur normal.

a) A(3; 1) et ~n − 1

2

b) A( − 1/2; 2) et ~n = 3~j

Deux droites sont orthogonales si et seulement si elles admettent des vecteurs normaux orthogonaux.

Exemple 5 Soit D : 3x − 2y + 1 = 0 et D

: 4x + 7y − 2 = 0. Ces deux droites sont-elles orthogonales ?

IV.3.3 Applications : équations de droite particulière

D Hauteur dans un triangle : La hauteur issue de A dans le triangle ABC est la droite passant par et perpendi- culaire à (BC). Soit A(1, 1), B( − 1, 4) et C(2, 5). Déterminer les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC.

réponse : H 1

11 , 41 11

D Médiatrice d’un segment : La médiatrice du segment [AB] est la droite passant par le milieu I de [AB] et per- pendiculaire au segment. Soit A( − 4, 3), B(2, 5). Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].

réponse : 3x + y − 7 = 0

D Tangente à un cercle : La tangente en M à un cercle de centre Ω est orthogonale à (ΩM ). Soit M (cos(θ), sin(θ)) (θ ∈ R) un point du cercle C de centre O et de rayon 1. Déterminer une équation de la tangente en M à C . réponse : x cos(θ) + y sin(θ) − 1 = 0

IV.4 Équation d’un cercle

Nous avons déjà vu une équation d’un cercle de centre Ω et de rayon R (voir VI.2 Exercices).

Soit A et B deux points donnés. Le cercle C de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que :

−−→ AM · −−→ BM = 0 (dessin)

Exemple 6 On donne A( − 1, 3) et B(2, 2). Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB].

V Compléments

V.1 Encore une

Si l’on réécrit les produits scalaires remarquables avec ~u

= || ~u ||

(~u

carré scalaire), on obtient

~u · ~v = 1

2 ( || ~u + ~v ||

− || ~u ||

− || ~v ||

) = 1

2 ( || ~u ||

+ || ~v ||

− || ~u − ~v ||

)

V.2 Théorème de la médiane

Soit A et B deux points distincts fixés et I le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan, on a : M A

+ M B

= 2M I

+ AB

2 ^(dessin)

démonstration : M A

+ M B

= −−→ M A

+ −−→ M B

=

Chasles:I

V.3 Relation de Pythagore généralisée

Dans tout triangle ABC, on a : a

= b

+ c

− 2bc cos( A) b (dessin)

démonstration : −−→ BC

= ( −→ AC − −−→ AB)

=