ECO 4272 : Introduction à l’ ´ Econométrie Théorie des probabilités et de la statistique

(1)

ECO 4272 : Introduction à l’ ´ Econométrie Théorie des probabilités et de la statistique

Steve Ambler

^∗

Département des sciences économiques Ecole des sciences de la gestion ´ Université du Québec à Montréal

c 2018 : Steve Ambler Hiver 2018

∗Ces notes sont en cours de développement. J’ai besoin de vos commentaires et de vos suggestions pour les améliorer. Vous pouvez me faire part de vos commentaires en personne ou en envoyant un message à

(2)

Table des mati`eres

1 Introduction 4

2 Objectifs du cours 4

3 Distributions de probabilit´e et variables al´eatoires 5

3.1 Distributions de probabilit´e discr`etes . . . 6

3.2 Distributions de probabilit´e continues . . . 6

3.3 Fonctions de distribution cumul´ees . . . 7

4 Moments d’une variable al´eatoire 8 4.1 Petite note sur l’id´ee d’unmoment . . . 8

4.2 Esp´erance et esp´erance conditionnelle . . . 9

4.2.1 Esp´erances conditionnelles en s´eries chronologiques . . . 10

4.3 Variance et variance conditionnelle . . . 12

4.3.1 Variances conditionnelles en s´eries chronologiques . . . 15

4.4 Moments d’ordres sup´erieurs `a deux . . . 16

4.5 Petite note sur le concept d’une fonction lin´eaire. . . 18

5 Distributions de probabilit´e jointes 19 5.1 Distributions marginales et conditionnelles. . . 20

5.1.1 Esp´erance conditionnelle . . . 21

5.1.2 Loi des espérances itérées . . . 22

5.1.3 Ind´ependance . . . 23

5.2 Combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires . . . 26

6 Quelques lois classiques 28 6.1 La loi Bernoulli . . . 28

6.2 La loi binomiale . . . 28

6.3 La loi uniforme . . . 31

6.4 La loi normale. . . 33

6.5 La loi normale multivari´ee . . . 39

6.6 La loi chi-carr´e . . . 41

6.7 La loitde Student. . . 42

6.8 La loiF . . . 44

7 Echantillon et population´ 45 8 Distribution échantillonnale de la moyenne échantillonnale 47 9 Loi des grands nombres et convergence en probabilité 49 10 Théorème de la limite centrale et convergence en distribution 50 10.1 Note sur l’importance du théorème de la limite centrale . . . 51

(3)

11 Concepts `a retenir 58

(4)

1 Introduction

Ce cours est un rappel de notions de base en théorie des probabilites. Il devrait vraiment être un rappel, puisqu’il couvre des concepts qui font partie du cours ECO2272. Pour cette raison, je vais aller rapidement. Vous allez peut-être constater que je mets un accent un peu plus prononcé sur certains sujets, puisque nous allons utiliser ces concepts dans ce qui suit.

Dans le chapitre d’introduction au cours, j’ai insisté sur le fait que les données utilisées en

économétrie proviennent de distributions inconnues. La plupart des manuels classiques supposent des distributions normales, ce qui n’est pas réaliste. Je vais insister dans ce chapitre et celui qui suit (sur l’inférence statistique) sur les conditions sous lesquelles on peutapproximer les distributions de nos statistiques par une loinormale. Il s’agit de regarder les conditions qui permettent d’invoquer une des versions (il y en a plus d’une) duthéorème de la limite centrale.

Dans mes notes, j’utilise des encadr´es `a deux fins :

1. Pour expliquer des concepts un peu plus avanc´es (la lecture de ces encadr´es est facul- tative) ;

2. Pour donner des examples pratiques sur ordinateur (ces exemples seront utiles pour faire les travaux pratiques).

2 Objectifs du cours

• Faire un rappel de notions primordiales en th´eorie des probabilit´es et en statistique.

• Mettre l’accent sur quelques notions de base que nous allons utiliser `a mantes reprises par la suite.

• Ce cours peut servir de rappel à ceux qui ont déjà suivi un cours de base en théorie des probabilités et/ou en statistique.

• Les dernières sections, sur la distribution échantillonnale de la moyenne échantillonale et

(5)

sur le théorème de la limite centrale fera un pont avec le chapitre suivant sur l’estimation, les tests d’hypothèse, et les intervalles de confiance.

3 Distributions de probabilit´e et variables al´eatoires

• Expérience aléatoire (expérience): une action ou une procédure qui produit un des résultats (issues) possibles d’un ensemble de résultats possibles. Le résultat n’est pas connu à l’avance.

• Une distribution de probabilité est une liste exhaustive des résultats exclusifs possibles et desprobabilitésassociées à chacun des résultats (dans le cas de distributions de probabi- lité discrètes) ou des densitésassociées à chacun des résultats possibles (dans le cas de distributionscontinues).

• La somme des probabilités doit être égale à 1 (dans le cas de distributions de probabilité discrètes). Dans le cas de distributions de probabilité continues, la surface en dessous des densités (l’intégrale) doit être égale à un.

• L’ensemble de tous les r´esultats possibles estl’univers,l’espace des ´echantillons(oul’espace fondamental).

• Un événement est un sous-ensemble de l’espace des échantillons, donc il s’agit d’un ensemble d’un ou de plusieurs résultats

• L’ensemble videest aussi considéré un événement.

• Il y a une distinction technique en théorie des probabilités entre une distribution de proba- bilité et unevariable aléatoire.

• Dans le cas d’une variable aléatoire, chaque événement distinct possible est associé à un nombre (ainsi qu’à une probabilité ou une densité). Par exemple, si on jette une pièce de monnaie par terre, les résultats distincts possibles sontpile ouface. Une distribution de probabilité associe des probabilités (1/2 et 1/2 si la pièce n’est pas truquée) à chacun de ces résultats. Si on associe un nombre à chaque résultat distinct (par exemple 0 pour

pile et 1 pourface), nous obtenons une variable al´eatoire.

(6)

• Dans le cas de distributions de probabilités continues, il serait très difficile sinon impossible d’attribuer une valeur non numérique à chaque résultat distinct, et donc habituellement on définit la distribution de probabilité au départ comme une variable aléatoire.

• Nous allons parler presqu’exclusivement de variables aléatoires dans le cours. Nous allons même utiliser les termesdistribution de probabilité etvariable aléatoire de façon interchangeable lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıté.

3.1 Distributions de probabilit´e discr`etes

• Le nombre de résultats distincts est fini. À chaque résultat distinct est associé une probabi- lité.

