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Submitted on 7 Mar 2018

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Effet d’un champ magnétique uniforme sur les

instabilités de Rayleigh–Bénard avec effet Soret.

Mokhtar Ben Sassi, Slim Kaddech, Ali Abdennadher, Daniel Henry, Hamda

Ben Hadid, Abdelkader Mojtabi

To cite this version:

Mokhtar Ben Sassi, Slim Kaddech, Ali Abdennadher, Daniel Henry, Hamda Ben Hadid, et al.. Effet

d’un champ magnétique uniforme sur les instabilités de Rayleigh–Bénard avec effet Soret.. Comptes

Rendus Mécanique, Elsevier Masson, 2016, 344 (1), pp.1-11. �10.1016/j.crme.2015.09.006�.

�hal-01329923v2�

C. R. Mecanique 344 (2016) 1–11

Contents lists available atScienceDirect

Comptes

Rendus

Mecanique

www.sciencedirect.com

Effet

d’un

champ

magnétique

uniforme

sur

les

instabilités

de Rayleigh–Bénard

avec

effet

Soret

Influence

of

a

magnetic

field

on

the

stability

of

a

binary

fluid

with

Soret

effect

Mokhtar

Ben

Sassi

a

,

Slim

Kaddeche

a

,

∗

,

Ali

Abdennadher

b

,

Daniel

Henry

c

,

Hamda

Ben

Hadid

c

,

Abdelkader

Mojtabi

d

a_{UniversitédeCarthage,Institutnationaldessciencesappliquéesetdetechnologie,Laboratoirederecherchematériaux,mesures} et applications,LR11ES25,INSAT,B.P.676,1080Tuniscedex,Tunisie

b_{UniversitédeCarthage,Institutnationaldessciencesappliquéesetdetechnologie,Laboratoired’ingénieriemathématique,EPT,LaMarsa,} Tunisie

c_{Laboratoiredemécaniquedesfluidesetd’acoustique,CNRS/UniversitédeLyon,UniversitéClaude-BernardLyon-1/Écolecentrale} de Lyon/INSAdeLyon,ECL,36,avenueGuy-de-Collongue,69134Écullycedex,France

d_{IMFT,UMRCNRS/INP/UPS5502,UFRMIG,UniversitéPaul-Sabatier,118,routedeNarbonne,31062Toulousecedex,France}

i

n

f

o

a

r

t

i

c

l

e

r

é

s

u

m

é

Historiquedel’article :

Reçule20mai2015 Acceptéle24septembre2015 DisponiblesurInternetle12novembre 2015 Mots-clés : Magnétohydrodynamique Stabilité Soret Keywords: Magnetohydrodynamics Stability Soret

L’effetdel’intensitéetdel’orientationd’unchampmagnétiqueuniformesurlatransition critique au sein d’une couche fluide binaire, électriquement conductrice, stratifiée en température et en concentration, en prenant en considération l’effet Soret, est étudié numériquement. Pourune telleconfiguration,lesrésultats ontmis enévidence que les seuils critiquescorrespondantàunchamp magnétiquede directionquelconque peuvent se déduire de ceux obtenus pour un champ magnétique vertical et que les axes des rouleaux marginaux des modes instables sont désormais alignés avec la composante horizontale du champ magnétique. Par ailleurs, une étude analytique est menée pour étudierl’impactduchampmagnétiquesurlesinstabilitésmonocellulaires.L’effetduchamp magnétiquesurdetelles instabilités amis enévidenceunphénomène inéditconsistant à modifier profondément la nature des modes instables, qui perdent leur caractère monocellulairepourretrouverleuraspectàplusieursrouleauxquilescaractérisaientsans champmagnétiquepourψ < ψ0=131Le/(34−131Le).Pourunfluidebinairecaractérisé

par un nombrede Lewis Le et unfacteurde séparation ψ > ψ0,la valeurdu nombre

deHartmannHa(ψ,Le)correspondant àcette transitionresponsable d’unemodification

significative des transferts de masse et de chaleur peut être déterminée à partir des relationsanalytiquesétabliesdanslecadredecetravail.

©2015Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Cetarticleestpubliéen OpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

*

Auteurcorrespondant.

Adressese-mail :slimkaddeche@yahoo.fr,slim.kaddeche@insat.rnu.tn(S. Kaddeche),ali_abdennadher@yahoo.fr,ali.abdennadher@insat.rnu.tn

(A. Abdennadher).

http://dx.doi.org/10.1016/j.crme.2015.09.006

1631-0721/©2015Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.CetarticleestpubliéenOpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

a

b

s

t

r

a

c

t

The effect of both magnitude and orientation of a uniform magnetic field on the criticaltransitionoccurring withinanelectricallyconducting binaryfluidlayer,stratified in temperature and concentration, taking into account the Soret effect, is investigated numerically. For such a configuration, the results show that the critical thresholds correspondingtoanarbitraryorientatedmagneticfieldcanbederivedfromthoseobtained foraverticalmagneticfieldandthattheaxesofthemarginalcellsarealignedwiththe horizontalcomponent ofthe magneticfield.Moreover, ananalytical studyisconducted toinvestigatetheimpactofthemagneticfieldonlong-wavelengthinstabilities.Theeffect ofthemagneticfieldonsuchinstabilitiesrevealsanewphenomenonconsistinginmajor changesoftheunstablemodesthatlosetheirunicellularnaturetoregaintheirmulti-roll characteristic,asitisthecasewithoutmagneticfieldforψ < ψ0=131Le/(34−131Le).

Forabinary fluidcharacterizedbyaLewis numberLe and aseparation factorψ > ψ0,

thevalueoftheHartmannnumberHa(ψ,Le)correspondingtothattransitionresponsible

forasignificantchangeinmassandheattransfercanbedeterminedfromtheanalytical relationsderivedinthiswork.

