ECO 4272 : Introduction ` a l’´ Econom´ etrie Notes sur les mod` eles de r´ egression non lin´ eaires

ECO 4272 : Introduction ` a l’´ Econom´ etrie Notes sur les mod` eles de r´ egression non lin´ eaires

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal

2018: Steve Amblerc

Hiver 2018

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts. 1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de

changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele. 4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts. 1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de

changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele. 4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts.

1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele. 4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts.

1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele. 4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts.

1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele. 4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts.

1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele.

4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Introduction

I But : pr´esenter quelques strat´egies g´en´erales pour sp´ecifier et estimer des mod`eles ´econom´etriques non lin´eaires.

I Mod`eles non lin´eaires dans lesvariables, non les mod`eles non lin´eaires dans lesparam`etres.

I But secondaire : r´eviser un certain nombre de concepts.

1. Calcul d’intervalles de confiance pour des pr´edictions de changement.

2. Calcul de variances de combinaisons lin´eaires de variables al´eatoires.

3. Estimation d’une version ´equivalente d’un mod`ele.

4. Tests d’hypoth`ese et relation entre statistiquesF ett.

Non-lin´ earit´ es : param` etres versus variables

I Mod`ele de r´egression multiple g´en´eral : Y_i =F(X_i , β) +u_i

I Le terme d’erreur est additif.

Non-lin´ earit´ es : param` etres versus variables

I Mod`ele de r´egression multiple g´en´eral : Y_i =F(X_i , β) +u_i

I Le terme d’erreur est additif.

Non-lin´ earit´ es dans les variables seulement

I Pour βj , j = 0,1, . . .k nous avons

∂Y_i

∂β_j =G(X_i).

I Les d´eriv´ees partielles ne d´ependent pas des param`etres.

I Nous pouvons r´e´ecrire le mod`ele sous la forme Y =Xβ+U

avec une red´efinition appropri´ee des variables dans la matrice X.

Non-lin´ earit´ es dans les variables seulement

I Pour βj , j = 0,1, . . .k nous avons

∂Y_i

∂β_j =G(X_i).

I Les d´eriv´ees partielles ne d´ependent pas des param`etres.

I Nous pouvons r´e´ecrire le mod`ele sous la forme Y =Xβ+U

avec une red´efinition appropri´ee des variables dans la matrice X.

Non-lin´ earit´ es dans les variables seulement

I Pour βj , j = 0,1, . . .k nous avons

∂Y_i

∂β_j =G(X_i).

I Les d´eriv´ees partielles ne d´ependent pas des param`etres.

I Nous pouvons r´e´ecrire le mod`ele sous la forme Y =Xβ+U

avec une red´efinition appropri´ee des variables dans la matrice X.

Non-lin´ earit´ es : param` etres

I Pour au moins un param`etreβ_j , i = 0,1, . . .k nous avons

∂Y_i

∂β_j = ˜G(X_i, β).

I Le mod`ele est non lin´eaire dans les param`etres.

Non-lin´ earit´ es : param` etres

I Pour au moins un param`etreβ_j , i = 0,1, . . .k nous avons

∂Y_i

∂β_j = ˜G(X_i, β).

I Le mod`ele est non lin´eaire dans les param`etres.

MCNL

I Il est toujours possible de d´efinir le probl`eme min

β n

X

i=1

u_i² =

n

X

i=1

(Y_i−F(X_i , β))²

I Un ordinateur avec un algorithme sophistiqu´e peut r´esoudre ce probl`eme.

I Il est possible aussi de calculer (au moins approximativement) une solution num´erique pour

E

βˆ−β βˆ−β0

.

I Etudier comment et pourquoi ce genre d’approximation´ fonctionne d´epasse le cadre de ce cours.

MCNL

I Il est toujours possible de d´efinir le probl`eme min

β n

X

i=1

u_i² =

n

X

i=1

(Y_i−F(X_i , β))²

I Un ordinateur avec un algorithme sophistiqu´e peut r´esoudre ce probl`eme.

