Étude de modèles de transmission de la Schistosomiase : analyse mathématique, reconstruction des variables d'état et estimation des paramètres

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Submitted on 12 Jul 2013

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Étude de modèles de transmission de la Schistosomiase : analyse mathématique, reconstruction des variables

d’état et estimation des paramètres

Léna Tendeng

To cite this version:

Léna Tendeng. Étude de modèles de transmission de la Schistosomiase : analyse mathématique, reconstruction des variables d’état et estimation des paramètres. Systèmes dynamiques [math.DS].

Université de Lorraine, 2013. Français. �NNT : 2013LORR0110�. �tel-01750098v2�

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Ecole Doctorale IAEM – Lorraine

Etude de modèles de transmission de la schistosomiase: Analyse mathématique,

reconstruction des variables d’état et estimation des paramètres.

Thèse de doctorat en cotutelle internationale Université de Lorraine/ Université Gaston Berger

Spécialité : Mathématiques

Soutenue le 23 Mai 2013 à Metz

Par

Ndéye Léna TENDENG

Devant le jury composé de :

1. Gauthier SALLET, directeur de thèse, Professeur université de Lorraine, Metz 2. Mary Teuw NIANE, co-directeur, Professeur université Gaston Berger

3. Abdou SENE, examinateur, Professeur université Gaston Berger 4. Bedr’Edine AINSEBA, rapporteur, Professeur université de Bordeaux 5. Aziz ALAOUI, rapporteur, Professeur université du Havre

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Etude de mod` eles de transmission de la Schistosomiase :

Analyse math´ ematique,

reconstruction des variables d’´ etat et estimation des param` etres.

L´ena TENDENG

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D´ edicace

Je d´edie cette th`ese aux deux hommes les plus importants de ma vie :

– mon p`ere Abdoulaye Y. TENDENG – Jacques RIERA

Ni saloul neur. Estoy muy agradecida...

i

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Remerciements

Je remercie vivement les professeurs Mary Teuw Niane de l’université Gaston Berger et Gauthier Sallet de L’université de Lorraine pour leur encadrement et leur dispo- nibilité durant toutes ces années. Merci aussi à l’ONG Espoir Pour La Santé et à son directeur Gilles Riveau.

Ce travail a re¸cu le financement de l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF), du programme AIRES-Sud (Appuis Intégrés pour le Renforcement des Equipes Scientifiques du Sud) et de l’INRIA à travers son programme UMMISCO. Je tiens donc à remercier ces organismes pour leur aide financière. Je remercie également les professeurs du LANI (Laboratoire d’Analyse Numérique et d’Informatique) parti- culièrement Mamadou Abdoul Diop, Khalifa Bodian, Abdou Sène et Mamadou Sy.

Un très grand merci à ma mère Bintou Manga pour le soutien sans faille qu’elle apporte à ses enfants. Merci pour tout ce que tu fais pour nous maman. Emite é poyi neur ♥.

A toi papa pour nous avoir pouss´e toujours plus loin et plus haut. Enily ´erobo djone.

Merci `a toi Jacques pour avoir toujours cru en moi. Gracias por todo padre...

A mon meilleur professeur de mathématiques du collège, Madické Yade pour ses cours et son amour des mathématiques. Djeuredjeuf Mr Yade.

Toute mon admiration `a l’ange gardien Khady Tendeng. Merci pour tous ces mots qui ont su me remonter le moral lors de mes voyages...

Merci `a toi Fatou Tendeng, ton mari et tes enfants Maguette et Mohammed Ndiaye.

Un clin d’oeil à l’agent très secret de la famille Safiétou Tendeng, son mari Ansou Badji et ses fillettes Tida (ou Tidds ?) et bébé khady (bé ké houm l’école filaye ? ouakène nouné ?). Je te dis juste ceci : Golf Alpha Papa Oscar Uniforme Romeo Oscar Uniforme Lima Echo Yankee Echo ! !

Une pensée à tante Khady Tendeng que la mort a très tôt arrachée à l’affection de la famille et à ses enfants.

ii Etude de mod`eles de la schistosomiase.

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A mes oncles Ibrahima Manga, Léon Bassène de Sédhiou, Idrissa Tendeng, Bécaye Tendeng et leur famille. A tante Ndéye Manga et grand mère Léna Bassène.

Merci aussi à Alain Bassène, Hector Tendeng, sa femme clémence Tendeng, tante Elisabeth et leurs enfants.

A toi grand-p`ere Ismaila Aty Manga, ne pense jamais que nous t’avons abandonn´e.

Nous ferons l’effort d’être plus présent désormais.

Je n’oublie pas le Duo Diène Ngom- Abdou Guiro mais aussi tous les doctorants du LANI de St-Louis dont Mouhamadou Diaby, Mamadou Diouf et particulièrement Mahé Ndao et Edwige Maléka.

