TD n°6 : Physique des plasmas (session du 21/10/10)
Exercice 1 :
Loi de Saha et taux d’ionisation
Dans un plasma à l’équilibre thermodynamique (particules et radiation) le taux d’ionisation du gaz est décrit par l’équation de Saha. Pour un plasma d’hydrogène, le taux d’ionisation
n n n
y= ni = e (avec n=ni +n0 et n0 est la densité de neutres) en fonction de la température T est donné par :
−
=
− h k T
T k m n y y
B H B
e χ
π exp
1 2 1
2 / 3 2 2
Avec h la constante de Planck et χH l’énergie d’ionisation de l’hydrogène.
Représenter graphiquement le taux d’ionisation en fonction de la température pour trois densités n=1016,1019,1020m−3 ? Pour ces trois valeurs de densité, à quelle température T on a y =1/2 ?
Correction :
La loi de Saha décrit le taux d’ionisation d’un plasma à l’équilibre thermodynamique et s’exprime comme :
−
=
− h k T
T k m n y y
B H B
e χ
π exp
1 2 1
2 / 3 2 2
Afin d’obtenir le taux d’ionisation, on peut résoudre cette l’équation polynomiale suivante :
2 0 4
1
2 2
2 a a a
y a
ay y y a
y = ⇔ + − = ⇒ − ± +
−
Où 1 2 3/2exp 0
2 >
−
=
T k h
T k m a n
B H B
e χ
π
On obtient deux solutions. On note que le taux d’ionisation est compris entre 0 et 1. Ce qui restreint les solutions. L’expression du taux d’ionisation sous sa forme la plus abordable est :
2
2 4 a a y−a+ +
La solution analytique à ce problème n’est pas possible. On adopte donc une résolution numérique. Les valeurs sont données dans le tableau suivant :
n [m-3] 1016 1018 1020 T [K] 6000 7200 9000
On remarque ainsi qu’à une température de 1eV (11400 K), les trois cas considérés sont presque entièrement ionisés. C’est bien inférieur à l’énergie d’ionisation de l’Hydrogène.
En fait la loi de Saha est dérivée pour le cas où on n’a un équilibre, c'est-à-dire quand on autant d’atomes qui s’ionisent ou d’ions qui se recombinent pendant le même laps de temps. Ceci s’exprime comme :
〉
= 〈
〉
〈 ion e e rec e
n v n v
n σ σ
[ ]
m2σ correspond à la section efficace, ne
[ ]
m−3 à la densité d’électrons et v[ ]
m/s à leurvitesse. Le produit 〈σv〉 représente en quelque sorte la probabilité de passer un état à un autre par unité de temps. En élevant la température, la probabilité d’ionisation est plus élevée que celle de la recombinaison.
Ceci explique donc le fait que l’on ait bien une température de transition inférieure à l’énergie d’ionisation pour les différentes densités.
En augmentant la densité, on augmente aussi la probabilité pour un électron de rencontrer un ion et donc se recombiner. Ainsi, plus on aura un plasma dense et plus la température devra être élevée afin de totalement l’ioniser.
Exercice 2 :
Compression isentropique d’une cible Deutérium-Tritium
En fusion inertielle, on compresse des cibles remplies de DT à des densités 1000 fois supérieures à la densité du solide soit 0.25 g/cm3. En supposant une compression isentropique et que le combustible DT reste à 0 K, déterminer l’énergie interne massique pour compresser le fusible. Comparer cette énergie à l’énergie massique nécessaire pour comprimer isentropiquement le combustible à la même densité en supposant que le combustible est un gaz parfait idéal.
Correction : voir cours équations d’état