I Il est possible aussi de calculer (au moins approximativement) une solution num´erique pour

E

βˆ−β βˆ−β0

.

I Etudier comment et pourquoi ce genre d’approximation´ fonctionne d´epasse le cadre de ce cours.

MCNL

I Il est toujours possible de d´efinir le probl`eme min

β n

X

i=1

u_i² =

n

X

i=1

(Y_i−F(X_i , β))²

I Un ordinateur avec un algorithme sophistiqu´e peut r´esoudre ce probl`eme.

I Il est possible aussi de calculer (au moins approximativement) une solution num´erique pour

E

βˆ−β βˆ−β0

.

I Etudier comment et pourquoi ce genre d’approximation´ fonctionne d´epasse le cadre de ce cours.

MCNL

I Il est toujours possible de d´efinir le probl`eme min

β n

X

i=1

u_i² =

n

X

i=1

(Y_i−F(X_i , β))²

I Un ordinateur avec un algorithme sophistiqu´e peut r´esoudre ce probl`eme.

I Il est possible aussi de calculer (au moins approximativement) une solution num´erique pour

E

βˆ−β βˆ−β0

.

I Etudier comment et pourquoi ce genre d’approximation´ fonctionne d´epasse le cadre de ce cours.

Exemple

I Fonction de production CES :

Y_i = (θN_i^γ+ (1−θ)K_i^γ)^(1/γ)+u_i.

I Les param`etres sont θet γ.

I Il n’y a pas de transformation de ce mod`ele qui donne un mod`ele lin´eaire.

Exemple

I Fonction de production CES :

Y_i = (θN_i^γ+ (1−θ)K_i^γ)^(1/γ)+u_i.

I Les param`etres sontθ et γ.

I Il n’y a pas de transformation de ce mod`ele qui donne un mod`ele lin´eaire.

Exemple

I Fonction de production CES :

Y_i = (θN_i^γ+ (1−θ)K_i^γ)^(1/γ)+u_i.

I Les param`etres sontθ et γ.

I Il n’y a pas de transformation de ce mod`ele qui donne un mod`ele lin´eaire.

Transformation

I Mod`ele :

Yi =NiαKiβexp (ui),

I En logs :

ln (Y_i) =αln (N_i) +βln (K_i) +u_i.

I Avec rendements constants (α+β = 1 => β= 1−α) : ln (Yi)−ln (Ki) =α(ln (Ni)−ln (Ki)) +ui.

Transformation

I Mod`ele :

Yi =NiαKiβexp (ui),

I En logs :

ln (Y_i) =αln (N_i) +βln (K_i) +u_i.

I Avec rendements constants (α+β = 1 => β= 1−α) : ln (Yi)−ln (Ki) =α(ln (Ni)−ln (Ki)) +ui.

Transformation

I Mod`ele :

Yi =NiαKiβexp (ui),

I En logs :

ln (Y_i) =αln (N_i) +βln (K_i) +u_i.

I Avec rendements constants (α+β = 1 => β= 1−α) : ln (Yi)−ln (Ki) =α(ln (Ni)−ln (Ki)) +ui.

Strat´ egies pour d´ etecter les non-lin´ earit´ es

1. M´ethodes formelles : `a suivre dans le prochain chapitre.

2. M´ethodes graphiques :

2.1 Graphique des r´esidus contre soit la variable d´ependante soit une des variables explicatives.

2.2 Graphique avec la ligne de r´egression (conditionnelle) et les paires (Yi, Xji) o`uXji est l’i^e observation sur la j^e variable explicative.

2.3 “Partial plots”

Strat´ egies pour d´ etecter les non-lin´ earit´ es

1. M´ethodes formelles : `a suivre dans le prochain chapitre.

2. M´ethodes graphiques :

2.1 Graphique des r´esidus contre soit la variable d´ependante soit une des variables explicatives.

2.2 Graphique avec la ligne de r´egression (conditionnelle) et les paires (Yi, Xji) o`uXji est l’i^e observation sur la j^e variable explicative.

