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TD: Machines `a compteurs : simulation des MT

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Academic year: 2022

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(1)

TD: Machines ` a compteurs : simulation des MT

D´ efinition informelle. Une machine ` a n compteurs (M`aCn) a plusieurs registres x

1

, x

2

,. . . , x

n

chacun capable de stocker un nombre naturel.

un programme - c’est un ensemble d’instructions de types suivants:

1. q: x + +; goto p 2. q: x − −; goto p

3. q:if x = 0 then goto p else goto r 4. q: stop

La tentative de calculer 0 − − produit une erreur. La configuration de la M` aCn est le n + 1-uplet (q,x

1

,x

2

, . . . ,x

n

) qui repr´esente l’´etiquette de l’instruc- tion courante et le contenu de tous les compteurs. On suppose que pour l’entr´ee x la machine d´emarre dans la configuration (init,x,0, . . . ,0) o` u “init” est une instruction particuli`ere, et qu’elle calcule jusqu’`a un stop . Le r´esultat de ce calcul est le contenu du registre x

1

apr`es l’arrˆet.

Le but de ce TD consiste ` a prouver l’ind´ecidabilit´e du probl`eme d’arrˆet pour les machines ` a 4 compteurs (et ´equivalence des M`aC4 aux MT)

1. Programmer une machine ` a 2 compteurs (M`aC2) qui calcule f (x) = x mod 2.

2. Simuler une pile (pour simplicit´e sur {0,1} ) par 2 compteurs:

– Comment repr´esenter le contenu de pile a

0

a

1

a

2

. . . par des valeurs de x

1

et x

2

?

– Quelle transformation de x

1

,x

2

correspond a l’op´eration Empiler(0)?

Programmer cette transformation sur la M`aC.

– Mˆeme question pour Empiler(1) – Mˆeme question pour D´epiler;

– Mˆeme question pour if Sommet=0 then goto p else goto r 3. Simuler 2 piles sur 4 compteurs

4. Prouver qu’une M` aC4 peut calculer chaque fonction r´ecursive partielle 5. Prouver que le probl`eme d’arrˆet est ind´ecidable pour les M`aC4

Questions subsidiaires

1. Prouver que le probl`eme d’arrˆet est ind´ecidable pour les M`aC2

2. Prouver que le probl`eme d’arrˆet est d´ecidable pour les M`aC1

Références

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