04 - Les fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles

Classe de terminale Stmg

Fonctions exponentielles - Wikimedia

Au début du XVII^e siècle, la notion de fonction telle que nous la connaissons n’existait pas. Torricelli en 1644 et Huygens en 1661 ont été les premiers à fa- briquer des courbes point par point en utilisant les moyennes arithmétique des abscisses et les moyennes géométriques des ordonnées.

La notation de puissance a, quant à elle, été introduite à partir de 1637 par Descartes. Leibniz a ensuite, en 1678 introduit un exposant variable.

René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye-en-Touraine et mort le 11 février 1650 à Stockholm, est un mathématicien, physicien et philosophe français.

Outre ses contributions philosophiques bien connues, il contribue de façon importante à une évolution majeure en mathématiques, la création de la géométrie analytique qui permet de résoudre des problèmes géométriques via des méthodes algébriques.

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I - Définitions

Définition : Soit q un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base q la fonction :

f : IR−→IR x 7−→q^x Remarque : Cette fonction est le prolongement de la

suite (u_n) telle queu_n =qⁿ pour tout entier naturel n.

Sur le graphique ci-contre, les croix représentent le nuage de point associé à la suite géométrique de terme généralu_n =1,5ⁿ.

On observe bien que la fonction définie sur IR par f (x)=1,5^x prolonge cette suite.

Si x <0, on a 1,5^−x = 1

1,5^x 0 1

1

Propriété : La fonction exponentielle de baseq est une fonction dérivable sur IR donc également continue sur IR.

Cette fonction est également positive sur IR.

II - Variations

Propriété : Variations Une fonction exponentielle de base q (q >0) sera :

• strictement croissante sur IR si q >1

• strictement décroissante sur IR si 0<q <1

• constante égale à 1 sur IR si q =1

Exemple : Ci-contre, sont tracés les représenta- tions graphiques des fonctions f et g telles que :

f (x)= 1,5^x et g(x)=0,7^x

0 1 1 Cf 1

Cg

III - Propriétés algébriques

Propriété : Relation fonctionnelle

Pour tout nombre réel q >0 et tous réels x et y : q^x×q^y = q^x+y Preuve : Admis

Remarque : On en déduit alors les relations suivantes pour q réel strictement positif, x et y réels etn entier naturel :

• q^−x = 1 q^x

• q^x−y = q^x q^y

• q^n×x =(q^x)ⁿ

IV - Taux d’évolution moyen

Exemple : Un établissement bancaire propose le placement suivant :

« Si vous déposez un capital de 10000€, vous obtenez un capital de 15000€au bout de 10 ans. ».

Le taux global pour les 10 ans est donct_g = 15000−10000

10000 =0,5 donc un taux de 50%.

Nous souhaitons alors calculer le taux annuel correspondant t_m.

Nous avons donc (1+t_m)¹⁰ =1+t_g et les propriétés précédentes nous permettent d’en déduire : 1+t_m =(1+t_g)¹⁰¹ ≈1,041

Le taux annuel de ce placement est donc de 4,1 %.

Propriété : Taux d’évolution moyen

Si t_g est le taux d’évolution global pendant une certaine période, le taux d’évolution moyen équivalent t_m pendant une périoden fois plus courte est donc défini par :

1+t_m =(1+t_g)ⁿ¹