A l’équipe MASAI de Metz : Bichara, Léontine, Josephine sans oublier le professeur Abderrahman Iggidr, Philippe Ada et Christel Wiemert. Un coucou à nos voisins

«m´ecanos»Aim´e Nyoungue et Edgar Dossou.

A Irama Diatta pour m’avoir accueillie pendant mes séjours à Paris. Merci à toi et

`

a ta cousine Nd´eye Fatou .

Au couple le plus gentil de Metz, Céline et Philippe Prunier, je réitère mes félicita- tions pour l’arrivée du petit Léopold.

A toi Raoul Ballester, pour ton grand coeur, les recettes top secrets et toutes ces petites folies qui me sortent un peu des maths (dire que j’ai surv´ecu `a tout ce flot de zik de Tupac !). Merci du fond du coeur...

A ma copine Fatoumata Sarr, son mari cheikh Tine et ses enfants, la princesse l´ena et la petite Mameboy.

A mes Ndar-Ndar Rama Tendeng et Collé Tendeng à qui je souhaite plein de succès

`

a l’universit´e. Courage Mamy dans ta recherche de stage et un grand coucou `a Pape, Nabou, Bakary Alain et Matar Tendeng.

A toi Fama Tendeng, je renouvelle mes félicitations et te souhaite une bonne entrée au lycée. Yombé, re¸cois tout mon soutien pour cette année de préparation au bac- calauréat. Mbi djiakène.

Last but not least, merci à mon ordiEurêka avec qui j’ai travaillé avec beaucoup de plaisir. Prêt pour d’autres défis ?

iii Etude de mod`eles de la schistosomiase.

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R´ esum´ e

L’objectif de cette thèse est l’analyse mathématique et l’estimation des para- mètres de modèles de métapopulation de la bilharziose. A partir du modèle de base de Macdonald, nous expliquons en détail comment ces modèles sont construits. Nous faisons leur analyse mathématique complète à partir du calcul du nombre de reproduction de base R₀. Nous montrons que si R₀ ≤ 1 alors l’équilibre sans maladie est globalement asymptotiquement stable. Dans le cas où R₀ > 1 nous montrons l’existence et l’unicité de l’équilibre endémique et prouvons ensuite que ce dernier est globalement asyptotiquement stable.

La plupart des variables et paramètres de modèles mathématiques étant inconnus, nous proposons, dans notre travail, des méthodes de calibration par les observateurs : la méthode du Moving Horizon State Estimation ou MHSE et celle de l’observateur grand gain. Une application de ces deux méthodes sera faite sur le modèle de transmission de la bilharziose de Macdonald .

Mots clés : épidémiologie, système dynamique, métapopulation, nombre de reproduction de base, stabilité globale, observateurs, simulations numériques.

Abstract

The aim of this thesis is the mathematical analysis and the estimation of the parameters of some metapopulation models for bilharzia transmission. We explain how the metapopulation models are built and give a full analysis of their stability.

We compute the basic reproduction number R₀. We show that if R₀ ≤1 then the Disease Free Equilibrium (DFE) is globally asymptotically stable. In case R₀ > 1, we demonstrate the existence and the uniqueness of an endemic equilibrium which is globally asymptotically stable.

At last, we suggest methods for the estimation of the states and the parameters for models. We build a numerical observer using the Moving Horizon State Estimation (MHSE) and an analytic one by the High Gain observer method. Applications of iv Etude de mod`eles de la schistosomiase.

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these methods will be done on the Macdonald transmission model of bilharzia.

Keywords : epidemiology, dynamical system, metapopulation, basic reproduction number, global stability, observers, numerical simulations.

v Etude de mod`eles de la schistosomiase.

(10)

vi Etude de mod`eles de la schistosomiase.

(11)

Table des mati` eres

D´edicace i

Remerciements ii

R´esum´e iv

Abstract iv

I Epid´emiologie de la schistosomiase et rappels math´e-

matiques 5

1 Epid´emiologie de la schistosomiase 7

1.1 Cycle de transmission de la schistosomiase . . . . 9

1.2 Symptômes, conséquences sur la santé et traitement de la schistosomiase 12 1.2.1 Les symptômes . . . . 12

1.2.2 Complications li´ees aux bilharzioses . . . . 13

1.2.3 Traitement des schistosomiases . . . . 14

1.3 La schistosomiase, pathologie oubli´ee ? . . . . 14

1.3.1 L’OMS et les bilharzioses . . . . 14

1.3.2 La bilharziose sur la vallée du fleuve Sénégal . . . . 14

1.3.3 Les politiques de sant´e publique et leurs limites . . . . 15

1.4 Conclusion . . . . 16 vii

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TABLE DES MATI `ERES

2 Rappels de quelques notions et r´esultats math´ematiques 17

2.1 Introduction . . . . 17

2.2 Propriétés et stabilité des points d’équilibre d’un modèle . . . . 17

2.2.1 Ensemble invariant . . . . 18

2.2.2 Attractivit´e . . . . 18

2.2.3 Stabilit´e . . . . 19

2.3 Les matrices de Metzler . . . . 21

2.3.1 Propriétés dynamiques et caractérisations des matrices de Metzler . . . . 21

2.3.2 Compl´ements sur les matrices de Metzler irr´eductibles . . . . 23

2.4 Conclusion . . . . 24

II Des modèles de métapopulation de la transmission de la bilharziose 25 3 Extension du modèle de Macdonald sur plusieurs patchs : Construc- tion du modèle et étude de ses propriétés 27 3.1 Introduction . . . . 27