• Soitrune variable aléatoire. Nous utilisons la notationh_i ≥ 0pour dénoter Pr(r=r_i), la probabilité querprend la valeur particulièrer_i.

• Nous avons :

n

X

i=1

h_i = 1, o`unest le nombre total de r´esultats distincts possibles.

3.2 Distributions de probabilit´e continues

• Puisque le nombre de résultats distincts dans ce cas est infini, typiquement les résultats sont spécifiés dès le départ en termes de nombres, et donc il n’y a pas vraiment de distinction entre distribution de probabilité et variable aléatoire.

• Puisque le nombre de résultats distincts est infini, on ne peut plus parler de la probabilité d’obtenir un résultat donné. En fait, la probabilité d’obtenir une valeur précise est typiquement égale à zéro (techniquement, c’est un événement de mesure zéro).

• Chaque résultat est associé à unedensité.

• Soitr une variable al´eatoire et soit h_i ≥ 0qui est une fonction der_i (h_i = f(r_i)). Nous

(7)

avons :

Z rmax

rmin

h_idi= 1.

Ici, la valeur minimale que peut prendrerestr_min, et la valeur maximale que peut prendre resr_max. La gamme de valeurs entrer_minetr_maxest appel´ee lesupportde la distribution.

• Dans le cas de certaines distributions continues, le support est fini. Ceci est le cas, par exemple, de la distribution uniforme (voir ci-dessous).

• Dans d’autres cas, le support est infini. Dans le cas de la loi normale par exemple (voir ci- dessous), la variable al´eatoire peut prendre des valeurs entre moins l’infini et plus l’infini.

Pour cette raison, le support de la distribution est infini.

• La surface en dessous de la fonction de densité entre deux valeurs données (l’intégrale définie) donne la probabilité d’obtenir une valeur de la variable aléatoire entre les deux valeurs. Formellement,

Z b

a

h_idi=Pr(a≤r ≤b), o`ua < b.

• Pour une distribution continue, la probabilité qu’une réalisation soit égale à une valeur donnée est toujours zéro :

Pr(r=a) = 0.

• A part les sections de ce chapitre qui traitent spécifiquement de distributions de probabilité` continues comme la loi normale, je vais désormais me limiter à développer des formules pour les distributions discrètes. L’extension au cas de distributions continues est laissée comme un exercice. Il est en général plus facile de manipuler les sommations que de manipuler les intégrales.

3.3 Fonctions de distribution cumul´ees

• Ces fonctions sont définies pour des variables aléatoires discrètes et continues.

(8)

• Une fonction de distribution cumulée donne la probabilité que la valeur réalisée de la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur donnée.

• De mani`ere formelle, pour une variable al´eatoirer,

fdc(a) = Pr(r ≤a).

• Une fonction de distribution cumulées augmente de façon monotone. Elle prend la valeur de zéro lorsqu’évaluée au support inférieur de la distribution. Elle prend une valeur égale à un au support supérieur de la distribution.

• Nous allons revenir sur le sujet des fonctions de distribution cumul´ees dans la sections sur quelques lois de probabilit´e classiques.

• Il s’agit d’un autre concept qui est logique dans le cadre de variables aléatoires mais non dans le cadres de distributions de probabilité où les résultats ou les événements n’ont pas un caractère numérique.

4 Moments d’une variable al´eatoire

4.1 Petite note sur l’id´ee d’un

moment

• La notion demomentest reliée au concept du degré d’un polynôme.

• Le premier moment d’une variable aléatoire est défini en termes de la variable elle-même.

Le deuxième moment est défini en termes de la variable au carré. Le troisième moment est défini en termes de la variable à la puissance trois. Etc.

• Dans le cas de distributions de probabilité jointes (voir ci-dessous), nous allons nous retrouver avec des expressions où des produits de variables aléatoires vont paraˆıtre.

• Dans ce cas, l’idée de moment sera reliée à la somme des exposants sur toutes les variables aléatoires du produit.

• De cette fac¸on, il est conventionnel de parler de la covariance (d´efinie ci-dessous) comme

(9)

un moment d’ordre deux puisque dans sa définition nous retrouvons le produit de deux variables aléatoires, chacune au premier degré.

4.2 Esp´erance et esp´erance conditionnelle

• Soit h_i = f(r_i) = Pr (r =r_i). L’espérance ou la moyenne de la variable aléatoire est définie comme :

E(r)≡

n

X

i=1

h_ir_i,

où il y a n réalisations distinctes possibles de la variable. Dans le cas d’une variable aléatoire continue, nous avons

E(r)≡

rmax

X

rmin

h_ir_idi

• Souvent, on utilise le symboleµpour la moyenne ou l’esp´erance d’une variable al´eatoire.

Donc on a

µ_r ≡E(r)≡

n

X

i=1

h_ir_i.

• Notez que puisque la définition de l’espérance contient la variable aléatoire r_i au premier degré, on dit que l’espérance est un moment d’ordre un ou unpremier moment.

• Propriétés de l’espérance :

E(c₀) = c₀, pour une constante quelconquec₀;

E(c₀+c₁r) = c₀ +c₁E(r),

pour des constantes quelconquesc₀etc₁.

• Ces propriétés sontfondamentales. Nous allons les utiliser à maintes reprises dans le cours.

Il y a une annexe à la fin de ce chapitre avec un résumé de résultats clés qu’il faut connaˆıtre par coeur. Il faut aussi reconnaˆıtre lorsqu’on utiliser ces résultats fondamentaux dans des

(10)

contextes diff´erents.

• Uneespérance conditionnelled’une variable aléatoire est une espérance qui tient compte de toute l’information qu’on connaˆıt concernant sa réalisation. Par exemple, si on jette un dé, et si quelqu’un nous dit que le nombre obtenu n’est pas strictement inférieur à trois, l’espérance conditionnelle du résultat est :

1

4 ×3 + 1

4 ×4 + 1

4×5 + 1

4 ×6 = 4.5,

où on pondère chaque résultat distinct par la probabilité de l’obtenir, sachant que le résultat n’est pas inférieur à trois.

• On peut ´ecrire ceci comme

E(r|r ≥3) =

3×Pr(r= 3|r≥3) + 4×Pr(r= 4|r≥3) +5×Pr(r= 5|r≥3) + 6×Pr(r= 6|r ≥3).

• La barre verticale se lit´etant donn´e que.

4.2.1 Esp´erances conditionnelles en s´eries chronologiques

• Cette sous-section est d’un degré de difficulté un peu plus élevé que le reste du texte.

Vous pouvez la sauter si vous avez bien saisi la notion d’une esp´erance conditionnelle.

