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D149 A la rencontre d’un cercle et d’une hyperbole [** à la main]

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Academic year: 2022

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D149 A la rencontre d’un cercle et d’une hyperbole [** à la main]

Solution de Pierre Jullien

Prenons P pour origine, avec X = x + u et Y = y + v, où uv = 1. L’équation de (H) est alors : (X - u)(Y – v) = 1 soit XY - vX - uY = 0

En coordonnées polaires, il vient :  = (v cos + u sin) / cos sin

Pour r et  convenables, u = r cos et v = r sin. Ainsi l’équation de (H) devient :  = K sin ( + ) / sin 2, pour K convenable.

L’équation du cercle est  = K car pour  = , Q appartient aux deux courbes.

Les solutions cherchées sont donc celles de l’équation : sin 2 = sin ( + ), qui équivaut à : 2 =  +  + 2kπ ou 2 = π - ( + ) + 2kπ

Dans le premier cas, on retrouve  =  + 2kπ. Ce qui correspond au point Q.

Dans le second cas, on trouve 3 = π -  + 2kπ soit  = (π - ) / 3 + 2kπ / 3. Ce qui correspond aux points A, B, C, équirépartis sur le cercle, selon les valeurs de k,.

Le triangle ABC est donc équilatéral.

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