3.2 Rappel du mod`ele de Macdonald . . . . 28

3.3 Qu’est ce qu’une m´etapopulation ? . . . . 29

3.3.1 D´efinition . . . . 29

3.3.2 Propriétés d’une métapopulation . . . . 30

3.4 Construction du mod`ele de Macdonald sur plusieurs patchs . . . . 30

3.5 Propriétés élémentaires du modèle généralisé de Macdonald . . . . 33

3.6 Stabilité du modèle généralisé de Macdonald . . . . 35

3.7 Simulations num´eriques. . . . 36

4 Un modèle de métapopulation avec classes d’âge 41 4.1 Introduction . . . . 41

4.2 Le modèle et ses propriétés . . . . 42 viii Etude de modèles de la schistosomiase.

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4.2.1 Description du mod`ele . . . . 42

4.2.2 Propriétés du modèle . . . . 44

4.3 Expression du nombre de reproduction de base . . . . 45

4.4 Stabilit´e globale du point d’´equilibre sans maladie . . . . 46

4.4.1 Stabilit´e quand R₀ <1 . . . . 47

4.4.2 Stabilit´e dans le cas o`u R₀ = 1 . . . . 48

4.5 Etude de l’existence et de la stabilité de l’équilibre endémique . . . . 50

4.6 Stabilité de l’équilibre endémique . . . . 53

III Estimation des variables d’état et des paramètres d’un modèle : méthode des observateurs 57 5 Observabilité, Identifiabilité et exemple d’observateurs 59 5.1 Introduction . . . . 59

5.2 Observabilit´e, identifiabilit´e et observateur . . . . 60

5.2.1 D´efinitions . . . . 60

5.2.2 L’identifiabilité est un problème d’observabilité . . . . 62

5.2.3 Crit`ere d’observabilit´e . . . . 62

5.3 Un exemple d’observateurs : les observateurs grand gain . . . . 64

5.4 La m´ethode du Moving Horizon State Estimation (MHSE) . . . . 76

5.4.1 Le probl`eme . . . . 76

5.4.2 Principe du MHSE . . . . 76

6 Applications au mod`ele de Macdonald 79 6.1 Introduction . . . . 79

6.2 Observabilité et identifiabilité du modèle de Macdonald . . . . 80

6.3 Observateur grand gain pour le mod`ele de Macdonald . . . . 85

6.3.1 Param`etres connus, estimation de l’´etat . . . . 85

6.3.2 Estimation à la fois de l’état et des paramètres. . . . 87 ix Etude de modèles de la schistosomiase.

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6.3.3 Simulations num´eriques . . . . 90

6.4 Un observateur du modèle de Macdonald par la méthode du MHSE . 92 6.4.1 Identification des paramètres. . . . 92

6.4.2 Estimation des variables d’´etat . . . . 92

6.5 Comparaison entre MHSE et grand gain . . . . 94

x

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Table des figures

1.1 carte bilharziose . . . . 8

1.2 cycle de transmission . . . . 9

1.3 oeuf S.haematobium . . . . 10

1.4 miracidium . . . . 10

1.5 mollusques . . . . 10

1.6 furcocercaire . . . . 11

1.7 schistosomes . . . . 12

3.1 Simulation de 8 patchs et 3 points d’eau . . . . 37

3.2 Simulation d’un mois de traitement au PZQ . . . . 38

5.1 observateur . . . . 62

6.1 Les courbes ˙w= 0 et ˙y = 0 . . . . 84

6.2 Les courbes ˙w= 0 et ˙y = 0 . . . . 84

6.3 estimation de w avec la m´ethode spline . . . . 90

6.4 estimation de y avec la m´ethode spline . . . . 90

6.5 estimation de w avec la m´ethode nearest . . . . 91

6.6 estimation de y avec la m´ethode nearest . . . . 91

6.7 estimation de w avec la m´ethode linear . . . . 91

6.8 estimation de y avec la m´ethode linear . . . . 91

6.9 estimation de w avec la m´ethode MHSE. . . . . 93

6.10 estimation de y avec MHSE. . . . . 93

6.11 estimation de w avec la m´ethode grand gain en l’absence de bruit. . . 94 xi

(16)