• On rencontre les espérances conditionnelles souvent dans le contexte de processus stochastiques en séries chronologiques. Par exemple, prenons le cas d’une variable aléatoirey_tqui, au tempst, est égale à une certaine fraction0< ρ <1de sa valeur au tempst−1plus un choc imprévisibleµ_tdont l’espérance est nulle :

y_t=ρy_t−1+µ_t.

(11)

• Si au temps t −1 on connaˆıt la valeur exacte de yt−1, on peut calculer l’espérance conditionnelle basée sur cette information de la façon suivante :

Et−1y_t=Et−1(ρyt−1+µ_t)

=ρEt−1yt−1+Et−1µ_t

=ρyt−1+ Et−1µ_t

=ρyt−1,

• La notation Et−1 se lit espérance conditionnelle à l’information disponible jusqu’en période(t−1).

• On traitey_t−1comme une constante ou une valeur connue à compter de la périodet−1: puisque sa valeur est connue, elle n’est plus vraiment une variablealéatoire. Pour cette raison, on a Et−1yt−1 =yt−1.

• On obtient la dernière égalité parce que par hypothèse µ_t est un aléas complètement imprévisible en période (t−1)qui a une espérance conditionnelle (et non conditionnelle) égale à zéro.

• Notez que la connaissance de la réalisation de yt−1 permet une prévision plus précise de y_t. Nous verrons ceci de façon plus précise dans la sous-section sur les variances conditionnelles.

• Quelle est l’espérancenon conditionnelledey_t? Si on ne connaˆıt rien concernant les réalisations du processusy_t, l’espérance dey_tdoit être égale à l’espérance deyt−1.¹

• Laissant tomber l’indice du temps pour simplifier, nous obtenons :

E(y_t) =ρE(y_t−1) +E(µ_t)

E(y) = ρE(y) +E(µ)

(12)

⇒(1−ρ)E(y) =E(µ) = 0

⇒E(y) = 0.

4.3 Variance et variance conditionnelle

• Lavarianced’une variable al´eatoire est donn´ee par :

Var(r)≡

n

X

i=1

h_i(r_i−E(r))² ≡

n

X

i=1

h_i(r_i−µ_r)²,

o`u comme d’habitude il y anr´ealisations distinctes possibles.

• Souvent, on utilise le symboleσ²pour la variance d’une variable al´eatoire. Donc on a

Var(r)≡σ²(r) =

n

X

i=1

h_i(r_i−E(r))².

• Notez que puisque la définition de la variance contient la variable aléatoire au carré, on dit que la variance est un moment d’ordre deux ou undeuxième moment.

• Notez aussi que la variance est définie en soustrayant la moyenne ou l’espérance de la variable aléatoire. Pour cette raison, on parle en général de la variance comme le deuxième moment centré. On peut aussi définir le deuxième moment brut ou non centré d’une variable aléatoirercomme :

n

X

i=1

h_ir_i².

• Notez finalement que la variance prend la forme de l’espérance d’une transformation de la variable aléatoire elle-même (la déviation au carré de la variable aléatoire par rapport à sa moyenne). En fait,tousles moments d’une distribution ont la forme

E(z),

(13)

o`uz =f(r). Dans le cas de la variance,

z ≡(r−E(r))².

• Ceci peut servir d’aide-mémoire. Une fois qu’on a appris la définition d’une espérance d’une variable aléatoire, tousles autres moments (centrés ou bruts) sont tout simplement des espérances de variables aléatoires qui sont des transformations non linéaires de la variable aléatoire elle-même.

• Propri´et´es de la variance :

Var(r) = E(r²)−(E(r))²; Var(c₀) = 0,

pour une constante quelconquec₀;

Var(c₀+c₁r) =c₁²Var(r),

pour des constantes quelconquesc₀etc₁.

• Ces propriétés découlent directement de la définition de la variance. Vous devriez être capables (et vous devriez) montrer ces résultats vous-mêmes moyennant un crayon et une feuille de papier.

• Il est aussi facile de montrer que

Var(r) =E r²

−(E(r))².

Encore une fois, cette propriété découle directement de la définition de la variance.

• Ces propriétés font partie des propriétés clésdont il faut se souvenir. Elles font partie de l’annexe qui se trouve à la dernière page de ce chapitre.

• L’écart typed’une variable aléatoire est la racine carrée de sa variance. Il n’est pas donc

(14)

surprenant qu’on utilise souventσpour dénoter l’écart type d’une variable aléatoire. Nous avons

σ_r =p (σ_r²).

• La variance conditionnelle est un concept semblable à l’espérance conditionnelle. La définition générale peut être écrite de la façon suivante :

Var r|r ∈Ω¯ ⊂Ω

=X

i∈Ω¯

r_i−E r|r ∈Ω¯ ⊂Ω2

Pr r =r_i|r ∈Ω¯ ⊂Ω .

Les limites de la sommation sont modifiées pour tenir compte du fait que le nombre de réalisations total est réduit (restreint à appartenir à un sous-ensemble de l’espace fondamental), et les probabilités sont des probabilités conditionnellles. La notationr ∈ Ω¯ ⊂ Ω capte l’idée que la variable aléatoirerest dans un sous-ensembleΩ¯ de l’espace fondamental Ω.

• La notationr ∈ Ω¯ se lit commerest membre de l’ensembleΩ¯. La notationΩ¯ ⊂ Ωse lit commeΩ¯ est un sous-ensemble deΩ.

• Notez que nous soustrayons dans ce cas l’esp´erance conditionnelle.

• Pour reprendre l’exemple de jeter un dé, dans le cas où quelqu’un nous dit que le résultat n’est pas inférieur à trois, on a :

Var(r|r ≥3) = (3−4.5)²× 1

4 + (4−4.5)²× 1 4 +(5−4.5)²× 1

4 + (6−4.5)²× 1

4 = 1.25.

• Nous aurions pu ´ecrire :

Var(r|r∈ {3,4,5,6} ⊂ {1,2,3,4,5,6})

(15)

pour être plus conforme avec la notation générale qui insiste sur le fait que la réalisation de rse contient dans un sous-ensemble de l’espace fondamental.

• Le fait d’avoir de l’information préalable concernant la réalisation de notre variable aléatoire nous permet de prédire sa valeur réalisée avec davantage de précision (avec une variance réduite). On peut facilement vérifier que cette variance conditionnelle est inférieure à la variance non conditionnelle de la variable aléatoire pour cette expérience.

4.3.1 Variances conditionnelles en s´eries chronologiques

• Encore une fois, vous pouvez sauter cette sous-section si vous avez bien maˆıtris´e l’id´ee de la variance conditionnelle.

