LFM – Mathématiques – 2nde 1 Ch 1 Notions sur les fonctions
1°/ Ensembles de nombres 2°/ Définir une fonction
3°/ Courbes et résolutions graphiques 4°/ Sens de variation
1°/ Ensembles de nombres
1.1 Parties de, notations
Pour désigner un ensemble ordonné de nombres, on utilise des parenthèses. Si cet ensemble contient n nombres, on parle d’un n-uplet de nombres. Les valeurs sont séparées par des points-virgules. Cette notation s’utilise pour donner les solutions d’un système d’équations, écrire les coordonnées d’un point, etc
L’ordre dans lequel sont données les valeurs est important.
Par exemple : ( – 2 ; 7 ) ≠ ( 7 ; – 2 ), les points A( – 2 ; 7 ) et B( 7 ; – 2 ) sont donc distincts.
Pour désigner un ensemble de nombres non ordonné, on utilise des accolades. Cette notation s’utilise par exemple pour lister les solutions d’un problème.
Exemples : • … désigne un ensemble de trois nombres : – 3, 0 et 4,5.
• {– 6 } est appelé un …
Il désigne l’ensemble ne comprenant qu’un seul nombre : – 6 • Le symbole … se lit ensemble vide et désigne un ensemble ne contenant aucun
élément.
Remarque : pour désigner tous les nombres compris entre deux valeurs, on utilise des crochets.
1.2 Les ensembles de nombres
Définitions : L’ensemble des nombres entiers naturels est noté … . On a : ℕ = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … }
L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté … . On a : ℤ = { … ; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … } L’ensemble des nombres décimaux est noté … .
C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L’ensemble des rationnels est noté … .
C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient a b avec a un entier et b un entier non nul.
L’ensemble des nombres réels est noté … .
LFM – Mathématiques – 2nde 2 C’est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons.
1.3 Propriété et notation
Tous les éléments de ℕ appartiennent à ℤ : on dit que ℕ est inclus dans ℤ. On note : ℕ⊂ ℤ .
On a donc aussi les inclusions suivantes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ |D ⊂ ℚ ⊂ ℝ
1.4 Ensemble des réels et intervalle
On dit que l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé l’ensemble des nombres … . On le note : ... .
Certaines parties de … sont appelées des … ; on les note en utilisant des crochets.
Ensemble des réels x tels que : Représentation Intervalle x < b ___________________________ ] -∞ ; b [ x ≥ a ___________________________ [ a ; + ∞ [ a ≤ x ≤ b ___________________________ [ a ; b ] a < x < b ___________________________ ] a ; b [ a ≤ x < b ___________________________ [ a ; b [
Vocabulaire : [ a ; b ] se lit « intervalle fermé a , b », [ a ; b [ se lit « intervalle fermé en a, ouvert en b »
LFM – Mathématiques – 2nde 3 Attention : – ∞ (« moins l’infini ») et + ∞ (« plus l’infini ») ne désignent pas des nombres réels ;
du côté de – ∞ et de + ∞ , le crochet est toujours ouvert.
Par exemple, on note : ℝ = ] – ∞ ; + ∞ [
Notation : ℝ+ = [ 0 ; + ∞ [ , ℝ– = ] – ∞ ; 0 ]. Et : ℝ* correspond à ℝ privé de la valeur 0 ( ℝ* = ℝ – {0} ).
Le signe * exclut le nombre 0 d’un ensemble.
Application : Utiliser la notation sous forme d’intervalles Compléter le tableau suivant
Ensemble des réels x tels que : Représentation Intervalle x < 5 ___________________________
___________________________ [ – 1 ; + ∞ [
4 ≤ x < 9 ___________________________
___________________________ ] – 2 ; 0 [
6 ≤ x ___________________________
1.5 Intersection et réunion
Définition : L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.
On note cette intersection A ∩ B.
Définition : La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
On note cette réunion A ∪ B.
Application : Utiliser l’intersection et la réunion d’intervalles
On donne 3 intervalles : I = [ 2 ; 7 ] , J = [ 3 ; + ∞ [ et K = ] – ∞ ; 2 [ . Compléter le tableau suivant :
Intersection et réunion d’intervalles
Représentation Intervalle
I∩J ___________________________ I∩J= J∩K ___________________________ J∩K=
I∪J ___________________________ I∪J= I∪K ___________________________ I∪K=
LFM – Mathématiques – 2nde 4 2°/ Définir une fonction
Définition : Soit D, une partie de ℝ.
Définir une fonction f sur D, c’est associer à tout nombre x de D, un nombre et un seul appelé … du nombre x, et noté … .
On note : …
Au lieu d’écrire « f est la fonction qui à x associe f(x) », on pourra donc écrire « f : x ! f(x) ».
On dit que D est …
D est donc l’ensemble des réels qui ont une image par f.
Si f(a) = b, on dit que a est un … de b par f.
Une fonction pourra être définie par une courbe, un tableau de valeurs ou une formule.
Exemple : f est la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; +∞ [ par f(x) = x – 2 x.
L’ensemble de définition de cette fonction est [ 0 ; +∞ [ et pour calculer l’image d’un nombre de cet ensemble, on procède ainsi :
• image de 0 : f(0) = 0 – 2 × 0 = 0 • image de 4 : f(4) = 4 – 2 × 4= 4 – 2 ×2 = 0
Application : Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes a) f(x)=3x−1
b) g(x)= 2−x
c) h(x)= x+3 x
d) i(x)= 1 x2−9
LFM – Mathématiques – 2nde 5 Méthode : Lecture graphique – Notion d’images et d’antécédants
FONCTIONS
Lectures graphiquesExercices de révision Mathématiques Entrée en Seconde
Difficulté
* Facile
** Moyen
*** Difficile
Lectures graphiques
Exercice 1 * : Images et antécédents
On considère la fonction f définie par la représentation graphique ci-dessous
1°) Lire graphiquement : f (0)
L’image de -1 f (3,5)
2°) Combien d’antécédents possède le nombre 0 ? Le(s)quel(s) ?