2.3 “Partial plots”

Strat´ egies pour d´ etecter les non-lin´ earit´ es

1. M´ethodes formelles : `a suivre dans le prochain chapitre.

2. M´ethodes graphiques :

2.1 Graphique des r´esidus contre soit la variable d´ependante soit une des variables explicatives.

2.2 Graphique avec la ligne de r´egression (conditionnelle) et les paires (Yi, Xji) o`uXji est l’i^e observation sur la j^e variable explicative.

2.3 “Partial plots”

Strat´ egies pour d´ etecter les non-lin´ earit´ es

1. M´ethodes formelles : `a suivre dans le prochain chapitre.

2. M´ethodes graphiques :

2.1 Graphique des r´esidus contre soit la variable d´ependante soit une des variables explicatives.

2.2 Graphique avec la ligne de r´egression (conditionnelle) et les paires (Yi, Xji) o`uXji est l’i^e observation sur la j^e variable explicative.

2.3 “Partial plots”

Strat´ egies pour d´ etecter les non-lin´ earit´ es

1. M´ethodes formelles : `a suivre dans le prochain chapitre.

2. M´ethodes graphiques :

2.1 Graphique des r´esidus contre soit la variable d´ependante soit une des variables explicatives.

2.2 Graphique avec la ligne de r´egression (conditionnelle) et les paires (Yi, Xji) o`uXji est l’i^e observation sur la j^e variable explicative.

2.3 “Partial plots”

Mod` eles polynomiales

I Exemple :

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+β₃X_i³+. . .+β_rX_i^r +u_i.

I Pas de difficult´es pour l’estimation.

I Multicollin´earit´e possible.

I Tester la significativit´e de X.

I Intervalles de confiance pour les changements pr´edits.

Mod` eles polynomiales

I Exemple :

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+β₃X_i³+. . .+β_rX_i^r +u_i.

I Pas de difficult´es pour l’estimation.

I Multicollin´earit´e possible.

I Tester la significativit´e de X.

I Intervalles de confiance pour les changements pr´edits.

Mod` eles polynomiales

I Exemple :

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+β₃X_i³+. . .+β_rX_i^r +u_i.

I Pas de difficult´es pour l’estimation.

I Multicollin´earit´e possible.

I Tester la significativit´e de X.

I Intervalles de confiance pour les changements pr´edits.

Mod` eles polynomiales

I Exemple :

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+β₃X_i³+. . .+β_rX_i^r +u_i.

I Pas de difficult´es pour l’estimation.

I Multicollin´earit´e possible.

I Tester la significativit´e de X.

I Intervalles de confiance pour les changements pr´edits.

Mod` eles polynomiales

I Exemple :

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+β₃X_i³+. . .+β_rX_i^r +u_i.

I Pas de difficult´es pour l’estimation.

I Multicollin´earit´e possible.

I Tester la significativit´e de X.

I Intervalles de confiance pour les changements pr´edits.

Mod` eles logarithmiques

I Log–lin´eaire :

ln (Y_i) =β₀+β₁X_1i+. . .+β_kX_ki +u_i.

I Lin´eaire–log :

Y_i =β₀+β₁ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

I Log–log :

ln (Y_i) =β0+β1ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

I Les R² de deux r´egressions o`u la variable d´ependante n’est pas d´efinie de la mˆeme fa¸con (par exemple en logs et en niveaux) ne sont pas strictement comparables.

Mod` eles logarithmiques

I Log–lin´eaire :

ln (Y_i) =β₀+β₁X_1i+. . .+β_kX_ki +u_i.

I Lin´eaire–log :

Yi =β0+β1ln (X1i) +. . .+βkln (Xki) +ui.

I Log–log :

ln (Y_i) =β0+β1ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

I Les R² de deux r´egressions o`u la variable d´ependante n’est pas d´efinie de la mˆeme fa¸con (par exemple en logs et en niveaux) ne sont pas strictement comparables.