©2015Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Cetarticleestpubliéen OpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

AbridgedEnglishversion

TheheatandmasstransferoccurringintheRayleigh–Bénardconfigurationisinvolvedinmanyindustrialprocesses.The non-intrusive control ofsuch heat andmass transfer by an external magnetic field [1,2], an acoustic wave [3] or high-frequency vibrations [4]is acrucial problemthat allows the optimizationofdevices incorporatinga fluid layer confined betweentwosolidwallsmaintainedatdifferenttemperatures.Forelectricallyconductingfluids,applyinganexternal mag-neticfieldiscommonlyusedtodelaycriticaltransition,andconsequentlytheappearanceofnaturalconvection,toachievea purelyconductivetransfermode[5,6].Forbinaryfluids,itisnolongerrealistictoneglecttheexistingcouplingbetweenheat andmasstransfer,andthestability oftheRayleigh–BénardconfigurationwithSoret effectwasparticularlyinvestigatedto determinetheeffectofthiscouplingonthecriticalthresholdfortheonsetofthermosolutalconvection[7].Butdespitethe importanceofsuchanissuefrombothafundamentalandanappliedpointofview,toourknowledge,studiesonthecontrol ofthecriticaltransitionbyamagneticfieldinthepresenceofSoreteffectarerelativelyrare.Theaimofourinvestigationis toextendthestudytotheimpactofamagneticfieldofvariableorientationandmagnitudeontheRayleigh–Bénardcritical transitionbytakingintoaccounttheSoreteffect.Thepresentstudyismainlybasedonanumericalapproach.Nevertheless, ananalyticalapproachisalsoperformedtocharacterizethetransitionforthelong-wavelengthinstabilitiesandtostudyits evolutionundertheinfluenceofamagneticfield.Themainresultscanbesummarizedasfollows:

– for thecase

ψ < ψ

0,theunstablemodesaremultiplefinitewavelengthcellsandtheykeep suchastructurewhena magneticfield isapplied.Themostefficientstabilizingeffectisobtainedwhenthemagneticfieldisperfectlyvertical, corresponding tothe case

β

=

0◦. Any changein the polarangle isresponsible for an attenuation ofthe stabilizing effect,whichcorresponds toreplacingthestrengthofthemagneticfieldHa byaneffectivestrengthHa cos

β

.Through thistransformation,all theresults relatedtoan arbitraryorientatedmagnetic fieldwithan azimuthal angle

α

anda polarangle

β

are derivedfromthoseobtainedforaperfectlyvertical magneticfield(β

=

0◦) withunstable marginal cells characterized by theiraxes, whichare parallelto thehorizontalcomponentofthe magneticfield.Moreover, for thecaseofa horizontalmagneticfield(β

=

90◦),thecriticalthresholdsremainthesameasforHa

=

0 corresponding tothesituationwithoutmagneticfield(Rac

=

Rac

(

Ha

=

0)

=

1707.76 and



→−kc

 =

hc

(

Ha

=

0)

=

3.11).Thechangeofthe

azimuthalangle

α

affectsonlytheorientationofthemarginalcellswhoseaxiswillbealignedwiththedirectionofthe magneticfield;

– for thecase

ψ

≥ ψ

0,thestabilizationprocess changessignificantly. Indeed,forHa

=

0,the instabilitycorresponds to a single-cellmode(infinite wavelengthinstability), whichis notfavorable to heatandmasstransfer. Asobserved for

ψ < ψ

0,themagneticfieldmaintainsitsstabilizingeffect.However,theevolutionoftheunstablemodesissignificantly different. Indeed,the initiallysingle-cellmodesforHa

=

0 remainsountila Hartmannnumber Ha

(ψ,

Le

)

forwhich

a major changeaffecting the critical wave numberhc occurs. Indeed, forHa

=

Ha

(ψ,

Le

),

the critical wave number hc sharplyincreasesfromzerotowardsfinitevalues,with,asadirectconsequence,thedisappearanceofthesingle-cell

instabilityandtheemergenceofthemoreusualmultiplefinitewavelengthcells.Thischangehaspracticalconsequences ofprimary importancesincethismultiple-finite-wavelength-cellmode contributestoenhance heatandmasstransfer. Moreover, thevalue oftheHartmann numberHa

(ψ,

Le

)

thatensures thisoptimizationoftransfers couldbe derived

M. Ben Sassi et al. / C. R. Mecanique 344 (2016) 1–11 3

Fig. 1. Configuration étudiée. Fig. 1. Studied configuration.

1. Introduction

Lestransferts de masse etde chaleurspécifiques à laconfiguration de Rayleigh–Bénard se retrouvent dans plusieurs processusindustriels. Lecontrôlenon intrusifde telstransfertsthermiquesetmassiquespar application d’un champ ma-gnétique[1,2],d’uneondeacoustique[3]oudevibrationsàhautesfréquences[4]estundéficrucialquipermetd’optimiser les rendementsdesdispositifs intégrantunecouchefluideconfinéeentre deuxparois solidesportées àdestempératures différentes.Pourlesfluidesélectriquementconducteurs,l’applicationd’unchampmagnétiqueestcourammentutiliséepour contrôlerlaconvectionnaturellesedéveloppantau-delàdu seuilcritiqueetretarderainsisonapparition pourassurerun modedetransfertpurementconductif[5,6].Pourlesfluidesbinairesoùiln’estplusréalistedenégligerlecouplageexistant entreletransfertdechaleuretdemasse,lastabilitédelaconfigurationdeRayleigh–BénardaveceffetSoretaété particu-lièrementétudiéepourcernerl’impactdececouplagesurleseuilcritiqued’apparitiondelaconvectionthermosolutale[7]. Mais, endépitde l’importancede cetteproblématique,aussi bien d’un pointde vue fondamentalqu’appliqué, lesétudes portantsurlecontrôleparchampmagnétiquedelatransitioncritiqueenprésencede l’effetSoretsontrelativementrares. L’objectifdenosinvestigationsestd’étendrel’étudedel’impactd’unchampmagnétiqued’orientationvariablesurla transi-tioncritiqueenconfigurationdeRayleigh–BénardaveceffetSoretparuneapprochenumérique,maisaussi decaractériser cettetransitionpourdesinstabilitésmonocellulairesàlongueurd’ondeinfinieparuneapprocheanalytiqueetd’étudierson évolutionsousl’effetd’unchampmagnétique.