TABLE DES FIGURES

6.12 estimation de w avec la m´ethode du MHSE en l’absence de bruit. . . 94

6.13 estimation de y avec la m´ethode grand gain en l’absence de bruit. . . 95

6.14 estimation de y avec MHSE en l’absence de bruit. . . . . 95

6.15 estimation de w avec la m´ethode MHSE en pr´esence de bruit. . . . . 95

6.16 estimation de w avec grand gain en pr´esence de bruit. . . . . 95

6.17 estimation de y avec la m´ethode MHSE en pr´esence de bruit. . . . . . 96

6.18 estimation de y avec grand gain en pr´esence de bruit. . . . . 96

xii

(17)

Introduction g´ en´ erale

«La meilleure fa¸con de pr´edire l’avenir, c’est de le cr´eer.» Peter F.Drucker

«On a bien fait des applications des mathématiques à la biologie. Il y a en premier lieu, les recherches sur les questions physiologiques relatives aux sens, à la circulation du sang, au mouvement des animaux que l’on peut regarder comme des chapitres de l’optique, de l’acoustique, de l’hydrodynamique, de la mécanique des corps solides et qui, par suite, n’ont pas donné lieu à la constitution de méthodes nouvelles en dehors du domaine de la physique mathématique classique»écrivait le mathématicien physicien Vito Volterra dans l’introduction de son livre«Le¸cons sur la théorie mathématiques de la lutte pour la vie» paru en 1931.

Ainsi, si le lien entre mathématiques et biologie date de plusieurs années avec notamment le développement de plusieurs modèles mathématiques pour la biologie entre les années 1900 et 1935, nous retiendrons que la modélisation mathématique en général est multiséculaire.

En effet, des séries de modèles mathématiques ont été con¸cues par des mathéma- ticiens et des astronomes grecs bien avant le Vê siecle av. J.-C afin d’expliquer les phénomènes célestes. Ces modèles ont réussi à rendre compte de plusieurs phéno- mènes et de leur trouver une explication : causes des éclipses de la lune ou du soleil, détermination très précise des dimensions de la terre (IIIê siecle avant J.C) par Era- tosthène sans oublier le fameux modèle de Ptolémée sur le géocentrisme et qui sera remplacé plus tard (au 16e siècle) par le modèle de Copernic ou modèle de l’hélio-

1

(18)

TABLE DES FIGURES

centrisme.

Les modèles mathématiques avaient donc fini de faire leurs preuves dans des domaines comme l’astronomie, la physique et même l’économie car ils sont présents dans tous les secteurs de la finance moderne : gestion de portefeuille, évaluation des produits dérivés, normes de contrôle et de gestion des risques etc. Ces modèles se retrouvent de plus en plus dans des domaines jusqu’alors insoup¸connés comme la biologie ou l’épidémiologie.

Les premières contributions des mathématiques en épidémiologie remontent à 1760 avec le modèle de la variole de Bernouilli suivi des travaux de P.D.Enk’o entre 1873 et 1894. Les modèles compartimentaux feront leur apparition grâce à des médecins comme Sir Donald Ross, W.H.Hamer, A.G.McKendrick et W.O.Kermack entre 1900 et 1935. Ronald Ross qui peut être considéré comme le fondateur de ce type de modé- lisation a re¸cu le prix nobel de médecine en 1902 pour avoir montré que le paludisme

était transmis par les anophèles. Bien que son travail ait eu une reconnaissance im- médiate dans la communauté médicale, ses conclusions que le paludisme pouvait être contrôlé par une lutte contre les moustiques furent contestées. Ses détracteurs considéraient qu’il était impossible de débarrasser une région de toute sa population d’anophèles et que dans tous les cas les moustiques envahiraient de nouveau la ré- gion. C’est ainsi que Ross construit le premier modèle de transmission du paludisme en 1911 en utilisant des équations différentielles. L’étude du modèle lui permit de conclure qu’il n’était pas nécessaire d’éliminer tous les anophèles pour éradiquer le paludisme mais qu’il fallait simplement faire baisser la population des anophèles en dessous d’un certain seuil critique.

Si les premiers modèles mathématiques en épidémiologie ont été con¸cus par des mé- decins, les mathématiciens de nos jours intègrent de plus en plus des équipes de recherches interdisciplinaires pour développer des modèles sur plusieurs pathologies telles le VIH, le cancer, les hépatites, la méningite sans oublier les maladies tropicales comme le paludisme ou comme dans le cas qui nous intéresse, la bilharziose.

En partant des faits suivants :

– Un modèle mathématique est la traduction d’un phénomène dans le but de 2

(19)

TABLE DES FIGURES

lui appliquer les outils, les techniques et théories mathématiques et, en retour, la traduction des résultats mathématiques obtenus pour mieux comprendre le phénomène et même parfois faire des prévisions.

– Un modèle mathématique n’est ni parfait ni totalement représentatif de la réalité.