• Pour poursuivre l’exemple du processus stochastique simple donne par :

y_t=ρyt−1+µ_t,

nous avons :

Vart−1(yt) = Var (ρyt−1+µt)

= Var_t−1(µ_t)

= Var (µ_t).

• Puisque la réalisation dey_t−1 est connue en t−1, on peut traiter cette valeur comme une constante. Puisque par hypothèseµ_test un aléas complètement imprévisible, sa variance conditionnelle basée sur l’information connue ent−1est égale tout simplement

`a sa variance non conditionnelle.

• Notez que la variance conditionnelle de ce processus stochastique est inf´erieure `a sa

(16)

variance non conditionnelle :

Var(y_t) =Var(ρy_t−1+µ_t).

Laissant tomber les indices du temps comme nous avons fait dans le cas du calcul de l’esp´erance non conditionnelle de ce processus, nous avons :

Var(y) = Var(ρy+µ)

⇒ 1−ρ²

Var(y) =Var(µ)

⇒Var(y) = 1

(1−ρ²)Var(µ)>Var(µ).

4.4 Moments d’ordres sup´erieurs `a deux

Nous nous servirons relativement peu des moments de variables aléatoires autres que les espérances et les variances. Des fois il sera nécessaire de faire des hypothèses concernant ces moments afin de pouvoir montrer certaines propriétés d’estimateurs.

• Mesure del’asym´etrie(skewness en anglais) d’une distribution :

Skew(r) =

n

X

i=1

hi(ri−E(r))³.

Dans le cas de la loi normale (voir ci-dessous), la mesure de l’asymétrie est égale à zéro, puisque la loi normale est une distributionsymétriqueautour de sa moyenne.

• Encore une fois, il est évident que la mesure de l’asymétrie prend la forme de l’espérance d’une fonction de la variable aléatoire :

Skew(r) =E(z)

(17)

o`u

z ≡(r−E(r))³.

• Donc, je répète qu’une fois que l’on connaˆıt la définition de l’espérance d’une variable aléatoire, il est facile de se souvenir de la définition de l’asymétrie.

• On utilise souvent la définition suivante del’asymétrie normaliséed’une variable aléatoire :

Skew(r) =

n

X

i=1

hi

(r_i−E(r)) σ_r³

3

.

• Mesure del’épaisseur des extrémitésou del’aplatissementd’une distribution (kurto- sis en anglais) :

Kurt(r) =

n

X

i=1

h_i(r_i−E(r))⁴.

• Encore une fois, nous avons :

Kurt(r) =E(z), avec

z ≡(r−E(r))⁴.

• Une fois que l’on connaˆıt la définition de l’espérance d’une variable aléatoire, il est facile de se souvenir de la définition de l’aplatissement.

• On utilise souvent la définition suivante del’aplatissement normaliséd’une variable alé- atoire :

K(r) = 1 σ⁴

n

X

i=1

h_i(r_iE(r))⁴.

• On peut se demander pourquoi on divise par le carré de la variance de la distribution pour normaliser. La réponse provient des caractéristiques de la distribution normale.

• Dans le cas de la loi normale, l’aplatissement normalisé est égale à 3, peu importe l’espérance ou la variance de la variable aléatoire.

• En fait, la loi normale est unedistribution `a deux param`etres :tous les moments de la

(18)

distribution peuvent être exprimés en fonction de la moyenne et de la variance. Une fois que l’on divise par la variance au carré de la distribution, on obtient une constante.

• La loi normale est souvent utilisée comme barème en matière de l’aplatissement. Si une distribution a une mesure normalisée de l’aplatissement qui est supérieure à trois, on parle d’une distributionleptokurtique. En économie financière, par exemple, on sait que la distribution des prix des actions en bourse est leptokurtique.

4.5 Petite note sur le concept d’une fonction lin´eaire

• Lors de la définition des moments d’une variable aléatoire, nous avons vu que les moments peuvent s’écrire comme l’espérance d’une fonction de la variable aléatoire originale.

• Dans tous les cas, nous pouvons écrire les moments comme E(z) où z ≡ f(r)où r est la variable aléatoire d’intérêt. Dans le cas de l’espérance, la fonction f est une fonction linéaire.

• Une fonction lin´eaire d’une variablerprend la forme :

f(r) =a+br,

o`uaetbsont des constantes quelconques.

• Pensez à la définition d’une ligne droite. Dans ce contexte,aest l’ordonnée à l’origine etb est la pente de la droite.

• Toute fonction lin´eaire d’une variable peut s’´ecrire sous cette forme.

• De façon plus générale, on peut parler d’une fonction linéaire enr sia etb ne dépendent pas der, même s’ils ne sont pas des constantes.

• Dans le cas des autres moments, leszsont des fonctions non lin´eaires de r(quadratiques, cubiques, quartiques, etc.).

(19)

5 Distributions de probabilit´e jointes

• Soitr_aetr_bdeux variables al´eatoires discr`etes.

• La probabilité que les deux variables prennent simultanément les valeurs réalisées deraiet r_bjpeut être écrite

Pr(r_a=r_ai, r_b =r_bj).

• Supposons quer_a peut prendrek valeurs distinctes. Supposons que r_b peut prendre n valeurs distinctes.

• Pour que la distribution de probabilit´e jointe soit une distribution de probabilit´e en bonne est due forme, nous devons avoir :

k

X

i=1 n

X

j=1

h_i,j = 1, ,

oùh_i,j est la probabilité que r_aprend la valeurr_ai en même temps que r_b prend la valeur r_b,j. Autrement dit,

hi,j ≡Pr(ra =rai, rb =rbj).

• Nous avons les d´efinitions suivantes.

• Covariancede la population :

Cov(r_a, r_b) =

k

X

i=1 n

X

j=1

h_i,j(r_ai−E(r_a)) (r_bj−E(r_b))

• Propri´et´es de la covariance :

Cov(r_a, r_b) = E(r_a·r_b)−E(r_a)E(r_b);

Cov(c₀+c₁r_a, c₂+c₃r_b) =c₁·c₃Cov(r_a, r_b).

• Encore une fois, il s’agit de conséquences immédiates de la définition d’une covariance.

(20)

Vous devriez ˆetre capables de (et vous devriez) montrer ces r´esultat avec un crayon et une feuille de papier.

• Ces propriétés font partie des résultats clés résumés à la dernière page de ce chapitre.

• Dans la d´efinition d’une covariance, nous retrouvons le produit de deux variables al´eatoires.

Pour cette raison, la covariance est considérée comme un moment du deuxième ordre.