2. Formulationduproblème

Soit une couche d’un fluide binaire, newtonien et électriquement conducteur, de conductivité électrique

σ

e, de

vis-cosité cinématique

ν

etobéissant à la loide Boussinesq :

ρ

=

ρ

0[1

− β

T

(

T

−

T0

)

− β

C

(

C

−

C0

)] où

β

T et

β

C désignent

respectivement les coefficients d’expansion thermiqueet solutale. Lesflux de masse etde chaleur, incluant l’effet Soret, s’écrivent :→−JC

= −

ρ

DC →−

∇

C

−

ρ

DS→−

∇

T et→−JT

= −λ

→−

∇

T , où DC, DS et

λ

sont, respectivement, le coefficient de

diffu-sion de masse,le coefficient de diffusion de Soret etla conductivité thermique.Cette couche,confinée entre deux plans horizontaux distants de H et différentiellement chauffés, est le siège d’une stratification linéaire de température et de concentration,etestsoumiseàunchampmagnétiqueuniformepouvantêtreorientédanstouteslesdirectionsdel’espace : −

→

B0

=

B0



sin

β

cos

α

→−ex

+

sin

β

sin

α

→−ey

+

cosβ→−ez



(Fig. 1).EnprenantcommegrandeursderéférenceH pourleslongueurs,

κ

/

H pourlavitesse, H2

/

κ

pourletempset

ρ

0

κ

2

/

H2 pourlapression(

κ

désigneladiffusivitéthermique),



T

=

T1

−

T2

pour latempérature et



C

=

C1

−

C2

= −(

DS

/

DC

)



T pourla concentration, les équationsd’évolution linéarisées d’une

perturbationinfinitésimale

(

→−v

,

p

, θ,

η

(

= θ −

c

), φ)

= (

→−v

(

z

),

p

(

z

), θ (

z

),

η

(

z

), φ (

z

))

ei(hx+ky)+ωt _{peuvents’écrire :} Pr



D2

−



h2

+

k2



u

−

ih p

+

Pr Ha2Fm,x

=

ω

u (1) Pr



D2

−



h2

+

k2



v

−

ik p

+

Pr Ha2Fm,y

=

ω

v (2) Pr



D2

−



h2

+

k2



w

−

Dp

+

Pr Ha2Fm,z

+

Ra Pr [

(1

+ ψ)θ − ψ

η

]

=

ω

w (3) ihu

+

ikv

+

D w

=

0 (4)



D2

−



h2

+

k2



θ

−

w

=

ω

θ

(5)

Le



D2

−



h2

+

k2



η

+



D2

−



h2

+

k2



θ

=

ω η

(6)



D2

−



h2

+

k2



φ

= (−

ik cos

β

+

sin

β

sin

α

D

)

u

+ (

ih cosβ

−

sin

β

cos

α

D

)

v

+

i sin

β (cos

α

k

−

sin

α

h

)

w (7)

où D

=

_∂∂_z,D2

=

_∂∂_z22 etoù Fm,x, Fm,y etFm,z sontlescomposantesdelaforcemagnétiqueselonlestroisaxes

(

Ox

),

(

O y

)

et

(

O z

),

quis’écriventcommesuit :

Fm,x

= −



cos2

β

+

sin2

β

sin2

α



u

+

sin2

β

cos

α

sin

α

v

+

cos

β

sin

β

cos

α

w

+

sin

β

sin

α

D

φ

−

ik cos

β φ

(8)

Fm,y

=

sin2

β

cos

α

sin

α

u

−



cos2

β

+

sin2

β

cos2

α



v

+

sin

β

cos

β

sin

α

w

−

sin

β

cos

α

D

φ

+

ih cos

β φ

(9)

Fm,z

=

sin

β

cos

β

cos

α

u

+

sin

β

cos

β

sin

α

v

−

sin2

β

w

−

i sin

β (sin

α

h

−

cos

α

k

) φ

(10)

Les nombres sans dimension figurantdans les équations (1)–(10) sont le nombre de Rayleigh : Ra

=

g

β

T



T H3

/

νκ

, le

nombredePrandtl :Pr

=

ν

/

κ

,lenombredeHartmann :Ha

=

B0H

√

σ

e

/

ρ

0

ν

,lefacteurde séparation :

ψ

= −β

CDS

/β

TDC

etlenombredeLewis :Le

=

DC

/

κ

.Parailleurs,nousprécisonsquelecoefficientdethermodiffusiondépendnonseulement

delatempératuremoyennedelasolutionbinaire,maiségalementdelafractionmassiquedesdeuxconstituantsdumélange binaireétudié.Àtitred’exemple,unesolutionaqueusedeNaCl(0.5 mol/L)présenteuncomportementinhabituelpuisque, pour une température inférieure à 12◦C, le coefficient de Soret DS

/

DC est négatif, alors qu’il devient positif pour une

températuresupérieureà12◦C[8].Dansnotreétude,enformulationadimensionnelle,lecoefficientdethermodiffusionest remplacé par lefacteur de séparation

ψ

. Nous avonsconduit une étude de stabilité linéaire en considérantdes valeurs positivesetnégativesdufacteurdeséparation

ψ

.