Mod` eles logarithmiques

I Log–lin´eaire :

ln (Y_i) =β₀+β₁X_1i+. . .+β_kX_ki +u_i.

I Lin´eaire–log :

Yi =β0+β1ln (X1i) +. . .+βkln (Xki) +ui.

I Log–log :

ln (Y_i) =β0+β1ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

I Les R² de deux r´egressions o`u la variable d´ependante n’est pas d´efinie de la mˆeme fa¸con (par exemple en logs et en niveaux) ne sont pas strictement comparables.

Mod` eles logarithmiques

I Log–lin´eaire :

ln (Y_i) =β₀+β₁X_1i+. . .+β_kX_ki +u_i.

I Lin´eaire–log :

Yi =β0+β1ln (X1i) +. . .+βkln (Xki) +ui.

I Log–log :

ln (Y_i) =β0+β1ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

I Les R² de deux r´egressions o`u la variable d´ependante n’est pas d´efinie de la mˆeme fa¸con (par exemple en logs et en niveaux) ne sont pas strictement comparables.

Effets d’interaction entre variables explicatives

1. Variable dichotomique – variable dichotomique : Y_i =β₀+β₁D_1i+β₂D_2i +u_i. D₁ : diplˆome, D₂ : masculin/f´eminin.

2. L’impact de l’obtention d’un diplˆome sur le salaire pourrait d´ependre aussi du sexe.

Y_i =β0+β1D_1i +β2D_2i+β3D_1iD_2i +u_i.

Effets d’interaction entre variables explicatives

1. Variable dichotomique – variable dichotomique : Y_i =β₀+β₁D_1i+β₂D_2i +u_i. D₁ : diplˆome, D₂ : masculin/f´eminin.

2. L’impact de l’obtention d’un diplˆome sur le salaire pourrait d´ependre aussi du sexe.

Y_i =β₀+β₁D_1i +β₂D_2i+β₃D_1iD_2i +u_i.

Effets d’interaction (suite)

I Variables dichotomiques – variables continues.

Y_i =β₀+β₁D_i +β₂X_i +u_i, X : ann´ees d’exp´erience,D diplˆome ou non.

I On pourrait avoir

Y_i =β₀+β₁D_i+β₂X_i+β₃D_iX_i+u_i.

I Troisi`eme possibilit´e :

Yi =β0+β1Xi +β2DiXi +ui.

Effets d’interaction (suite)

I Variables dichotomiques – variables continues.

Y_i =β₀+β₁D_i +β₂X_i +u_i, X : ann´ees d’exp´erience,D diplˆome ou non.

I On pourrait avoir

Y_i =β₀+β₁D_i+β₂X_i+β₃D_iX_i+u_i.

I Troisi`eme possibilit´e :

Yi =β0+β1Xi +β2DiXi +ui.

Effets d’interaction (suite)

I Variables dichotomiques – variables continues.

Y_i =β₀+β₁D_i +β₂X_i +u_i, X : ann´ees d’exp´erience,D diplˆome ou non.

I On pourrait avoir

Y_i =β₀+β₁D_i+β₂X_i+β₃D_iX_i+u_i.

I Troisi`eme possibilit´e :

Yi =β0+β1Xi +β2DiXi +ui.

Variables continues – variables continues

I Interaction entre variables continues et variables continues : Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i. X1 : ann´ees d’exp´erience,X2 : nombre d’ann´ees d’´etudes.

Strat´ egie g´ en´ erale

I Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´

economique, etc.).

I Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

I Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (tests t, testsF,R², etc.). Noter la qualification concernant

l’utilisation du R² dans la sous-section sur les transformation logarithmiques.

I Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes ´eventuels.

I Utiliser des tests formels.

Strat´ egie g´ en´ erale

I Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´

economique, etc.).

I Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

I Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (tests t, testsF,R², etc.). Noter la qualification concernant

l’utilisation du R² dans la sous-section sur les transformation logarithmiques.

I Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes ´eventuels.

I Utiliser des tests formels.

Strat´ egie g´ en´ erale

I Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´

economique, etc.).

I Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

I Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (tests t, testsF,R², etc.). Noter la qualification concernant

l’utilisation du R² dans la sous-section sur les transformation logarithmiques.

I Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes ´eventuels.

I Utiliser des tests formels.

Strat´ egie g´ en´ erale

I Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´

economique, etc.).

I Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

I Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (tests t, testsF,R², etc.). Noter la qualification concernant

l’utilisation du R² dans la sous-section sur les transformation logarithmiques.

I Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes ´eventuels.

I Utiliser des tests formels.

Strat´ egie g´ en´ erale

I Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´

economique, etc.).

I Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

I Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (tests t, testsF,R², etc.). Noter la qualification concernant

l’utilisation du R² dans la sous-section sur les transformation logarithmiques.

I Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes ´eventuels.

I Utiliser des tests formels.

Exemple

I Mod`ele de r´egression simple estim´e : Y_i =β₀+β₁X_i+u_i.

I Les r´esidus sont en moyenne n´egatifs pour des valeurs faibles deXi, positifs pour des valeurs interm´ediaires, et encore n´egatifs pour des valeurs ´elev´es.

I L’impact de X_i sur Y_i diminue avecX_i.

Exemple

I Mod`ele de r´egression simple estim´e : Y_i =β₀+β₁X_i+u_i.

I Les r´esidus sont en moyenne n´egatifs pour des valeurs faibles deX_i, positifs pour des valeurs interm´ediaires, et encore n´egatifs pour des valeurs ´elev´es.

I L’impact de X_i sur Y_i diminue avecX_i.

Exemple

I Mod`ele de r´egression simple estim´e : Y_i =β₀+β₁X_i+u_i.

I Les r´esidus sont en moyenne n´egatifs pour des valeurs faibles deX_i, positifs pour des valeurs interm´ediaires, et encore n´egatifs pour des valeurs ´elev´es.

I L’impact de X_i sur Y_i diminue avecX_i.

Exemple (suite)

I Deux sp´ecifications alternatives non lin´eaires possibles : Y_i =β0+β1ln (X_i) +u_i;

Y_i =β0+β1X_i +β2X_i²+u_i.

I Tester la significativit´e de ˆβ2, comparer lesR² ou les ¯R², regarder encore des graphiques des r´esidus contreX_i.

Exemple (suite)

I Deux sp´ecifications alternatives non lin´eaires possibles : Y_i =β0+β1ln (X_i) +u_i;

Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+u_i.

I Tester la significativit´e de ˆβ2, comparer lesR² ou les ¯R², regarder encore des graphiques des r´esidus contreX_i.

Exemple (suite)

I Deux sp´ecifications alternatives non lin´eaires possibles : Y_i =β0+β1ln (X_i) +u_i;

Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+u_i.

I Tester la significativit´e de ˆβ2, comparer lesR² ou les ¯R², regarder encore des graphiques des r´esidus contreX_i.

Exemple (suite)

I Estimer un mod`ele g´en´eral quiemboˆıte les deux autres : Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+β₃ln(X_i) +u_i.

I Les 2 mod`eles sont des versions contraintes de celui-ci.

I Tester les deux H0 suivantes :

H₀ :β₃ = 0 H₁ :β₃ 6= 0;

H₀:β₁=β₂= 0 H₁:β₁6= 0et/ouβ₂ 6= 0.

I Retenir le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value la plus faible).

I Pour des versions plus formelles de ce test, voir Davidson et MacKinnon (1982).

Exemple (suite)

I Estimer un mod`ele g´en´eral quiemboˆıte les deux autres : Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+β₃ln(X_i) +u_i.

I Les 2 mod`eles sont des versions contraintes de celui-ci.

I Tester les deux H0 suivantes :

H₀ :β₃ = 0 H₁ :β₃ 6= 0;

H₀:β₁=β₂= 0 H₁:β₁6= 0et/ouβ₂ 6= 0.

