^BAC Méthode : Calculer un produit scalaire à l’aide du cosinus

PRODUIT SCALAIRE (Partie 1)

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvo

La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la

physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre.

Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.

I. Définition et propriétés

1) Norme d'un vecteur

Définition : Soit un vecteur ⃗u et deux points A et B tels que ⃗u=⃗AB . La norme du vecteur ⃗u , notée

‖

‖

2) Définition du produit scalaire

Définition : Soit ⃗u et ⃗v deux vecteurs du plan.

On appelle produit scalaire de ⃗u par ⃗v , noté ⃗u .⃗v , le nombre réel défini par :

- ⃗u .⃗v=0 , si l'un des deux vecteurs ⃗u et ⃗v est nul - ⃗u .⃗v=‖⃗u‖×‖⃗v‖×cos(⃗u ;⃗v) , dans le cas contraire.

⃗u .⃗v se lit " ⃗u scalaire ⃗v ".

Remarque :

Si ⃗AB et ^⃗AC sont deux représentants des vecteurs non nuls ⃗u et ⃗v alors :

⃗u .⃗v=⃗AB .⃗AC=

‖

‖

‖

‖

Méthode : Calculer un produit scalaire à l’aide du cosinus Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs

Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

Calculer, en fonction de a, le produit scalaire ^⃗AB .⃗AC .

⃗AB .⃗AC=

‖

‖

‖

‖

= a² 2

Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple ⃗u .⃗v=⃗0 est une maladresse à éviter !

3) Propriété de symétrie du produit scalaire

Propriété de symétrie : Pour tout vecteur ⃗u et ⃗v , on a : ⃗u .⃗v=⃗v .u⃗

Démonstration :

On suppose que ⃗u et ⃗v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire).

⃗u .⃗v=

‖

‖

‖

‖

¿‖⃗v‖×‖u⃗‖×cos(u ;⃗ ⃗v)

¿

‖

‖

‖

‖

(

)

¿

‖

‖

‖

‖

¿⃗v .⃗u

4) Opérations sur les produits scalaires

Propriétés de bilinéarité : Pour tous vecteurs ⃗u , ⃗v et ⃗w , on a :

1) ⃗u .(⃗v+⃗w)=⃗u .⃗v+ ⃗u .⃗w 2) ⃗u .(k⃗v)=ku .⃗ ⃗v , avec k un nombre réel.

- Admis -

Calculer un produit scalaire à l’aide de la bilinéarité : Vidéo https://youtu.be/P0nKS-cTEO0

5) Identités remarquables

Propriétés : Pour tous vecteurs ⃗u et ⃗v , on a : 1) (⃗u+ ⃗v)²=⃗u²+2u .⃗ ⃗v+ ⃗v²

2) (⃗u−⃗v)²=⃗u²−2u .⃗ ⃗v+ ⃗v² 3) (⃗u+ ⃗v)( ⃗u−⃗v)=⃗u²−⃗v²

Démonstration pour le 2) : (⃗u−⃗v)² = (⃗u−⃗v) (⃗u−⃗v)

¿⃗u .u−⃗⃗ u .⃗v−⃗v .u+ ⃗⃗ v .⃗v

¿⃗u²−2⃗u .⃗v+⃗v²

II. Produit scalaire et norme

1) Propriétés

Soit un vecteur ⃗u , on a :

⃗u .u=⃗

‖

‖

‖

‖

‖

‖

‖

‖

⃗u .u=⃗⃗ u²

On a ainsi : ⃗u²=⃗u .⃗u=

‖

‖

Propriété : Soit ⃗u et ⃗v deux vecteurs. On a :

⃗u .⃗v=¿ 1

2

( ‖

‖

‖

‖

‖

‖

)

2

( ‖

‖

‖

‖

‖

‖

)

Démonstration de la première formule :

‖

‖

¿⃗u²−2⃗u .⃗v+⃗v²

¿

‖

‖

‖

‖

2

( ‖

‖

‖

‖

‖

‖

)

Propriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a :

⃗AB .⃗AC=¿ 1

2

(

)

Démonstration :

⃗AB .⃗AC=¿ 1

2

( ‖

‖

‖

‖

‖

‖

)

¿ 1

2

(

‖

‖

)

¿ 1

2

(

)

Méthode : Calculer un produit scalaire à l’aide des normes On considère la figure ci-contre, calculer le produit

scalaire ⃗CG .⃗CF .

⃗CG .⃗CF=1

2

(

)

¿ 1

2

(

)

2) Théorème d'Al Kashi

A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud al Kashi (1380 ; 1430) vit sous la protection du prince Ulugh- Beg (1394 ; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences.

Dans son Traité sur le cercle (1424), al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir une valeur

approchée de 2 avec une précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit 16 décimales exactes : 2 ≈ 6,283 185 307 179 586 5

Théorème : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure : a²=b²+c²−2bccos^A

Démonstration au programme : Vidéo https://youtu.be/34OJiQ_4-N4

⃗AB .⃗AC=AB × AC ×cos^A=bccos^A et

⃗AB .⃗AC=¿ 1

2

(

)

2

(

)

Donc : 1

2

(

)

Soit encore : a²=b²+c²−2bccos^A

Méthode : Appliquer le théorème d’Al Kashi Vidéo https://youtu.be/-cQQAjHJ0Kc

Vidéo https://youtu.be/SeFjmbOGhVc

On considère la figure ci-contre, calculer la mesure de l’angle BAC^ au degré près.

D’après le théorème d’Al Kashi, on a : CB²=AB²+AC²−2× AB × AC ×cos^BAC 4²=6²+5²−2×6×5×cos^BAC

16=36+25−60 cos^BAC 60 cos^BAC=36+25−16 60 cos^BAC=45

cos^BAC=¿ 45 60 cos^BAC=¿ 3

4 BAC ≈^ 41°

Même les Playmobil connaissent le théorème d’al Kashi !

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