Leséquationslinéarisées(1)–(10)développéesci-dessuspeuventdoncs’écrirecommeunproblèmeauxvaleurspropres généralisé du type : £ X

=

ω



X , où X désigne levecteur

(

→−v

(

z

),

p

(

z

), θ (

z

),

η

(

z

), φ (

z

)),

£ est un opérateurlinéaire dé-pendant deh, k, Ra, Pr, Le, Ha,

α

et

β

et



estun opérateur linéaire creuxcontenant deszérosetdes uns.Ce système auxvaleurspropresgénéraliséestrésoluparuneméthodenumériquebaséesurlacollocationspectralede Tau–Chebyshev et utilisant des développements en polynômes de Chebyshev (N inconnues pour l’ensemble des variables du problème

u

,

v

,

w

,

p

,

θ,

η

et

φ).

La méthodede Tau–Chebyshev permet d’éviter l’apparitionde valeurspropres parasites enmettant desconditionsauxlimitesàlafindechaquesous-matriceconstituantlamatriceprincipale £.Lenombrede Rayleigh cri-tique Rac est déterminé à partir desminimums de lafonction à deux variables h et k correspondant au seuil marginal Ra0(Ha,Pr,Le,α,β)

(

h

,

k

)

obtenupourunjeudeparamètresHa

,

Pr

,

Le

,

α

et

β

fixé.CeseuilmarginalRa0(Ha,Pr,Le,α,β)

(

h

,

k

)

corres-pond à unevaleurpropre

ω

n admettant unepartieréellenulle,alorsque touteslesautres valeurspropres

(

ω

m

)

1≤m=n≤N

sontàpartiesréellesnégatives.LenombredeRayleighcritiqueRac peutdoncs’écrire :

Rac

=

Min(h,k)∈R2Ra0(Ha,Pr,Le,α,β)

(

h

,

k

)

(11)

3. InstabilitésdeRayleigh–BénardaveceffetSoretetchampmagnétiquededirectionquelconque

Sanschampmagnétique,lesinstabilitésdeRayleigh–Bénardencavitéinfiniesedéclenchentau-dessusd’unseuilcritique

Rac0

=

Rac

(

Ha

=

0)

=

1707.76 etcorrespondentà desstructuresthermo-convectivesstationnairesde nombred’ondehc0

=

hc

(

Ha

=

0)

=

3.11.Pour unfluidebinaireavecunfacteur deséparation

ψ

positif,lesseuilscritiquesainsiquelesnombres

d’onde correspondants (ne dépendant que de Le et pas de Pr) décroissent fortement lorsque

ψ

augmente. Ce nombre d’ondedevientnulpourunevaleurde

ψ

supérieureà

ψ

0

=

131Le/(34

−

131Le)etparconséquentdescellulesconvectives detailleinfinieapparaissent.Pour

ψ

négatif,leseuilstationnaireaugmente,maisilestviteprécédéparunseuiloscillatoire (dépendant de Le etde Pr) qui évoluepeu avec

ψ

.Nous allonsétudiersuccessivementl’influence duchamp magnétique danslescasoù

ψ < ψ

0 puis

ψ > ψ

0.

3.1. Influenceduchampmagnétiquepour

ψ < ψ

0

La Fig. 2 illustrant la variation de Rac en fonction de Ha pour un champ magnétique vertical et Le

=

0.01 montre

clairementquelechampverticalretardel’apparitiondelaconvectionthermosolutale,etce,pourlesdifférentesvaleursde

ψ

considérées.Lesnombresd’ondeassociésaugmententaussiavecHa,indiquantquelatailledescellulesmarginalesdevient deplusenplusréduitequandlechampmagnétiquedevientplusintense(Fig. 3).Nousnotonscescourbescritiquesobtenues souschampmagnétiqueverticalrespectivementRav

(

Ha

)

ethv

(

Ha

).

ÀfortHa,desloisasymptotiquessontobtenues,etelles

s’avèrentsimilairesàcellesobtenuessanseffetSoret.Parailleurs,ellessemontrententrèsbonneconcordanceaveccelles établiesparJulienet al.[9],àsavoir : Rac

∼

10Ha2 ethc

∼

1.9Ha

1

3_,ouencoreRac

∼

_{10 Q ethc}

∼

_{1.9 Q} 1

6 _(oùQ

=

_Ha2 est le nombre de Chandrasekhar).Pour

ψ

≥

0, le champ magnétique préserve le caractère bi-dimensionnel stationnaire desmodesinstables.Parailleurs,pourlesvaleursnégativesde

ψ

considérées,lecaractèrebi-dimensionneloscillatoire des

M. Ben Sassi et al. / C. R. Mecanique 344 (2016) 1–11 5

Fig. 2. Variation de Racavec Ha pour Pr=0.01, Le=0.01 et différentes valeurs deψ.

Fig. 2. Variation of Racwith Ha for Pr=0.01, Le=0.01 and different values ofψ.

Fig. 3. Variation de hcavec Ha pour Pr=0.01, Le=0.01 et différentes valeurs deψ.

Fig. 3. Variation of hcwith Ha for Pr=0.01, Le=0.01 and different values ofψ.

modesinstables est aussi conservé, avec une célérité critique qui augmente avec Ha, commeillustré sur la Fig. 4.Nous proposons à présentde déterminerl’effet de lavariation de la directiond’un champ magnétiqueayant unecomposante horizontalenon nulle(β

=

0◦)sur l’apparitionde laconvection.Lesinvestigationsnumériques mettentenévidencedeux résultatsimportants :toutd’abord, lenombre de Rayleighcritique Rac reste exactementle mêmequecelui obtenupour

un champ magnétiqueparfaitement vertical si on remplace la valeur de Ha par Ha cos