• Corr´elationou coefficient de corr´elation de la population :

Corr(r_a, r_b)≡ρ(r_a, r_b)≡ cov(r_a, r_b) σ(ra)σ(rb),

o`u

σ(r_a)≡p

σ²(r_a).

• Le coefficient de détermination : le carré du coefficient de corrélation.

5.1 Distributions marginales et conditionnelles

• Si nous connaissons les valeurs des h_i,j, il est possible de calculer ladistribution margi- nalede chaque variable al´eatoire individuelle.

• Le nom distribution marginale signifie rien d’autre que la distribution de probabilit´e de la variable individuellle. Nous avons :

Pr(ra =rai)≡hi =

n

X

j=1

Pr(ra =rai , rb =rbj),

et

Pr(r_b =r_bj)≡h_j =

k

X

i=1

Pr(r_a=r_ai, r_b =r_bj),

• La distribution d’une variable aléatoire conditionnelle à la valeur d’une autre variable alé- atoire s’appelle ladistribution conditionnelle der_a étant donnér_b.

• On écrit Pr(ra=rai|rb =rbj)qui se lit la probabilité quera est égale àrai étant donné quer_b est égale àr_bj.

(21)

• Nous avons en g´en´eral :

Pr(r_a =r_ai|r_b =r_bj) = Pr(r_a=r_ai, r_b =r_bj) Pr(r_b =r_bj)

• Une façon de se convaincre de ce résultat est par le biais d’un soi-disant diagramme de Venn. La surface totale du rectangle, qui représente l’espace fondamental de la distribution de probabilité jointe, est unitaire. La probabilité de l’événementr_a =r_aiest donnée par la surface du cercle du côté gauche et la probabilité de l’év’enementr_b =r_bjest donnée par la surface du cercle à droite. La surface à l’intérieur de l’intersection des deux cercles donne la probabilité de l’événement jointr_a = r_ai , r_b = r_bj. Sachant que l’événementr_b =r_bj s’est produit revient à dire que nous savons que nous sommes quelque part à l’intérieur du cercle à droite. Étant donné ceci, la probabilité de se retrouver à l’intérieur de l’intersection est donnée par le ratio de la surface de cette intersection sur la surface totale du cercle à droite. Ceci revient à la formule ci-dessus.

5.1.1 Esp´erance conditionnelle

• Dans le contexte de distributions de probabilité jointes, l’espérance conditionnelle de la variable aléatoirer_a étant donné quer_b =r_biest définie de la façon suivante :

E(r_a|r_b =r_bj) =

k

X

i=1

r_aiPr(r_a =r_ai|r_b =r_bj).

• Pour simplifier un peu notre notation, nous allons souvent écrire l’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire comme :

E(r_a|r_b =r_bj)≡E(r_a|r_b).

(22)

5.1.2 Loi des espérances itérées

L’espérance d’une variable aléatoirer_aest égale à la moyenne pondérée des espérances conditionnelles der_a étant donné les valeurs possibles que peut prendre la variable aléatoirer_b, ou les pondérations sont tout simplement les probabilités de réaliser ces valeurs de la variablesr_b. Autre- ment dit,

E(r_a) =

n

X

j=1

E(r_a|r_b =r_bj)Pr(r_b =r_bj).

Autrement dit, l’espérance der_a est l’espérance de l’espérance conditionnelle der_a étant donnée la valeur derb. Nous pouvons écrire

E(r_a) =E(E(r_a|r_b)).

Cette équation est connue sous le nomloi des espérances itérées.

Dans le cas de variables aléatoires discrètes, il est relativement facile de démontrer ce résultat.

D’abord, nous pouvons écrire l’espérance de la variabler_aconditionnelle à la réalisationr_b = rbjcomme

E(ra|rb =rbj)≡

k

X

i=1

raiPr(ra=rai|rb =rbj).

L’espèrance de ceci est tout simplement la somme pondérée de ces espérances conditionnelles der_apour toutes les réalisations possibles der_b, où on pondère par la probabilité (marginale) de chaque réalisation possible der_b. Nous pouvons écrire

E(E(r_a|r_b =r_bj))≡

n

X

j=1

E(r_a|r_b =r_bj)Pr(r_b =r_bj)

=

n

X

j=1 k

X

i=1

r_aiPr(r_a =r_ai|r_b =r_bj)Pr(r_b =r_bj).

(23)

Nous savons que

Pr(r_a =r_ai|r_b =r_bj) = Pr(r_a=r_ai, r_b =r_bj) Pr(r_b =r_bj) . Substituant, nous avons

E(E(r_a|r_b =r_bj)) =

n

X

j=1 k

X

i=1

r_aiPr(r_a =r_ai , r_b =r_bj)

Pr(r_b =r_bj) Pr(r_b =r_bj)

=

n

X

j=1 k

X

i=1

r_aiPr(r_a =r_ai , r_b =r_bj)

=

k

X

i=1 n

X

j=1

r_aiPr(r_a =r_ai , r_b =r_bj) (ou nous avons tout simplement invers´e l’ordre des sommations)

=

k

X

i=1

r_ai

n

X

j=1

Pr(r_a=r_ai , r_b =r_bj),

puisquer_aine dépend pas dej et donc nous pouvons l’écrire devant la deuxième sommation.

Maintenant,

n

X

j=1

Pr(r_a=r_ai , r_b =r_bj)

est la d´efinition de la probabilit´e marginale Pr(r_a=r_ai). Donc, nous avons

E(E(r_a|r_b =r_bj)) =

k

X

i=1

r_aiPr(r_a =r_ai)≡E(r_a)

ce qui fut `a d´emontrer.

5.1.3 Ind´ependance

• On dit que deux variables aléatoires sont indépendantes lorsque les probabilités conditionnelles sont égales aux probabilités marginales pourtoutesles réalisations possibles des

(24)

deux variables.

• Nous pouvons ´ecrire :

Pr(r_a =r_ai|r_b =r_bj) =Pr(r_a=r_ai) ∀i, j

et

Pr(r_b =r_bj|r_a =r_ai) = Pr(r_b =r_bj) ∀i, j.

• Une conséquence de la définition de l’indépendance avec la formule ci-dessus pour les probabilités conditionnelles est la suivante :

Pr(ra=rai , rb =rbj) = Pr(ra =rai)Pr(rb =rbj).

La probabilité que les deux variables prennent simultanément les valeurs réalisées der_aiet r_bjest tout simplement égale au produit des probabilités marginales.