I Retenir le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value la plus faible).

I Pour des versions plus formelles de ce test, voir Davidson et MacKinnon (1982).

Exemple (suite)

I Estimer un mod`ele g´en´eral quiemboˆıte les deux autres : Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+β₃ln(X_i) +u_i.

I Les 2 mod`eles sont des versions contraintes de celui-ci.

I Tester les deux H0 suivantes :

H0 :β3 = 0 H1 :β3 6= 0;

H₀:β₁=β₂= 0 H₁:β₁6= 0et/ouβ₂ 6= 0.

I Retenir le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value la plus faible).

I Pour des versions plus formelles de ce test, voir Davidson et MacKinnon (1982).

Exemple (suite)

I Estimer un mod`ele g´en´eral quiemboˆıte les deux autres : Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+β₃ln(X_i) +u_i.

I Les 2 mod`eles sont des versions contraintes de celui-ci.

I Tester les deux H0 suivantes :

H0 :β3 = 0 H1 :β3 6= 0;

H₀:β₁=β₂= 0 H₁:β₁6= 0et/ouβ₂ 6= 0.

I Retenir le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value la plus faible).

I Pour des versions plus formelles de ce test, voir Davidson et MacKinnon (1982).

Exemple (suite)

I Estimer un mod`ele g´en´eral quiemboˆıte les deux autres : Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+β₃ln(X_i) +u_i.

I Les 2 mod`eles sont des versions contraintes de celui-ci.

I Tester les deux H0 suivantes :

H0 :β3 = 0 H1 :β3 6= 0;

H₀:β₁=β₂= 0 H₁:β₁6= 0et/ouβ₂ 6= 0.

I Retenir le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value la plus faible).

I Pour des versions plus formelles de ce test, voir Davidson et MacKinnon (1982).

Changements pr´ edits

I Mod`ele illustratif :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

I Nous avons

∆ ˆY ≡Yˆ₂−Yˆ₁ =h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₂X₂₁i

−h

βˆ0+ ˆβ1X11+ ˆβ2X21+ ˆβ3X11X21

i

= ˆβ₁(X₁₂−X₁₁) + ˆβ₃X₂₁(X₁₂−X₁₁)

= ˆβ₁(∆X₁) + ˆβ₃X₂₁(∆X₁)

⇒ ∆ ˆY

∆X₁ = ˆβ₁+ ˆβ₃X₂₁.

Changements pr´ edits

I Mod`ele illustratif :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

I Nous avons

∆ ˆY ≡Yˆ₂−Yˆ₁ =h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₂X₂₁i

−h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₁+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₁X₂₁i

= ˆβ₁(X₁₂−X₁₁) + ˆβ₃X₂₁(X₁₂−X₁₁)

= ˆβ₁(∆X₁) + ˆβ₃X₂₁(∆X₁)

⇒ ∆ ˆY

∆X₁ = ˆβ₁+ ˆβ₃X₂₁.

Changements pr´ edits

I Mod`ele illustratif :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

I Nous avons

∆ ˆY ≡Yˆ₂−Yˆ₁ =h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₂X₂₁i

−h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₁+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₁X₂₁i

= ˆβ1(X12−X11) + ˆβ3X21(X12−X11)

= ˆβ₁(∆X₁) + ˆβ₃X₂₁(∆X₁)

⇒ ∆ ˆY

∆X₁ = ˆβ₁+ ˆβ₃X₂₁.

Changements pr´ edits

I Mod`ele illustratif :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

I Nous avons

∆ ˆY ≡Yˆ₂−Yˆ₁ =h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₂X₂₁i

−h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₁+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₁X₂₁i

= ˆβ1(X12−X11) + ˆβ3X21(X12−X11)

= ˆβ₁(∆X₁) + ˆβ₃X₂₁(∆X₁)

⇒ ∆ ˆY

∆X₁ = ˆβ₁+ ˆβ₃X₂₁.