β

(Rac

=

Rav

(

Ha cos

β)) ;

ensuite,

le vecteur d’onde devient :→−kc

= (

hv

(

Ha cos

β)

sin

α

,

−

hv

(

Ha cos

β)

cos

α

,

0),indiquant que lechamp magnétique, enplus

de stabiliser, aligneles cellulesmarginalessur sapropredirection ; enfin,



→−kc

 =

hv

(

Ha cos

β),

indiquant quela longueur

d’ondedescellulesmarginales

λ

c

=

2

π

/



→−kc

 =

2

π

/

hv

(

Ha cos

β)

resteconstantequellequesoitlavaleurdel’angleazimutal

α

que fait le champ magnétiqueavec ladirection de l’axe Ox. Pour paracheverl’étude de l’impact de la directiond’un champmagnétiquesurlatransitioncritique, onconsidèreàprésentlecasd’un champmagnétiquecoplanaire parrapport à la couche de fluide(β

=

90◦). Lesrésultats des simulations numériques montrent que le champ magnétiquen’a plus aucun effet stabilisant :Rac

(

Ha

,

α

)

=

Rac0

=

Rac

(

Ha

=

0)

=

1707.76,mais uniquement un effetd’orientation où, àl’instar du cas

β

=

0◦, les cellulesmarginales s’alignent avec la directiondu champ magnétique avec un vecteur d’onde :→−kc

=

(

hc

(

Ha

=

0)sin

α

,

−

hc

(

Ha

=

0)cos

α

,

0) de norme constante



→−kc

 =

hc0

=

hc

(

Ha

=

0)

=

3.11,qui indiqueque la longueur d’ondedescellulesmarginalesdemeureconstante.Parailleurs,lefaitquelechampmagnétiquecoplanaireneretardeplus

Fig. 4. Variation de ccavec Ha pour Pr=0.01, Le=0.01 et deux valeurs négatives deψ.

Fig. 4. Variation of ccwith Ha for Pr=0.01, Le=0.01 and two negative values ofψ.

Fig. 5. Variation de Racen fonction de Ha pourψ=0.05,ψ=0.5 et Le=0.01 (traits continus : numérique, traits discontinus : analytique).

Fig. 5. Variation of Racas a function of Ha forψ=0.05 and Le=0.01 (solid lines: numerical results, heavy dashed lines: analytical results). le seuild’apparition de laconvectionest uneconséquencedirecte de l’alignementdescellulesmarginalesavec lechamp magnétique.Eneffet,sil’onconsidèrelerotationneldutermemagnétique→−j

×

→−eB0,onobtient :

−−→ rot



→−j

×

→−eB0



=

→−j



→−

∇ ·

→−eB0



− (

→−j

.

−→

∇)

→−eB0

−

→−eB0

(

− →

∇ ·

→−j

)

+



→−eB0

.

− →

∇



→−j

=

i



→−eB0

.

− → k



→−j

=

→−0 (12)

ce qui implique qu’ilexisteun potentiel U telque→−j

×

→−eB0

= −

− →

_∇

U qui,unefoisintégré à lapression,fait disparaître le termemagnétiquedusystèmed’équationsauxperturbations(1)–(10).

3.2. Influenceduchampmagnétiquepour

ψ

≥ ψ

0

Nous choisissons maintenantdesfluides dontlenombre de Lewis esttoujours Le

=

0.01, mais dontlefacteur de sé-paration

ψ

estsupérieurà

ψ

0

(

Le

=

0.01)

=

0.0400734 (ψ

=

0.05 et

ψ

=

0.5), correspondantdoncàdesmodesinstables monocellulaires.LaFig. 5nousmontrequelechampmagnétiqueconservesoneffetstabilisantcorrespondantàunehausse dunombredeRayleighcritique RacavecHa.Mais,enobservantlaFig. 6,nousconstatonsqueceteffetstabilisant

M. Ben Sassi et al. / C. R. Mecanique 344 (2016) 1–11 7

Fig. 6. Variation de hcen fonction de Ha pourψ=0.05,ψ=0.5 et Le=0.01.

Fig. 6. Variation of hcas a function of Ha forψ=0.05,ψ=0.5 and Le=0.01.

Fig. 7. Variation de hcavecψpour Le=0.01 et différentes valeurs de Ha.

Fig. 7. Variation of hcwithψfor Le=0.01 and different values of Ha.

etnotéeHa

(ψ)

(avec,parexemple, Ha

(0.05)

≈

2.6 etHa

(0.5)

≈

10)telleque,pourHa

<

Ha

(ψ),

lemodeinstablereste

monocellulaire(hc

∼

0) et, dèsque Ha

≥

Ha

(ψ),

le nombred’onde critique hc semetà croître trèssignificativement de

zéroversdesvaleursfinies.Notonsqu’uneprocéduredecalculplusprécise deHa

(ψ)

etdonnant Ha

(0.05)

=

2.64937 et

Ha

(0.5)

=

10.01908 pouruneprécisionde10−4 estdétailléeauniveaudelapartie4.Nousconstatonsd’aprèslaFig. 5que

l’écartentre lesvaleursnumériques etanalytiquesdu nombrede Rayleigh critique Rac augmenteavec Ha.Pour Ha

≤

20,

cetécartcommenceàêtresignificatifàpartird’unnombredeHartmannpluspetitpourlecas

ψ

=

0.05 quepourceluioù

ψ

=

0.5.Cerésultatestdûaufaitquel’expressionanalytiquedeRac n’estvalablequepourdesinstabilitésmonocellulaires

etpar conséquent pourHa

<

Ha

(ψ),

cequi correspond à Ha

<

2.64937 pour

ψ

=

0.05 et Ha

<

10.01908 pour

ψ

=

0.5.

