E50196. Coup de main
Dunabla veut r´epartir les entiers de 1 `a 49 en 3 sous-ensembles tels que 3
´el´ements distincts d’un mˆeme sous-ensemble ne v´erifient jamais x+y =z.
Pouvez-vous l’aider ? Solution
Vous rendrez service `a Dunabla en lui expliquant que sa recherche est sans espoir.
Supposons que Dunabla ait r´eussi.
Un des sous-ensembles (appelons-leA) a au moins 17 ´el´ements (car 3×16 = 48<49), a1 > a2 > . . . > a17.
Les 16 diff´erences ak−a17 sont des entiers<49 ; elles ne peuvent pas ˆetre des ´el´ements de A (si c’´etait am, on aurait am+a17 =ak), sauf peut-ˆetre a17 : l’addition d’´el´ements deA a17+a17=ak n’est pas r´edhibitoire, les 3
´el´ements n’´etant pas tous distincts.
Il reste 15 diff´erences qui figurent dans les 2 autres sous-ensembles, et l’un d’eux (appelons leB) en contient au moins 8, soitb1> b2> . . . > b8. Les 7 diff´erencesbk−b8ne peuvent pas ˆetre des ´el´ements deB, sauf peut-ˆetre b8; ni des ´el´ements de A, sauf peut-ˆetreaj =b8+a17 : sibk−b8 =aj, avec bk=am−a17,aj =am−aj, l’additionam =aj+aj n’est pas r´edhibitoire.
Il reste 5 diff´erences qui doivent ˆetre dans le 3e sous-ensemble (appelons-le C), soitc1 > c2 > . . . > c5.
Les 4 diff´erences ck−c5 ne peuvent pas ˆetre des ´el´ements deC, sauf peut- ˆetre c5; ni des ´el´ements de B, sauf peut-ˆetre bp =c5+b8; ni des ´el´ements de A, sauf peut-ˆetre ar=c5+b8+a17 : si ck−c5 =ar, avecck=bm−b8, c5 =bp−b8,bm =as−a17,bp =ar−a17, l’addition as=ar+ar n’est pas r´edhibitoire.
Mais cela ne place dans A∪B∪C que 3 diff´erences ck−c5 sur 4, d’o`u une contradiction avec l’hypoth`ese de pouvoir r´epartir les entiers de 1 `a 49 dans 3 sous-ensembles seulement.
Remarque. Ce qui est impossible pour 49 est . . .tout aussi impossible pour 48 et mˆeme notablement moins, mais la d´emonstration en serait bien plus longue. A ma connaissance, la limite est 23, avec les 3 sous-ensembles : (1, 2, 4, 8, 11, 16, 22) ; (3, 5, 6, 7, 19, 21, 23) ; (9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20).
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