Changements pr´ edits

I Mod`ele illustratif :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

I Nous avons

∆ ˆY ≡Yˆ₂−Yˆ₁ =h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₂X₂₁i

−h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₁+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₁X₂₁i

= ˆβ1(X12−X11) + ˆβ3X21(X12−X11)

= ˆβ₁(∆X₁) + ˆβ₃X₂₁(∆X₁)

⇒ ∆ ˆY

∆X1

= ˆβ₁+ ˆβ₃X₂₁.

Changements pr´ edits : intervalles de confiance.

I Trois m´ethodes principales.

1. Matrice variance-covariance des param`etres. 2. Estimation d’une version ´equivalente du mod`ele. 3. StatistiqueFpour tester une restriction lin´eaire.

Changements pr´ edits : intervalles de confiance.

I Trois m´ethodes principales.

1. Matrice variance-covariance des param`etres.

2. Estimation d’une version ´equivalente du mod`ele. 3. StatistiqueFpour tester une restriction lin´eaire.

Changements pr´ edits : intervalles de confiance.

I Trois m´ethodes principales.

1. Matrice variance-covariance des param`etres.

2. Estimation d’une version ´equivalente du mod`ele.

3. StatistiqueFpour tester une restriction lin´eaire.

Changements pr´ edits : intervalles de confiance.

I Trois m´ethodes principales.

1. Matrice variance-covariance des param`etres.

2. Estimation d’une version ´equivalente du mod`ele.

3. StatistiqueFpour tester une restriction lin´eaire.

Matrice variance-covariance des param` etres

I Le changement peut ˆetre exprim´e comme une fonction lin´eaire des param`etres du mod`ele.

∆ ˆY

∆X1

=δ⁰β,ˆ

δ : vecteur de constantes de dimensions (k+ 1)×1.

I Dans l’exemple de la section pr´ec´edente :

∆ ˆY

∆X1

= [0, 1, 0, X21]









 βˆ0

βˆ₁ βˆ₂ βˆ3









 .

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σ_βˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ⁰βˆ

= Var δ⁰

βˆ−β

= E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

=δ⁰Σβˆδ

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σ_βˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ⁰βˆ

= Var δ⁰

βˆ−β

= E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

=δ⁰Σβˆδ

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σ_βˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ⁰βˆ

= Var δ⁰

βˆ−β

= E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

=δ⁰Σβˆδ

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σ_βˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ⁰βˆ

= Var δ⁰

βˆ−β

= E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

=δ⁰Σβˆδ

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σ_βˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ⁰βˆ

= Var δ⁰

βˆ−β

= E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

=δ⁰Σβˆδ

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I Nous avons :

E βˆ−β

= 0, E

βˆ−β βˆ−β0

= Σ_βˆ.

I Appliquant nos r`egles de base : Var

δ⁰βˆ

= Var δ⁰

βˆ−β

= E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β 0

δ

=δ⁰Σβˆδ

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I L’´ecart type associ´e `a notre pr´evision est SE

∆X1δ⁰βˆ

= ∆X1

q δ⁰Σˆβˆδ,

I Nous avons remplac´e Σ_βˆ par un estimateur convergent.

I Nous avons

∆ ˆY = ∆X₁δ⁰βˆ±z∆X₁ q

δ⁰Σˆ_βˆδ, z >0 o`u

Φ (−z) = (1−X)/2.

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I L’´ecart type associ´e `a notre pr´evision est SE

∆X1δ⁰βˆ

= ∆X1

q δ⁰Σˆβˆδ,

I Nous avons remplac´e Σ_βˆ par un estimateur convergent.

I Nous avons

∆ ˆY = ∆X₁δ⁰βˆ±z∆X₁ q

δ⁰Σˆ_βˆδ, z >0 o`u

Φ (−z) = (1−X)/2.