Parailleurs,lechoix quiaété faitdelimiter l’intervalledevariation àHa

≤

20 montrequ’ilestpossibled’êtreendehors delalimitede validitédu domainedeprévalencedesmodesmonocellulairesetconserverpourautantunebonne concor-danceentrelesrésultatsnumériquesetanalytiques,notammentpour lecas

ψ

=

0.5.Parconséquent,lesrésultatsrelatifs aunombredeRayleighcritiquenesontpasenmesureàeuxseulsdenousrenseignersurlavaleurprécisedunombrede Hartmannau-delà duquellatransitionentreinstabilités monocellulairesetmulticellulairess’opère. Sionsouhaiteobtenir ces valeursHa

(ψ)

avecunebonne précisionenprocédantpar uneapprochepurement numérique,laconnaissancede la variation du nombre d’onde critique hc enfonction de Ha à l’instar de ce qui est illustré sur la Fig. 6s’impose. De ces

Fig. 8. Variation deψen fonction de Ha pour différentes valeurs de Le.

Fig. 8. Variation ofψas a function of Ha for different values of Le.

En effet,quand uneinstabilitéinitialementmonocellulairechangede structurepourdevenirun modecritique àplusieurs rouleaux,ils’ensuituneintensificationdestransfertsthermiquesetmassiquesqui peutêtrerecherchéepourl’optimisation d’unprocessusimpliquantundispositifdutypeconfigurationdeRayleigh–Bénard.

3.3. Influenceduchampmagnétiquesurlatransitionentremodesmulticellulairesetmonocellulaires

Latransitionentrelesmodesmulticellulairesetmonocellulairescorrespondauxvaleursde

ψ

pourlesquelleslenombre d’onde h tendverszéro.Nousdonnonssur laFig. 7 lavariationde cenombre d’ondecritique hc enfonctionde

ψ

pour

un fluideavecLe

=

0.01 etdifférentes valeursdu nombredeHartmann Ha.Nousobservonsqueladécroissanceverszéro de hc a lieud’autant plus loinque la valeurde Ha est grande.Afinde mieuxappréhender latransitionentre lesmodes

monocellulairesetmulticellulaires,nousreprésentonssurlaFig. 8lavariationde

ψ

(obtenuanalytiquement,voirpartie4)

enfonctiondeHa pourdifférentesvaleursdunombredeLewis.Cettefigureillustreclairementqu’aprèsuneaugmentation assez modéréeavec lenombrede Hartmann,

ψ

 semetà croîtretrèssignificativementavecHa etàatteindredesvaleurs

quasimentinfiniesquandHa tendversHan(lesvaleursdeHansontconsignéesdansleTableau 2)pourbasculerdanslazone

ψ



<

0 quandHa

>

Han.Cerésultatindiqueclairementquelechampmagnétiquecontrôlelatransitionentremodes

mono-cellulairesetmodesmulticellulairesenrepoussantdeplusenplusloinlavaleurdufacteurdeséparationcritique

ψ

au-delà

duquel lesmodesmonocellulairessontsusceptiblesd’apparaître. D’unpoint devuepratique, enconsidérantunfluide bi-nairecaractériséparunnombredeLewisLe etunfacteurdeséparation

ψ

telque

ψ > ψ

0,avec

ψ

0

=

131Le/(34

−

131Le), il estalorsmanifesteque lespremièresinstabilités quiapparaissentserontmonocellulaires.En appliquantun champ ma-gnétiquecorrespondantàunevaleurdeHa

>

Ha

(ψ,

Le

)

quiferaitcroîtrelavaleurdufacteurdeséparationcritiquede

ψ

0 à

ψ

 afinquelarelation

ψ < ψ

 soit vérifiée(ce qui esttoujours possibled’aprèsles résultatsillustréssur laFig. 8), les

premiersmodesinstablesserontdésormaismulticellulairesetnonplusmonocellulaires,permettantainsiuneintensification destransfertsthermiquesetmassiques.

4. Influenceduchampmagnétiquesurlesmodesinstablesmonocellulaires

D’après l’étudede stabilité réalisée plushaut,nousconstatons qu’unchamp magnétique, dontl’orientationestdéfinie par son angleazimutal

α

etson anglepolaire

β,

préservaitle caractèrebi-dimensionneldesmodescritiquesà condition de se placerdansle repère

(O X Y Z)

obtenupar unerotationd’angle

α

autour de l’axe vertical

(Oz)

du repèreinitialde travail

(Oxyz).

Ceconstatnouspermetd’introduireunefonctiondecourant

φ

dansleplan

(

XOZ

).

Leséquationsd’évolution du problème perturbé(1)–(10) peuventdonc s’écriredansce plan

(

XOZ

).

Nousles écrivonspour un champmagnétique parfaitementvertical,sachantquepourunchampnonvertical,nousavonsmontréquelesseuilscritiquesrestentinchangés enremplaçantHa parHa cos

β

:

iλ(d 2 dz2

−

k 2

_)φ

₊

_Pr



(

d 2 dz2

−

k 2

₎

2

₋

_Ha2d2 dz2

φ

−

i kRa Pr [(1

+ ψ)θ − ψ

η

]

=

0 (13) iλθ

+ (

d 2 dz2

−

k 2

_)θ

₋

_ikφ

₌

_{0 (14)}

M. Ben Sassi et al. / C. R. Mecanique 344 (2016) 1–11 9

iλ(

η

− θ) +

Le

(

d

2

dz2

−

k

2

₎

_η

₊

_ikφ

₌

_{0 (15)}

aveclesconditionsauxlimitessuivantes :

φ

=

dφ

dz

=

0,

θ

=

0 et

d

η

dz

=

0 pour z

= ±

1 (16)

Notonsque,dansces équations,nousavonsconservé lanotation z àlaplacede Z dèslorsquelesaxes

(OZ)

et

(Oz)

sontconfondus.Pourétudierlesinstabilitésmonocellulaires(surlesquelleslechampmagnétiqueauneinfluenced’aprèsce quenousavonsvudansleparagrapheprécédent),nousutilisonsledéveloppementensérieenpuissancesdek auvoisinage dek

=

0 des perturbationsdelafonctiondecourant,delatempératureetdelafonction

η

,etnousfaisonsde mêmepour letaux d’amplification

λ.