Il est alors important de savoir répondre à cette question cruciale : est-ce que le modèle construit est «bon»? En d’autres termes, est-ce que le modèle permet de reconstruire la réalité ? Pour répondre à une telle question, des études sont faites sur le modèle : analyse mathématique pour connaˆıtre les propriétés du modèle, calibration du modèle c’est à dire la reconstruction des états et des paramètres du modèle et enfin la validation du modèle ou reconstruction des données réelles à partir du modèle. C’est ce que nous tenterons au mieux de faire dans notre travail. Ce dernier est fait en collaboration avec l’ONG sénégalaise Espoir Pour La Santé (EPLS) qui s’intéresse à la lutte contre la bilharziose et le paludisme sur la vallée du fleuve Sé- négal. EPLS a participé à la recherche pré-clinique établie avec L’INSERM (Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale) et l’Institut Pasteur de Lille pour la formulation du premier candidat vaccin contre la bilharziose, candidat appelé Bilhvax. La collaboration entre l’INSERM, l’Institut Pasteur et EPLS a permis de réaliser les phases 1 et 2 des essais cliniques sur Bilhvax ; la phase 3 ou dernière phase étant toujours en cours de tests.

Dans la première partie de ce travail, nous parlerons, dans un premier temps, de la bilharziose dans toute sa complexité. Cela permettra de comprendre pourquoi l’inté- rêt pour une telle maladie et comprendre aussi comment est faite la modélisation de cette parasitose. Ensuite, dans le second chapitre, nous ferons un rappel de notions mathématiques utilisées tout le long de notre travail.

La deuxième partie portera sur des modèles de métapopulation de la bilharziose.

Le chapitre 3 de cette partie concerne un premier modèle de métapopulation sur la transmission de la bilharziose. Le modèle y est entièrement décrit et son étude mathématique faite dans le chapitre 4. Une étude détaillée et globale d’un second modèle de métapopulation avec classes d’âge sera proposé dans le chapitre 4.

3 Etude de mod`eles de la schistosomiase.

(20)

TABLE DES FIGURES

Les chapitres 5 et 6 de la troisième et dernière partie traitent de la calibration de modèles de la bilharziose. Nous proposons deux méthodes de calibration dans le chapitre 5 : la méthode du Moving Horizon State Estimation (MHSE) et la méthode de l’observateur grand gain. Ces deux méthodes seront appliquées au modèle de Macdonald dans le chapitre 6.

4

(21)

Premi` ere partie

Epid´ emiologie de la schistosomiase et rappels math´ ematiques

5

(22)

(23)

Chapitre 1

Epid´ emiologie de la schistosomiase

«Conséquences économiques de la morbidité et de la mortalité des infections liées à l’eau : 38% de réduction du PNB des pays africains.» OMS

Introduction

La première partie de notre travail est essentiellement composée de rappels : rappel sur l’histoire et l’épidémiologie de la schistosomiase et rappel de techniques et résultats mathématiques utilisés dans l’étude de modèles sur la schistosomiase.

Seconde endémie mondiale après le paludisme, la schistosomiase encore appelée bilharziose est une maladie chronique et débilitante, endémique dans 74 pays. Un des parasites responsables de la maladie, Schistosoma haematobium, a été découvert en 1851 par le parasitologiste allemand Théodore Bilharz, d’où le nom de la maladie.

Elle touche plus de 200 millions de personnes en zone rurale ou périurbaine dont 120 millions présentent les symptômes de la maladie et 20 millions doivent faire face à des conséquences graves. Dans de nombreuses régions, une grande proportion d’enfants de moins de 14 ans sont infectés. On estime que, dans le monde, 650 millions de personnes vivent en zone d’endémie.

7

(24)

On estime par ailleurs que 85% des infections sont localis´ees en Afrique sub-saharienne.

Le genre schistosoma comporte 18 esp`eces dont 5 sont pathog`enes pour l’homme :

• le Schistosoma Mansoni : il est responsable d’une forme de bilharziose intestinale que l’on trouve en Afrique et aux Antilles.

• le Schistosoma Haematobium : il est présent en Afrique, en Inde et dans la péninsule arabique et est à l’origine de la bilharziose urogénitale.

• le Schistosoma Intercalum se retrouve essentiellement en Afrique centrale et occasionne la bilharziose rectale et g´enitale.

• le Schistosoma Japonicum que l’on rencontre en Chine, au Japon et en Tha¨ı- lande qui est `a l’origine de la bilharziose intestinale avec des complications art´erio-veineuses.

• le Schistosoma Mekongi qui entraine les mˆeme cons´equences que le Schistosoma Japonicum et que l’on retrouve aussi au Japon, en Chine et en Tha¨ılande.

Figure 1.1 – carte bilharziose

Dans ce chapitre, nous rappellerons le mode de transmission de la bilharziose pour 8

(25)

CHAPITRE 1. EPID ´EMIOLOGIE DE LA SCHISTOSOMIASE

une meilleure compréhension de la fa¸con dont les modèles de transmission de la maladie sont écrits. Nous parlerons des conséquences de cette maladie sur la santé des individus sans oublier les politiques de santé publique mis en place pour la lutte contre cette parasitose.