Matrice variance-covariance des param` etres (suite)

I L’´ecart type associ´e `a notre pr´evision est SE

∆X1δ⁰βˆ

= ∆X1

q δ⁰Σˆβˆδ,

I Nous avons remplac´e Σ_βˆ par un estimateur convergent.

I Nous avons

∆ ˆY = ∆X₁δ⁰βˆ±z∆X₁ q

δ⁰Σˆ_βˆδ, z >0 o`u

Φ (−z) = (1−X)/2.

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele

I Dans le cas de l’exemple :

Yi =β0+ (β1+β3X21)X1i+β2X2i+β3(X1iX2i−X21X1i) +ui

≡β0+γ1X1i+β2X2i +β3Zi+ui

I L’estimation du mod`ele transform´e nous donne ˆγ1 et son ´ecart type, et nous pouvons facilement ´ecrire l’intervalle de

confiance pour la pr´ediction.

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele

I Dans le cas de l’exemple :

Yi =β0+ (β1+β3X21)X1i+β2X2i+β3(X1iX2i−X21X1i) +ui

≡β0+γ1X1i+β2X2i +β3Zi +ui

I L’estimation du mod`ele transform´e nous donne ˆγ1 et son ´ecart type, et nous pouvons facilement ´ecrire l’intervalle de

confiance pour la pr´ediction.

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele

I Dans le cas de l’exemple :

Yi =β0+ (β1+β3X21)X1i+β2X2i+β3(X1iX2i−X21X1i) +ui

≡β0+γ1X1i+β2X2i +β3Zi +ui

I L’estimation du mod`ele transform´e nous donne ˆγ1 et son ´ecart type, et nous pouvons facilement ´ecrire l’intervalle de

confiance pour la pr´ediction.

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele (suite)

I Dans le cas g´en´eral on peut ´ecrire la combinaison lin´eaire de coefficients pour laquelle on veut calculer l’´ecart type sous la forme

δ⁰β=δ0+δ1β1+δ2β2+. . .+δkβk.

I Ceci donne δ⁰β

δ₁ = δ0

δ₁ +β1+ δ2

δ₁β2+. . .+δk

δ₁βk

I Le mod`ele transform´e devient Y_i =β₀−δ₀

δ1

X_1i + δ₀

δ1

+β₁+δ₂ δ1

β₂+. . .+δ_k δ1

β_k

X_1i

+β2

X_2i −δ2

δ₁X_1i

+. . .+β_k

X_ki− δ_k δ₁X_1i

+u_i.

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele (suite)

I Dans le cas g´en´eral on peut ´ecrire la combinaison lin´eaire de coefficients pour laquelle on veut calculer l’´ecart type sous la forme

δ⁰β=δ0+δ1β1+δ2β2+. . .+δkβk.

I Ceci donne δ⁰β

δ₁ = δ0

δ₁ +β1+ δ2

δ₁β2+. . .+δk

δ₁β_k

I Le mod`ele transform´e devient Y_i =β₀−δ₀

δ1

X_1i + δ₀

δ1

+β₁+δ₂ δ1

β₂+. . .+δ_k δ1

β_k

X_1i

+β2

X_2i −δ2

δ₁X_1i

+. . .+β_k

X_ki− δ_k δ₁X_1i

+u_i.

Estimation d’une version ´ equivalente du mod` ele (suite)

I Dans le cas g´en´eral on peut ´ecrire la combinaison lin´eaire de coefficients pour laquelle on veut calculer l’´ecart type sous la forme

δ⁰β=δ0+δ1β1+δ2β2+. . .+δkβk.

I Ceci donne δ⁰β

δ₁ = δ0

δ₁ +β1+ δ2

δ₁β2+. . .+δk

δ₁β_k

I Le mod`ele transform´e devient Y_i =β₀−δ₀

δ1

X_1i + δ₀

δ1

+β₁+δ₂ δ1

β₂+. . .+δ_k δ1

β_k

X_1i

+β2

X_2i −δ2

δ₁X_1i

+. . .+β_k

X_ki−δ_k δ₁X_1i

+u_i.