Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E4. 2007 2008
E4 Savoir démontrer qu'un point est un centre de symétrie.
N ° 8.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x3 − 3x² + 4x − 2.
Démontrons que le point I ( 1 ; 0 ) est un centre de symétrie de la courbe représentative C de f.
Soit x ∈ alors 1 + x ∈ et 1 − x ∈ et
f ( 1 − x ) + f ( 1 + x ) = ( 1 − x )3 − 3 ( 1 − x )² + 4 ( 1 − x ) − 2 + ( 1 + x )3 − 3 ( 1 + x )² + 4 ( 1 + x ) − 2
= ( 1 − x ) ( 1 − 2x + x² ) − 3 ( 1 − 2x + x² ) + 4 − 4x − 2 + ( 1 + x ) ( 1 + 2x + x² ) − 3 ( 1 + 2x + x² ) + 4 + 4x − 2
= 1 − 2x + x² − x + 2x² − x3 − 3 + 6x − 3x² + 4 − 4x − 2 + 1 + 2x + x² + x + 2x² + x3 − 3 − 6x − 3x² + 4 + 4x − 2 f ( 1 − x ) + f ( 1 + x ) = 0
Donc pour tout réel x, on a 2
) x 1 ( f ) x 1 (
f − + + = 0
cela signifie que C est symétrique par rapport au point I ( 1 ; 0 ) dans le repère ( O ;
→
i , →j ).
Autrement dit I est un centre de symétrie de la courbe C.
Trouvons la fonction g paire telle que dans un repère bien choisi, C admette pour équation y = g ( x ).
Soit I ( 1 ; 0 ).
Soit M ( x ; y ) un point de la courbe C dans le repère ( O ; Åi , Åj ).
Soit M ( x ' ; y ' ) le point de la courbe C dans le repère ( I ; Åi , Åj ).
Alors ÄOI = 1Åi + 0 Åj ; ÄOM = x Åi + y Åj et ÄIM = x ' Åi + y ' Åj . Or ÄOM = ÄOI + ÄIM = -1 Åi + x ' Åi + y ' Åj = x Åi + y Åj . Donc x = 1 + x ' et y = y '.
Or y = f ( x ) ⇔ y = x3 − 3x² + 4x − 2 ⇔ y ' = ( 1 + x ' )3 − 3 ( 1 + x ' )² + 4 ( 1 + x ' ) − 2
⇔ y ' = 1 + 2x ' + x ' ² + x ' + 2x ' ² + x ' 3 − 3 − 6x ' − 3x ' ² + 4 + 4x ' − 2 ⇔ y ' = x ' + x ' 3
Appelons g ( x ) = x3 + x Soit x ∈ alors - x ∈
et g ( - x ) = ( - x )3 + ( - x ) = - x3 − x = - ( x3 + x ).
Alors g est une fonction impaire et dans le repère ( I ,
→
i , →j ) et C admet pour équation y = g ( x ).