1.1 Cycle de transmission de la schistosomiase

PAIRED ADULT WORMS

1 Parasitic eggs in fresh water.

2 Larvae called miracidiae hatch from the eggs then seek out certain species of snails.

3 Infecting the snails, the miracidiae multiply, producing larvae called cercariae.

4 Released into

the water, the cercariae penetrate human skin, transforming into larvae called schistosomulae.

5 The schistoso-

mulae mature into worms in the blood supply of the liver, intestines, and bladder.

6 The worms

lay thousands of eggs that cause damage as they work through tissues.

7 The eggs,

released into the water in urine or feces, restart the cycle.

LIVER

INTESTINE

BLADDER CERCARIA

MIRACIDIA

SCHISTOSOMULUM Contaminated Fresh Water

The Life Cycle of Schistosomiasis

The Carter Center/Graphic by Al Granberg FEMALE

ANDMALE WORMPAIR

LUNG

1 2 3 4

5

7

6 EGGS IN

THE TISSUES Schistosomiasis affects more than 200 million people worldwide. The

parasitic larvae live in fresh water and can penetrate human skin, placing people at risk through everyday activities such as washing laundry or fetching water. Inside the victim's body, adult female worms lay thousands of eggs that cause significant damage to internal organs, most commonly from scarring the intestines, bladder, kidneys, liver, or lungs. Children suffer the most from schistosomiasis, which causes poor growth and impaired cognitive function. The disease is completely preventable and can be controlled through an annual inexpensive drug treatment, health education, and access to safe water and sanitation.

Figure 1.2 – cycle de transmission

Quand des oeufs de schistosomes (figure 1.2) excrétés par un individu malade se retrouvent dans la nature, ils restent viables au delà de 7 jours. En contact avec de l’eau douce, les oeufs éclosent et libèrent une forme larvaire appelé miracidium (figure 1.3).

(26)

1.1. CYCLE DE TRANSMISSION DE LA SCHISTOSOMIASE

Figure 1.3 – oeuf S.haematobium Figure 1.4 – miracidium Ce dernier cherche un mollusque d’eau douce (ceci grâce à la lumière et à des procédés chimiques) et s’y loge. Le mollusque ou hôte intermédiaire diffère d’une forme de bilharziose à une autre (bulinus pour S.haematobium et biophalaria pour S.mansoni).

Au sein du mollusque (figure1.4), le miracidium se multiplie de fa¸con asexu´ee en des larves appel´ees sporocystes.

Bulinus

Biomphalaria

Figure 1.5 – mollusques

Les sporocystes, après maturité, deviennent des furcocercaires (cercaires à queue 10

(27)

fourchue voir figure 1.5) et le mollusque les libère 4 à 6 semaines après qu’il a été infesté.

Un mollusque infest´e par un seul miracidium peut relˆacher des milliers de furcocercaires par jour et ceci pendant plusieurs mois. Ces derniers restent viables 72h voire plus dans l’eau.

Figure 1.6 – furcocercaire

La pénétration de la furcocercaire chez l’hôte définitif se fait par voie transcutannée lors de périodes de baignades par exemple en eau douce et stagnante. Deux à quatre jours après avoir infesté un homme, le furcocercaire qui a subi des modifications morphologiques et biochimiques (notamment la perte de sa queue) se transforme en schistosomule. Ce dernier quitte le derme, gagne la lumière d’un vaisseau lym- phatique ou sanguin puis arrive au coeur et aux poumons où il séjourne quelques jours. Il quittera les poumons pour regagner le système circulatoire péri-hépatique où il se différencie en schistosome adulte mâle ou femelle sexuellement mûr (figure 1.6). La femelle atteint sa maturité sexuelle dès lors qu’elle se loge dans le canal gynécophore du mâle. Le couple migre alors dans le lieu de ponte (plexus mésenté- rique pour S.mansoni) où il se localise définitivement. La femelle pondra des oeufs 11 Etude de modèles de la schistosomiase.

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1.2. SYMPT ÔMES, CONS ÉQUENCES SUR LA SANT É ET TRAITEMENT DE LA SCHISTOSOMIASE

en continu (jusqu’à 300 oeufs par jours pour S.mansoni et 400 pour S.haematobium) pendant toute la durée de vie du couple qui varie entre 3 et 5 ans en moyenne mais qui excède parfois 30 ans. Une partie des oeufs produits reste piégée dans les tissus et est responsable de la maladie. L’autre partie des oeufs est excrétée dans les selles ou les urines et se retrouve ainsi dans le milieu extérieur.

Figure 1.7 – schistosomes

1.2 Symptˆ omes, cons´ equences sur la sant´ e et trai- tement de la schistosomiase

1.2.1 Les symptˆomes

Pendant la phase dite d’invasion qui débute 2 à 6 semaines après la pénétration du parasite dans l’organisme, les symptômes peuvent être inapparents. Dans le cas contraire, ils se traduisent par des réactions de type allergique avec une fièvre modé- rée, des sueurs nocturnes, des céphalées, des douleurs musculaires etc. Dans certains cas une augmentation du volume du foie et de celui de la rate est observée.