• Nous pouvons montrer que si deux variables aléatoires sont indépendentes, la covariance entre les deux est zéro. Voici la démonstration :

Cov(r_a , r_b)

=

k

X

i=1 n

X

j=1

(r_ai−E(r_a)) (r_bj−E(r_b))Pr(r_a=r_ai)Pr(r_b =r_bj)

=

k

X

i=1

(r_ai−E(r_a))Pr(r_a=r_ai)

!

n

X

j=1

(r_bj−E(r_b))Pr(r_b =r_bj)

!

= _k

X

i=1

r_aiPr(r_a=r_ai)

!

−E(r_a)

!

(25)

_n X

j=1

r_bjPr(r_b =r_bj)

!

−E(r_b)

!

= 0.

• Nous pouvons aussi facilement montrer que, dans le cas de l’ind´ependance, E(r_ar_b) = E(r_a)E(r_b). Voici la d´emonstration :

E(r_a r_b)≡

k

X

i=1 n

X

j=1

r_air_bjPr(r_a=r_ai, r_b =r_bj)

=

k

X

i=1 n

X

j=1

r_air_bjPr(r_a=r_ai)Pr(r_b =r_bj)

=

k

X

i=1

r_aiPr(r_a=r_ai)

! _n X

j=1

r_bjPr(r_b =r_bj)

!

≡E(r_a)E(r_b).

• Notez que nous pouvons écrire r_aiPr(r_a=r_ai)devant la deuxième sommation ci-dessus (avant-dernière ligne) parce que l’expression ne dépend pas de j. Pour cette raison, nous sommes justifiés de la déplacer devant la deuxième sommation.

• Notez que l’indépendance implique une covariance de zéro, mais que l’inverse n’est pas forcément le cas. Dans le cas de variables qui suivent une loi normale, une covariance de zéro implique l’indépendance.

• Ceci veut dire que pour des variables aléatoires quelconque, l’indépendance est une condition suffisante pour que la covariance soit nulle. Une covariance nulle est une condition nécessaire mais non suffisante pour l’indépendance. Dans le cas de variables aléatoires normales, l’indépendance est une condition nécessaire et suffisante pour une covariance

égale à zéro.

(26)

5.2 Combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires

• Le premier résultat concerne l’espérance d’une combinaison linéaire de deux variables alé- atoires.

E(ar_a+br_b)≡

n

X

i=1

h_i(ar_ai+br_bi)

=a

n

X

i=1

hirai+b

n

X

i=1

hirbi

=aEra+bErb,

o`uraetrbsont des variables al´eatoires etaetbsont des constantes.

• Ce résultat est donc une conséquence directe de la définition d’une espérance.

• Cette règle s’étend directement au cas demvariables aléatoires. En général nous avons :

E

m

X

i=1

a_iY_i

!

=

m

X

i=1

a_iE(Y_i), o`ua_isont des constantes etY_isont des variables al´eatoires.

• Le deuxième résultat concerne la variance d’une combinaison linéaire de deux variables aléatoires.

Var(ar_a+br_b)≡

k

X

i=1 n

X

j=1

h_ij(ar_ai+br_bj−E(ar_a+br_b))²

=

k

X

i=1 n

X

j=1

hij(a(rai−Era) +b(rbj−Erb))²

=a²

k

X

i=1 n

X

j=1

hij(rai−Era)²

(27)

+b²

k

X

i=1 n

X

j=1

h_ij(r_bj−Er_b)²

+2ab

k

X

i=1 n

X

j=1

h_ij(r_ai−Er_a) (r_bj−Er_b)

=a²

k

X

i=1

h_i(r_ai−Er_a)²

+b²

n

X

j=1

h_j(r_bj−Er_b)²

+2ab

k

X

i=1 n

X

j=1

h_ij(r_ai−Er_b) (r_bj−Er_b)

≡a²Var(r_a) +b²Var(r_b) + 2·a·b·Cov(r_a, r_b).

• Il est encore facile d’étendre ce résultat au cas demvariables aléatoires. Nous avons :

Var

m

X

i=1

a_iY_i

!

=

m

X

i=1

ai2

Var(Yi) + 2·X

i<j

ai·aj ·Cov(Yi , Yj). Ici, la notation P

i<j fait référence à la sommation de tous les termes possibles où i est distinct dej et plus petit quej. Il s’agit essentiellement de toutes les covariances distinctes entre les paires de variablesY_i etY_j. On sait que le nombre de covariances distinctes dans le cas dem variables aléatoires est égal àm×(m−1)/2. On multiplie par deux sachant que

Cov(Y_i , Y_j) =Cov(Y_j , Y_i), ∀i6=j.

• De façon générale, ces propriétés sont des généralisations des règles pour le calcul des espérances, des variances, et des covariances.

(28)

6 Quelques lois classiques

6.1 La loi Bernoulli

• Une variable aléatoire qui prend la valeur de1avec une probabilitépet la valeur de0avec une probabilité1−psuit une loiBernoulli.

• Evidemment, la moyenne d’une distribution Bernoulli est égale à´ p. On a pour une variable X qui est engendrée par une loi Bernoulli :

E(X) = (p×1) + ((1−p)×0) =p.

• La variance d’une variable aléatoire Bernoulli est aussi facile à calculer. Appliquant la définition de la variance :

Var(X) = p×(1−p)²

+ (1−p)×(0−p)²

=p(1−p).

6.2 La loi binomiale

• La loibinomialeest une distribution de probabilit´e discr`ete.

• On répète une expérience n fois. Deux résultats sont possibles à chaque répétition (soit

succ`es soit´echec).

• Si la probabilité d’un succès estp, la probabilité d’un échec est forcément1−p. La variable aléatoire naturelle associée à cette distribution de probabilité attribue 1 au succès et 0 à l’échec, et donc est tout simplement égale au nombre de succès lorsque l’expérience est répétéenfois.

• Notez que dans les cas particuliern = 1, nous avons une variable al´eatoire Bernoulli.

• La moyenne d’une variable binomiale est facile `a calculer :

E(X) =

n

X

i=1

(p×1) + ((1−p)×0)

!

=np.

(29)

• Le calcul de la variance est facilitée par l’hypothèse que lesnexpériences sont indépendantes.

A cause de cette hypothèse, la variance est la somme des variances de chacune des` n expériences. Puisque la variance d’une variable Bernoulli est égale àp(1−p), la variance d’une variable binomiale est égale ànp(1−p).

Il y a plusieurs exemples dans ce chapitre de l’utilisation du langage R, dans des encadr´es.

Une lecture de ces encadrés peut être utile pour ceux qui veulent apprendre R pour les travaux pratiques, mais n’est pas nécessaire pour une compréhension de la matière du cours.

