Ch.05
Fonctions exponentielles
TaleSTI2DPartie B (s
11)
3 Fonction x 7→ exp( u ( x ))
3.1 limite
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de
Ret a un réel qui peut être égal à −∞ ou + ∞ .
• si lim
x→a
u(x) = −∞ , alors lim
x→a
e
u(x)= 0 ;
• si lim
x→a
u(x) = ℓ un réel, alors lim
x→a
e
u(x)= e
ℓ;
• si lim
x→a
u(x) = + ∞ , alors lim
x→a
e
u(x)= + ∞ . Propriété 1.
Exemple 2
• lim
x→−∞(x−1) =−∞donc, lim
x→−∞ex−1= 0 ;
• lim
x→1(x−1) = 0 donc, lim
x→1ex−1= 1 ;
• lim
x→+∞(x−1) = +∞donc, lim
x→+∞ex−1= +∞.
3.2 Dérivée
Soit u une fonction définie dérivable sur I de
R, alors la fonction x → e
u(x)est définie et dérivable sur I de dérivée
e
u(x)′= u
′(x) e
u(x).
Propriété 3.
Exemple 4
Soitf la fonction définie parf(x) = ex2+1. Le polynômeudéfini paru(x) =x2+ 1 est défini et dérivable surRde dérivéeu′(x) = 2xdonc,f est dérivable surRet f′(x) = 2xex2+1.
3.3 Primitive
Soit u une fonction définie dérivable sur I de
R, une primitive de la fonction u
′(x) e
u(x)est e
u(x).
Propriété 5.
Exemple 6
Une primitive de la fonctionf définie surRparf(x) =−3 e−3x+π est F(x) = e−3x+π.
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Ch.05
Fonctions exponentielles
TaleSTI2D4 Résolution d’équations
Pour toutes fonctions u et v définies sur I, on a les résultats suivants :
• e
u= e
v⇐⇒ u = v ;
• pour tout λ > 0, e
u= λ ⇐⇒ u = ln λ.
Propriété 7.
Exemple 8
• ex= 4⇐⇒ln(ex) = ln(4)⇐⇒x= ln 4 ;
• ex×e3x= 5⇐⇒ex+3x= 5⇐⇒e4x= 5⇐⇒4x= ln 5⇐⇒x= 14ln 5.
Remarque 9
On résout de manière analogue les inéquations, la fonction exponentielle étant crois- sante, l’ordre est conservé.
eu<ev⇐⇒u < v
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