D’autres signes secondaires apparaissent quand les vers adultes produisent des oeufs.

C’est la phase dite d’´etat dont les symptˆomes varient selon la localisation des vers 12

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adultes. Nous ne nous int´eresserons qu’aux signes des bilharzioses urinaire et intestinale.

• la bilharziose urinaire commence par une inflammation de la vessie avec des douleurs lors de la miction et une h´ematurie (pr´esence de sang dans les urines).

• la bilharziose intestinale se manifeste par des douleurs abdominales, une hypertension dans les vaisseaux sanguins de l’abdomen, une dysenterie et très souvent une hépathomégalie.

Le diagnostic de bilharziose se fait par une analyse parasitologique qui permet de d´etecter les oeufs de schistosomes dans les selles et les urines.

1.2.2 Complications li´ees aux bilharzioses

Les conséquences des bilharzioses sur la santé sont dues à l’accumulation d’oeufs de shistosomes dans divers organes. A long terme, les complications peuvent être d’ordre :

• cardiaque et pulmonaire : hypertension art´erielle et pulmonaire, insuffisance du ventricule droit ;

• canc´erologique : cancer de la vessie ou du cˆolon ;

• neurologique : hypertension intracrânienne (augmentation de la pression à l’in- térieur du crâne), crises convulsives etc.

On peut également observer d’autres complications comme un rétrécissement des urètres avec des conséquences possibles sur les reins (insuffisance rénale), une inflammation des trompes chez la femme et même des conséquences irréversibles comme la stérilité.

Cette maladie a des répercussions économiques et sanitaires considérables. Chez l’enfant, elle peut causer une anémie, un retard de croissance, une diminution des capacités d’apprentissage. Dans sa forme chronique, elle peut nuire à la capacité d’un adulte à travailler et même entraˆıner la mort. En Afrique subsaharienne, elle provoque plus de 200 000 décès par an.

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1.3. LA SCHISTOSOMIASE, PATHOLOGIE OUBLI ´EE ?

1.2.3 Traitement des schistosomiases

Le seul traitement contre la bilharziose est le praziquantel, un antiparasitaire uti- lisé contre l’ensemble des bilharzioses humaines. Il est efficace, simple à administrer, peu coûteux et généralement bien toléré.

1.3 La schistosomiase, pathologie oubli´ ee ?

1.3.1 L’OMS et les bilharzioses

Dans son aide m´emoire n°115 de Janvier 2012, l’OMS rappelle que chaque ann´ee plus de 230 millions d’individus ont besoin d’un traitement contre la schistosomiase.

Le nombre de personnes traitées contre la bilharziose est passée de 12,4 millions en 2006 à 33,5 millions en 2010. D’après l’OMS toujours, moins de 14% des individus ayant besoin du praziquantel, le seul médicament disponible contre toutes les formes de schistosomiase, en bénéficient. Ainsi près de 200 millions de malades dans le monde se retrouvent sans traitement.

L’OMS reconnaˆıt que la bilharziose est une maladie négligée puisque son action contre la schistosomiase entre dans le «cadre de l’approche intégrée pour lutter contre les maladies tropicales négligées».

L’Organisation Mondiale de la Santé axe sa stratégie de prévention et de lutte contre la schistosomiase sur le traitement au praziquentel, la lutte contre les gastropodes ou mollusques, l’éducation sanitaire et l’amélioration de l’assainissement.

1.3.2 La bilharziose sur la vallée du fleuve Sénégal

Le taux élevé de bilharziose dans le bassin du fleuve Sénégal est fortement lié à la construction d’infrastructures hydro-agricoles comme c’est le cas dans plusieurs régions en Afrique où sévit cette maladie.

Avant la construction des barrages de Diama et de Manantali au Nord du Sénègal, seule la présence de la bilharziose urinaire était observée avec une prévalence très faible. La construction des ces barrages et leur fonctionnement en 1986 et 1988 respectivement a fait baisser considérablement la salinité du fleuve sénégal. Du coup le

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niveau du fleuve est stabilisé et la faible salinité aidant, les cercaires ont proliféré dans cette zone. Dans le district de Podor, la présence de canaux d’irrigation qui a fait accroˆıtre les périmètres de culture de riz de 12.000 ha en 1983 à 67.788 ha en 1994, a favorisé l’apparition de nouveaux sites propices à l’émergence de mollusques entraˆı- nant le développement de la maladie. Ainsi, dans certains villages comme Aroundou, la prévalence en S.haematobium est passée de 6,8% avant la construction du barrage

`

a 50,5%, 2 ans apr`es le fonctionnement du barrage.

1.3.3 Les politiques de sant´e publique et leurs limites

Le ministère de la santé publique du Sénégal a initié en 2003 le Programme Nationale de Lutte contre les Bilharzioses (PNLB). Ce programme qui s’étendait de Mai à Juin 2003, avait pour objectif principal de détecter et d’évaluer la charge parasitaire en S.haematobium sur les enfants âgés de 9 à 14 ans sur toute l’étendue du territoire national.