Les exemples de code sont documentés. Si vous voulez une introduction au langage, re- gardez le chapitre de références. Un bon point de départ est l’article de Paradis (2005), qui est en français. J’ai écrit une courte introduction aux commandes de base en R. Voir http://www.er.uqam.ca/nobel/r10735/4272/R.pdf.

Nous pouvons utiliser l’ordinateur pour simuler des variable aléatoires générées par une distribution binomiale. Le code qui suit, en langage R, génère 10 000 observations provenenant d’une distribution binomiale avecn = 10etp= 0.5, et crée un histogramme avec les résultats.

Vous pouvez vous-mˆeme installer le logiciel (il est gratuit et disponible pour plateformes PC, Mac et Linux) et jouer avec le code (en changeant, par exemple, les valeurs depet den).

Le R> au début de chaque ligne indique les caractères de sollicitation de commande dans la fenêtre de commandes. Ce qu’il faut taper suit. Le caractère # permet d’insérer des commentaires qui ne sont pas exécutés.

R> #

R> # Sp´ecifier la taille de l’´echantillon.

R> # R> Size = 10000 R> #

R> # Spécifier le nombre de répétitions de R> # l’expérience.

(30)

R> #

R> n = 10 R> #

R> # Spécifier la probabilité de succès.

R> #

R> probab = 0.5 R> #

R> # Générer les réalisations de la variable R> # aléatoire.

R> x <- rbinom(Size,n,probab) R> #

R> # Générer un histogramme avec l’échantillon de R> # réalisations.

R> #

R> hist(x, xlim=c(min(x), max(x)), probability=TRUE, nclass=max(x)-min(x)+1, col="lightblue", main="Fig 1:

Distribution binomiale avec n=10, p-0.5") R> #

R> # Générer une approximation lisse à la fonction R> # de distribution.

R> #

R> lines(density(x,bw=1), col="red", lwd=3)

Essayez de deviner ce que fait chaque option de la commande hist(·) et de la commande lines(·). Pour en savoir plus, on peut utiliser la fonctionhelp(hist)ouhelp(lines).

Le graphique généré par le code est la Figure 1. La courbe est une approximation lisse aux barres de l’histogramme. Si vous jouez avec le code, vous pouvez sauvegarder le graphique

(31)

avec les commandes suivantes :

R> dev.copy(pdf,’figure11.pdf’) R> dev.off()

La commandedev.copy(·)crée le fichierfigure11.pdfen formatpdfdans le répertoire par défaut. La commandedev.off()écrit le graphique actif dans le fichier et le ferme.

Notez la ressemblance entre l’histogramme et la cloche classique de la distribution normale (que nous allons étudier plus loin), que vous avez certainement vue dans un cours antérieur ou ailleurs. Cette ressemblance est au coeur duthéorème de la limite centrale que nous allons voir vers la fin du chapitre.

Figure 1: Distribution binomiale, n=10, p=0.5

x

Density

0 2 4 6 8 10

0.000.050.100.150.200.25

6.3 La loi uniforme

• On ne rencontre pas la loi uniforme très fréquemment en économétrie. Elle a l’avantage d’être probablement la loi continue la plus facile. On peut facilement calculer à partir de la définition d’une densité uniforme la moyenne et la variance de la distribution (et les

(32)

moments sup´erieurs `a deux aussi).

• La loiuniforme: distribution continue avec unsupport(gamme de valeurs possibles) fini, c’est à dire qu’on peut obtenir un résultat entre une borne inférieure et une borne supérieure.

• Chaque résultat est équiprobable, ce qui donne unedensitéplate entre la borne inférieure et la borne supérieure.

• Soitr_min la valeur minimale que peut prendreret soitr_maxla valeur maximale, alors :

h_i = ¯h

o`u ¯h est une constante. Pour que ce soit une distribution de probabilit´e en bonne et due forme, il faut que :

Z rmax

rmin

hdi¯ = 1,

et donc

h¯= 1 r_max−r_min.

• La moyenne est relativement facile à calculer. Nous avons pour une variable aléatoire r engendrée par une loi uniforme :

E(r) = Z rmax

rmin

i

(r_max−r_min) di

= 1

2

i² (r_max−r_min)

b

a

= 1 2

1

(r_max−r_min) b²−a²

= 1 2

1

(r_max−r_min)(b+a) (b−a)

= (b+a) 2 .

• La variance est également facile à calculer. Nous avons l’expression suivante pour le deuxième

(33)

moment brut de la distribution uniforme :

E r²

= Z rmax

rmin

i²

(r_max−r_min) di

= 1

3

i³ (rmax−rmin)

b

a

= 1 3

1

(rmax−rmin) b³−a³

= 1 3

1

(rmax−rmin) a²+ab+b²

(b−a)

= (a²+ab+b²)

3 .

Maintenant, sachant que Var(r) = E(r²)−(E(r))², nous obtenons

Var(r) = (a²+ab+b²)

3 −

(b+a) 2

2

= (4a²+ 4ab+ 4b²−3a²−6ab−3b²)

12 = (a²−2ab+b²) 12

= (b−a)² 12 .

6.4 La loi normale

• La loinormale: distribution continue avec un support infini.

• Elle est caractérisée complètement par la moyenne et la variance. Les autres moments de la distribution sont des fonctions de ces deux moments.

• Sa densit´e est donn´ee par la fonction suivante :

f(X;µ, σ²) = 1 σ√

2π exp

− 1

2σ²(x−µ)²

.

• La variable al´eatoire estX. La moyenne estµet la variance estσ².

(34)

• On constate immédiatement que la densité comme fonction dexest symétrique autour de la moyenne µ. Cela implique que la mesure d’asymétrie de cette distribution est égale à zéro.

• Si on soustrait la moyenne d’une variable al´eatoire normale et si par la suite on divise par son ´ecart type, on a :

E

(X−µ) σ

= 1

σ(E(X)−µ) = 0;

Var

(X−µ) σ

= 1

σ²Var(X) = 1.

On appelle une telle variable aléatoire normale une variable normalecentrée réduite.

• La variable normale centrée réduite joue un rôle clé en statistique. Elle est souvent utilisée lorsqu’on invoque le théorème de la limite centrale (voir ci-dessous) pour justifier qu’une statistique calculée est engendrée par une loi normale centrée réduite. Si tel est le cas, on peut utiliser les valeurs tabulées de la loi normale centrée réduite pour faire de l’inférence statistique (tester des hypothèses).