Nouspouvonsainsidéterminer analytiquementpources instabilitésmonocellulaires les expres-sions du nombre de Rayleighcritique Rac enfonctiondu facteur de séparation

ψ

.Parailleurs, noussommesenmesure

de déterminerlefacteur de séparationlimite

ψ

 qui donnelavaleurde

ψ

endeçà delaquelle l’approximation

monocel-lulairen’estplusvalable,c’est-à-direqu’elle nedonnepluslemodedominant.Notonsquel’obtentionde Rac nécessiteun

développementenk àl’ordre 2,alorsquel’ordre4estnécessaire pourobtenir

ψ

.Lesexpressions obtenuesàlasuitede

développementsanalytiquescomplexesréalisésaveclelogicielMAPLEsontprésentéesci-dessous(notonsqu’ilestjudicieux dedéfinirunfacteurdeséparationgénéralisé

ψ

) :

Rac

=

12 Le Ha4

ψ



12

+

Ha2

−

6 Ha cothHa₂



(17)

ψ



=

1 Le

ψ

 1

+ ψ



=

N

(

Ha

)

D

(

Ha

)

(18) avec : N

(

Ha

)

= −

3 2

(

−

40 320

+

40 320 exp(3Ha)

−

420 Ha 4

₊

_{1680 Ha}3

−

120 960 exp(2Ha)

−

17 Ha6

+

10 080 Ha2

+

120 960 exp(Ha

)

−

168 Ha5

−

10 080 exp(3Ha)Ha2

−

20 160 exp(2Ha)Ha2

+

17 Ha6exp(3Ha)

+

420 Ha4 exp(3Ha)

+

420 Ha4exp(2Ha)

+

5040 Ha exp(3Ha)

−

51 Ha6 exp(2Ha)

+

1680 Ha3exp(3Ha)

−

168 Ha5exp(3Ha)

−

1680 Ha3exp(2Ha)

−

5040 exp(2Ha)Ha

+

168 Ha5exp(2Ha)

+

20 160 Ha2 exp(Ha

)

+

168 Ha5 exp(Ha

)

−

1680 Ha3 exp(Ha

)

−

5040 Ha exp(Ha

)

+

5040 Ha

−

420 Ha4exp(Ha

)

+

51 Ha6exp(Ha

))

(19)

D

(

Ha

)

=

Ha

(504 Ha

3

+

6300 Ha2

−

Ha5

+

30 240 Ha

−

21 420 Ha2exp(Ha

)

−

52 920 exp(Ha

)

−

30 240 Ha exp(3Ha)

+

15 120 exp(2Ha)Ha

+

Ha5exp(3Ha)

−

504 Ha3 exp(3Ha)

+

4032 Ha3 exp(2Ha)

−

4032 Ha3 exp(Ha

)

+

52 920 exp(3Ha)

+

3 Ha5 exp(Ha

)

−

3 Ha5exp(2Ha)

+

6300 exp(3Ha)Ha2

−

21 420 exp(2Ha)Ha2

−

15 120 Ha exp(Ha

)

+

52 920

(1

−

exp(2Ha))) (20)

Parundéveloppementlimitédecesexpressionsàl’ordre4enHa,nouspouvonsretrouver,àl’ordrezéro,lesexpressions classiquesdeRac et

ψ

pourlesinstabilitésmonocellulairesenl’absencedechampmagnétique(Ha

=

0) :

Rac

=

720 Le

ψ

+

120 Le 7ψ Ha 2

₋

Le 49ψHa 4

₊

_O

₍

_Ha6

₎

₍₂₁₎

ψ



=

131 34

+

196 867 1 577 940Ha 2

₊

58 185 319 73 232 195 400Ha 4

₊

_O

₍

_Ha6

₎

₍₂₂₎ etdonc :

ψ



(

Ha

=

0)

= ψ

0

=

131 Le 34

−

131 Le (23)

Sur la Fig. 9, nous présentons les courbes donnant les seuils critiques Rac pour l’instabilité monocellulaire pour

Fig. 9. Variation de Racavecψpour Le=0.01 et différentes valeurs de Ha.

Fig. 9. Variation of Racwithψ for Le=0.01 and different values of Ha.

Tableau 1

VariationenfonctiondeHa deψ,puis,pourLe=0.01,variation

deψetdunombredeRayleighcritiqueRaccorrespondant.

Table 1

VariationofψasafunctionofHa,andthen,forLe=0.01,

varia-tionofψandofthecorrespondingcriticalRayleighnumberRac. Ha ψ Le=0.01 Le=0.01 ψ Rac 0 3.853 0.0401 179.67 5 7.536 0.0815 139.57 10 33.080 0.494 46.69 20 −41.401 −0.293 −224.58 40 −25.419 −0.203 −1104.76

aussi sur ledomaine(ψ <0,Ra

<

0). Pour chacunede cescourbes, nousdonnonsaussi, souslaformed’un pointnoir,la limite au-delà delaquelle lemodemonocellulaireestlemodedominant. Lesvaleursde

ψ

 correspondantesainsique les

valeursde Rac associéessontdonnées dansleTableau 1.Nousconstatons toutd’abordque lesseuils critiques

|

Rac

|

pour

l’instabilité monocellulairecroissent avecl’augmentationdeHa.Lefacteur deséparationlimite

ψ

dépendaussi fortement

de Ha :

ψ

 croît d’abord quand Ha augmente dans le domaine (ψ >0,Ra

>

0), puis décroît en valeur absolue dans le

domaine (ψ <0,Ra

<

0).Cesvariationsindiquent queledomained’apparitiondesmodesmonocellulairesserestreint for-tementquand Ha augmente. Àtitred’exemple,ce domaineévolue desintervalles (ψ >0.0401,Ra