Les stratégies majeures du PNLB étaient la réduction de la morbidité par le traitement en masse des communautés des zones de forte endémie et la prévention à travers l’Information, l’Education et la Communication (IEC). Les enfants scolarisés

´etaient la premi`ere cible de l’IEC.

En 2004, une enquête épidémiologique complémentaire à celle du PNLB est faite par l’ONG sénégalaise ESPOIR dans le district de Podor. Cette enquête nommée

«Podor 2004»avait aussi pour but de recueillir des donn´ees pour l’essai clinique des phases 2 et 3 de Bilhvax.

Malgré les efforts consentis dans le traitement de masse, la réinfection demeure un problème récurrent. L’étude«Podor 2004»a montré que 62,2% des enfants âgés de 9 à 14 ans qui avaient re¸cu un traitement au PZQ avec le PNLB se sont réinfectés un an après. De plus, les études faites dans la zone de Podor n’ont concerné que 50

´ecoles. Donc beaucoup d’enfants n’ont pas re¸cu de traitement contre la bilharziose.

Une politique de chimioprophylaxie est presque inexistante dans la vallée du fleuve Sénégal et le vaccin Bilhvax est toujours en phase d’essai.

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1.4. CONCLUSION

1.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le problème de la bilharziose dans toute sa grandeur. Nous avons rappelé le mode de transmission de cette maladie, la fa¸con dont elle se manifeste et ses conséquences chez l’homme. Parasitose longtemps négligée, des efforts sont entrain d’être faits dans certaines régions dans le but de la faire reculer .

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Chapitre 2

Rappels de quelques notions et r´ esultats math´ ematiques

2.1 Introduction

Dans l’étude de modèles épidémiologiques, il est important de savoir répondre aux questions suivantes : est-ce que le modèle proposé a un sens biologique ? Est-il possible de tirer de ce modèle des conditions pour lesquelles la maladie disparaˆıtra ? Est-ce qu’un équilibre existe pour cette maladie et quel est le comportement à long terme des solutions par rapport à cet équilibre ? etc.

La réponse à ces questions requiert la connaissance d’outils et de techniques ma- thématiques bien appropriés. Dans ce chapitre, nous donnerons les définitions de notions mathématiques utilisées tout le long de ce travail. Nous expliquerons l’inté- rêt d’étudier les propriétés d’un modèle épidémiologique et en quoi consiste l’analyse mathématique d’un tel modèle.

2.2 Propri´ et´ es et stabilit´ e des points d’´ equilibre d’un mod` ele

Dans les modèles épidémiologiques, les variables modélisées sont le plus souvent des quantités positives. Pour qu’un modèle épidémiologique soit valide (biologiquement parlant), il est donc important de vérifier que les quantités modélisées resteront positives pour tout tempst ≥0. Il est aussi nécessaire de s’assurer que les solutions

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2.2. PROPRI ÉT ÉS ET STABILIT É DES POINTS D’ ÉQUILIBRE D’UN MOD ÈLE

du mod`ele n’explosent pas c’est `a dire que les solutions ne tendent pas vers l’infini en temps fini.

Dans notre travail, nous choisirons de construire un ensembleK dans lequel évolue- ront les solutions de notre modèle. Pour montrer que ce dernier est biologiquement valide, nous montrerons queK est positivement invariant. L’attractivité deK prou- vera que les solutions du système étudié n’explosent pas en temps fini.

2.2.1 Ensemble invariant

Soit l’´equation diff´erentielle

˙

x=X(x), x∈Ω. (2.1)

On suppose que pour tout x ∈ Ω, cette ´equation admet une seule solution X_t(x) d´efinie pour tout t ∈R. Par simplification choisissons Ω =Rⁿ.

Un ensembleM ⊂Rⁿ est invariant siXt(x)∈M pour toutt∈R et tout x∈M. M est positivement invariant (respectivement n´egativement invariant) siX_t(x)∈M pour toutt∈R⁺ (respectivement,t ∈R⁻) et tout x∈M.

M_ipositivement invariant (respectivement n´egativement invariant) entraˆıne∪_iM_i, ∩_iM_i positivement invariants (respectivement n´egativement invariants).

Pour prouver qu’un ensemble est positivement invariant nous utilisons en général le théorème suivant dit théorème de la barrière.

Théorème 1 Soit H : Rⁿ ⇒ R une fonction différentiable, a ∈ R et ∇H(x) 6= 0 pour tout x∈H⁻¹(a) ={x∈Rⁿ :H(x) = a}. Soit

G={x∈Rⁿ :H(x)≤a}.

Si h∇H(x), X(x)i ≤ 0 pour tout t ∈H⁻¹(a), alors G est un ensemble positivement invariant pour le syst`eme (2.1).

2.2.2 Attractivit´e

Point d’équilibre :Un point ¯x∈Ω est un point d’équilibre pour le système (2.1) siX(¯x) = 0.