20 juin 2011 L3
Math´ematiques
STRUCTURES ALG ´EBRIQUES
Une r´eponse sans aucune justification sera consid´er´ee comme fausse.
Exercice 1.
a) D´ecomposer les permutations σ1, σ2 ∈S8 en un produit de cycles disjoints:
σ1 =
1 2 3 4 5 6 7 8
1 6 7 4 8 5 3 2
, σ2 =
1 2 3 4 5 6 7 8
6 5 8 4 7 1 3 2
. b) Calculer l’ordre et le signe de σ1, σ2.
c) Calculer σ20111 etσ19992 .
Exercice 2. On consid`ere l’anneau R[x].
a) Trouver un g´en´erateur de l’id´eal J engendr´e par les polynˆomes
x3+ 3x2+ 4x+ 2 et x4+ 2x3+ 3x2+ 2x+ 2 b) Donner explicitement un isomorphisme d’anneaux
R[x]
J −→C. Exercice 3.
a) Donner la d´efinition de morphisme et d’isomorphisme d’anneaux.
b) D´emontrer quea7→a+nZ est le seul morphisme d’anneaux Z−→ Z
nZ.
c) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur n et m pour l’existence d’un morphisme d’anneaux
Z
mZ −→ Z nZ.
Exercice 4. Soit A un anneau commutatif int`egre etI un id´eal de A. On pose
√I ={a∈A|an∈I, ∃n∈N\ {0}}.
a) D´emontrer queI est un id´eal deA.
b) Si A est factoriel et I est principal engendr´e par a, d´emontrer que √
I est principal et trouver explicitement un g´en´erateur.
c) SoitA=Z[i√
3] etI est l’id´eal principal engendr´e par 4(1 +i√
3). D´emontrer que√
I n’est pas principal.
d) Que peut-on en d´eduire sur l’anneauZ[i√ 3]?