Il y a plusieurs fonctions utiles définies dans le langageRqui peuvent être utiles pour le calcul de densités ou de probabilités. Dans le cadre de la normale, la fonctiondnorm(·)nous donne la densité de la normale à un point donné. Par exemple,

R> dnorm(0) [1] 0.3989423

R> dnorm(0)*sqrt(2*pi) [1] 1

R> dnorm(0,mean=4) [1] 0.0001338302

R> dnorm(0,mean=4,sd=10) [1] 0.03682701

R> v <- c(0,1,2)

(35)

R> dnorm(v)

[1] 0.39894228 0.24197072 0.05399097 R> x <- seq(-4,4,by=.25)

R> y <- dnorm(x)

R> plot(x,y,main="Fig 2: Densit´e normale entre -4 et 4")

Sans autre argument, dnorm(·)donne la densité pour une normale centrée réduite. On peut aussi spécifier la moyenne (par défaut zéro) et l’écart type (par défaut un).

Le r´esultat de la fonctionplot(·)est donn´e par la Figure 2 ci-dessous.

La deuxième fonction estpnorm(·). Quand on lui fournit un chiffre elle donne la fonction de distribution cumulée évaluée à ce point. Les options sont identiques à celles dednorm(·).

Par exemple, R> pnorm(0) [1] 0.5

R> pnorm(1) [1] 0.8413447

R> pnorm(0,mean=2) [1] 0.02275013

R> pnorm(0,mean=2,sd=3) [1] 0.2524925

R> v <- c(0,1,2) R> pnorm(v)

[1] 0.5000000 0.8413447 0.9772499 R> x <- seq(-4,4,by=.25)

R> y <- pnorm(x)

R> plot(x,y,main="Fig 3: Densit´e normale cumul´ee entre -4 et

(36)

4")

Ensuite, il y a la fonctionqnorm(·), qui est la fonction inverse par rapport `apnorm(·).

Quand on lui fournit une probabilité, elle nous donne le chiffre dont la fonction de distribution cumulée est égale à cette probabilité. Par exemple,

R> qnorm(0.5) [1] 0

R> qnorm(0.5,mean=1) [1] 1

R> qnorm(0.5,mean=1,sd=2) [1] 1

R> qnorm(0.5,mean=2,sd=2) [1] 2

R> qnorm(0.5,mean=2,sd=4) [1] 2

R> qnorm(0.25,mean=2,sd=2) [1] 0.6510205

R> qnorm(0.333) [1] -0.4316442

R> qnorm(0.333,sd=3) [1] -1.294933

R> qnorm(0.75,mean=5,sd=2) [1] 6.34898

R> v = c(0.1,0.3,0.75) R> qnorm(v)

[1] -1.2815516 -0.5244005 0.6744898

(37)

R> x <- seq(0,1,by=.05) R> y <- qnorm(x)

R> plot(x,y,main="Fig 4: Densit´e normale cumul´ee inverse entre 0 et 1")

La dernière fonction est rnorm(·), qui génère des variables aléatoires générées par une loi normale. Avec un seul argument, qui doit être un nombre entier, elle génère ce nombre de réalisations d’une loi normale centrée réduite. On peut aussi spécifier en option une moyenne différente et/ou un écart type différent. Par exemple,

R> rnorm(4)

[1] 1.2387271 -0.2323259 -1.2003081 -1.6718483 R> rnorm(4,mean=3)

[1] 2.633080 3.617486 2.038861 2.601933 R> rnorm(4,mean=3,sd=3)

[1] 4.580556 2.974903 4.756097 6.395894 R> rnorm(4,mean=3,sd=3)

[1] 3.000852 3.714180 10.032021 3.295667 R> y <- rnorm(200)

R> hist(y,main="Fig 5: 200 réalisations d’une normale centrée réduite")

Le r´esultat de la fonctionhist(·)est donn´e par le Graphique 1.5 ci-dessous.

Il y a des fonctions ´equivalentes pour plusiers lois, dont le chi-carr´e, laF, lat de Student, etc. Nous y reviendrons.

(38)

● ● ● ●●●●

●

●● ● ● ● ●

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

Fig 2: Densité normale entre −4 et 4

x

y

● ● ● ● ● ● ●●●●

●

●●● ● ●● ● ● ● ●

−4 −2 0 2 4

0.00.20.40.60.81.0

Fig 3: Densité normale cumulée entre −4 et 4

x

y

(39)

●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−1.5−1.0−0.50.00.51.01.5

Fig 4: Densité normale cumulée inverse entre 0 et 1

x

y

Fig 5: 200 réalisations d'une normale centrée réduite

y

Frequency

−2 −1 0 1 2 3

010203040

6.5 La loi normale multivari´ee

• Cette section est un peu plus ardue que les autres.

• On peut montrer qu’une combinaison lin´eaire de variables al´eatoires normales suit une distribution normale.

(40)

• Ceci explique la popularité de la loi normale en économie financière (ainsi que dans plusieurs autres domaines). Un portefeuille d’actifs est une combinaison linéaire d’actifs individuels, et le rendement du portefeuille est une combinaison linéaire des rendements des actifs. Si on suppose que les rendements des actifs individuels sont engendrés par des lois normales, tout portefeuille a un rendement distribué selon une loi normale.

• SoitX un vecteur den variables aléatoires (de dimensions1×n) engendrées par des lois normales, avec µ le vecteur de moyennes de ces variables et Σ la matrice de variance- covariance (une matrice symétrique où l’élément (i, i) donne la variance de la variable aléatoirei, et l’élément (i, j)donne la covariance entre la variableiet la variablej). Nous pouvons écrire la densitéf_X(X₁ , . . . , X_n)de la façon suivante :

f_X(X₁ , . . . , X_n) =

1

(2π)^(n/2)|Σ|^(1/2) exp

−1

2(X−µ)⁰Σ⁻¹(X−µ)

,

o`u(X−µ)⁰est le vecteur(X−µ)transpos´e.²

• On constate que la densit´e de la loi normale univari´ee n’est qu’un cas particulier de cette formule.

• On peut montrer, mais nous n’allons pas le faire ici, que :

R∞

−∞. . .R∞

−∞

1 (2π)^(n/2)|Σ|^(1/2)

exp −¹₂(X−µ)⁰Σ⁻¹(X−µ)

dX₁. . . dX_n = 1.

Il s’agit ici d’intégrales multiples. Donc, la surface en dessous de la densité (une surface en n+1dimensions) est égale à un, ce qui doit être le cas pour toute distribution de probabilité.

• Petit rappel : on peut montrer que si deux variables al´eatoires normales ont une covariance

2. Nous allons revenir à une notation matricielle dans le chapitre sur le modèle de régression multiple. Le temps est peut-être propice pour une révision des notions de base en algèbre linéaire. Vous devriez vous convaincre que les multipications matricielles sont bien définies (les matrices et/ou les vecteurs sont conformes) et que le résultat est un scalaire.