D149 A la rencontre d’un cercle et d’une hyperbole [** à la main]
Solution de Michel Vanel
Soit un cercle de centre P(a,b) et de rayon R et une hyperbole équilatère d’équation X.Y=1.
Les quatre points d’intersection vérifient le système d’équations : (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 et x.y =1
La résolution de ce système d’équations par rapport à la variable x conduit au polynôme suivant dont nous ne conservons que les deux premiers termes :
X^4 – 2aX^3 + …..=0
Compte tenu des relations entre coefficients et racines d’un polynôme on a X1 + X2 + X3 + X4 = 2a
De même on a Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 2b
Si P est sur l’hyperbole et symétrique du point, par exemple (X4, Y4), les relations ci-dessus deviennent
X1 + X2 + X3 = 3a ou (X1-a) + (X2-a) + (X3-a) = 0 Y1 + Y2 + Y3 = 3b ou (Y1-b + (Y2-b) + (Y3-b) = 0
Ces deux relations peuvent être mises sous la forme d’une relation vectorielle, A, B, C désignant les trois points d’intersection autres que (X4, Y4)
( vecteur PA) + ( vecteur PB) + (vecteur PC) = 0
Ces vecteurs ayant même norme cette égalité est vérifiée si les point A, B, C sont les sommets d’un triangle équilatéral.