>

0) et(ψ <0,Ra

<

0) pourHa

=

0,à(ψ >0.494,Ra

>

0)et(ψ <0,Ra

<

0)pourHa

=

10 etàseulement(

−

0.293

< ψ <

0,Ra

<

0)pourHa

=

20. L’ensembledecesrésultatsconfirmedefaçonplusprécisecequiaétéobservédanslapartie3.D’unpointdevuepratique, cerésultatestd’uneimportancemajeuredèslorsqu’ilestdésormaispossiblepourtoutfluidecaractériséparunnombrede LewisLe etunfacteurdeséparation

ψ

(permettantd’obtenirlavaleurde

ψ

correspondante)d’éviterl’apparitiondes instabi-litésmonocellulairespréjudiciablesàl’intensificationdestransfertsthermiquesetmassiquesenajustantl’intensitéduchamp magnétiquedefaçonàcequeHa

≥

Ha.Haestlavaleurde Ha vérifiantlacondition :

ψ



(

Ha

)

=

ψ

= ψ/

[Le(1

+ ψ)

],où

ψ

 estexplicitement déterminépar les relationsanalytiques (18)–(20).Quelques valeursde Ha peuvent êtreobtenues à

partir du Tableau 1.Parexemple, pour Le

=

0.01, Ha

=

5 pour

ψ

=

0.0815 etHa

=

10 pour

ψ

=

0.494.Nousmontrons

aussi, dansle Tableau 2,les valeursde Ha (notéesHan) qui correspondentà l’intensitéduchamp magnétiqueau-delàde

laquelle l’instabilité monocellulairen’apparaîtquepour desfacteursde séparation

ψ

négatifs etun chauffagepar lehaut (Ra

<

0). Unedesconséquencesestqu’au-delàde cettevaleur, l’instabilitémonocellulairen’apparaîtpluspourdes

ψ

posi-tifs.LenombredeHartmannHan atteintunevaleurlimiteprochede13.5 lorsquelenombredeLewisLe tendverszéroet

décroîtlorsquelavaleurdeLe augmente.

5. Conclusion

Cette étudeconsacréeàl’effetd’unchampmagnétiquesurlastabilitédeRayleigh–BénardaveceffetSoreta principale-mentmisenévidencelespointssuivants :

M. Ben Sassi et al. / C. R. Mecanique 344 (2016) 1–11 11

Tableau 2

Valeurs de Han au-delà desquelles

l’instabilitémonocellulairen’apparaît quepourψ <0 etRa<0.

Table 2

ValuesofHanabovewhichthe

mono-cellular instability only appears for ψ <0 andRa<0. Le Han 0.0001 13.44249647 0.001 13.29867806 0.01 12.04102372 0.02 10.92902561 0.04 9.251004523 0.06 8.001913693 0.08 7.003098866 0.1 6.163030711 0.15 4.449488979 0.2 2.948319760

– Pour lecas

ψ < ψ

0,lesmodesinstablessontdelongueurd’onde finieetledemeurentquand ilssontsoumis à l’ac-tiond’unchampmagnétique.L’effetstabilisantdûauchampmagnétiqueestoptimalquandcedernierestparfaitement vertical,correspondantau cas

β

=

0◦.Toutevariationde l’anglepolaire

β

estàl’origine d’uneatténuationdeceteffet stabilisant, cequi revientà remplacerl’intensitéréelledu champ magnétiqueHa paruneintensitéeffective Ha cos

β

. Aprèsavoirréalisécettetransformation,touslesrésultatsrelatifsàunchampmagnétiqued’angleazimutal

α

etd’angle polaire

β

sedéduisentde ceuxobtenus pourun champ magnétiqueparfaitementvertical (β

=

0◦) avecles axes des cellulesmarginalesalignéssur lacomposantehorizontaledu champmagnétique.Parailleurs, pourunchamp magné-tique horizontal(β

=

90◦), aucun effet de stabilisation,ni de modification du nombred’onde critique, n’est constaté (Rac

=

Rac

(

Ha

=

0)

=

1707.76 et



− →

kc

 =

hc

(

Ha

=

0)

=

3.11), etlavariation del’angle azimutal

α

agituniquement sur

l’orientationdescellulesmarginalesdontlesaxess’alignentavecladirectionduchampmagnétique.

– Pour lecas

ψ

≥ ψ

0,leprocessus de stabilisationchangeradicalement. Eneffet,pour Ha

=

0,l’instabilité correspond à un mode monocellulairequi est peu favorable au transfert de masse et de chaleur. À l’instar de ce qui a été ob-servé pour

ψ < ψ

0, le champ magnétique conserve son effet stabilisant. Cependant, l’évolutiondes instabilités est différente.Eneffet,lesinstabilités,initialementmonocellulairespourHa

=

0,ledemeurentjusqu’àunnombrede Hart-mann Ha

(ψ,

Le

)

pour lequel une variation marquéedu nombre d’onde critique hc a lieu. Pour Ha

=

Ha

(ψ,

Le

),

ce

derniervoitsavaleurpassersubitementde zéroàdesvaleursfinies,avecpourconséquencedirecteladisparitiondes instabilitésmonocellulairesetl’apparitiondenouveauxmodesinstablesàplusieursrouleaux.Cette modificationa des conséquencespratiquesdepremièreimportancedèslorsquelesmodesàplusieursrouleauxcontribuentà l’intensifica-tiondestransfertsthermiquesetmassiques.Parailleurs,lavaleurdunombredeHartmannHa

(ψ,

Le

)

quiassurecette optimisationdestransfertsapuêtrecalculéeanalytiquementetestdonnéeparlesrelations(18)–(20),commeindiqué danslapartie4del’article.

Pourconclure,onpeutaffirmerquelesaspectsdel’actiond’unchampmagnétiquesurlesinstabilitésdeRayleigh–Bénard aveceffetSoret sontmultiples etque sonimpactpratiqueleplussignificatifrestelecontrôlesélectifdesphénomènesde transfertdemasseetdechaleurquisedéveloppentauseindelacouchefluide.

Références

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