Combien d’antécédents possède le nombre – 12 ? Le(s)quel(s) ?
3°) Citer un nombre entier qui ne possède aucun antécédent.
Exercice 2 ** : Deux fonctions…
On considère ci-dessous les représentations graphiques d’une fonction g et d’une fonction affine f . Lire graphiquement :
f (7) = ………
L’image de 0,5 par la fonction f : ……..
Le (ou les) antécédent(s) de 9 par la fonction f : ……….
Le (ou les) antécédent(s) de – 2 par la fonction f : ……….
g (0) = ………
L’image de 1 par la fonction g : ……..
Le (ou les) antécédent(s) de 0 par la fonction g : ……….
Le (ou les) antécédent(s) de 12 par la fonction g : ……….
Pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f (x) = g (x) ?
………..
FONCTIONS
Lectures graphiquesExercices de révision Mathématiques Entrée en Seconde
Difficulté
* Facile
** Moyen
*** Difficile
Lectures graphiques
Exercice 1 * : Images et antécédents
On considère la fonction f définie par la représentation graphique ci-dessous
1°) Lire graphiquement : f (0)
L’image de -1 f (3,5)
2°) Combien d’antécédents possède le nombre 0 ? Le(s)quel(s) ?
Combien d’antécédents possède le nombre – 12 ? Le(s)quel(s) ?
3°) Citer un nombre entier qui ne possède aucun antécédent.
Exercice 2 ** : Deux fonctions…
On considère ci-dessous les représentations graphiques d’une fonction g et d’une fonction affine f . Lire graphiquement :
f (7) = ………
L’image de 0,5 par la fonction f : ……..
Le (ou les) antécédent(s) de 9 par la fonction f : ……….
Le (ou les) antécédent(s) de – 2 par la fonction f : ……….
g (0) = ………
L’image de 1 par la fonction g : ……..
Le (ou les) antécédent(s) de 0 par la fonction g : ……….
Le (ou les) antécédent(s) de 12 par la fonction g : ……….
Pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f (x) = g (x) ?
………..
LFM – Mathématiques – 2nde 6 3°/ Courbes et résolutions graphiques
3.1 Courbe représentative d’une fonction Définition : Soit D, une partie de ℝ.
Soit f une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la …
(ou représentation graphique)
C
de f est l’ensemble des points M( x ; y ) dont : • l’abscisse x appartient à l’ensemble de définition D ;• l’ordonnée y est l’image de x par f.
Autrement dit : M( x ; y ) ∈
C
si, et seulement si, x ∈ D et y = f(x) C’est-à-dire que l’on a simultanément :• si M( x ; y ) ∈
C
alors : x ∈ D et y = f(x)• si x ∈ D et y = f(x) alors : M( x ; y ) ∈
C
Vocabulaire : On dit alors que la courbe
C
a pour équation y = f(x) dans le repère choisi.Application : Déterminer si un point appartient à une courbe Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)=−x2+3x+1
Tracer sur la calculatrice la courbe P représentative de la fonction f 1er cas : Le point A( 2 ; 3 ) appartient-il à la courbe
C
?2ème cas : Le point B(– 1 ; – 3) appartient-il à la courbe
C
?LFM – Mathématiques – 2nde 7 3.2 Résolution graphique d’équations
Soit D, une partie de ℝ.
Soient f et g des fonctions définies sur D. Soient
C
f etC
g les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère.Propriété : Les solutions de l’équation f(x) = k sont les … des points d’intersection de la courbe
C
f et de la droite d’équation y = k.Sur cette figure, l’équation f(x) = k a pour seule solution le nombre a.
Propriété : Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les … des points d’intersection des courbes
C
f etC
g .Sur cette figure, l’équation f(x) = g(x) a trois solutions : a1, a2 et a3.
Application : Résolution graphique d’équations
figure 1
Figure 1 : Résoudre graphiquement l’équation f(x)=2 Cf est la représentation graphique de la fonction f et D la droite d’équation y = 2.
LFM – Mathématiques – 2nde 8
figure 2
Figure 2 : Résoudre graphiquement l’équation f(x)=g(x) Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g.
4°/ Sens de variation
f est CROISSANTE sur
−3;2
a et b appartenant à −3;2 , si 𝑎≤ 𝑏, alors 𝑓(𝑎)≤ 𝑓(𝑏)
f est DECROISSANTE sur
−3;2
a et b appartenant à −3;2 , si 𝑎≤ 𝑏, alors 𝑓(𝑎)≥ 𝑓(𝑏)
f est CONSTANTE sur
−2;1
a et b appartenant à −2;4 , 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
LFM – Mathématiques – 2nde 9 Exemple : La fonction f est définie sur l’intervalle [−𝟒 ;𝟐] par la courbe ci-dessous.
On résume le sens de variation de f dans un tableau de variation :
𝑥 −4 −3 −1 2 ← Se lisent sur l’axe des abscisses
𝑓 𝑥
4 3
← Se lisent sur l’axe des ordonnées
−1 −2
Application : Dresser le tableau de variations d’une fonction à l’aide de sa représentation Dresser le tableau de variation de la fonction f dont la représentation est donnée ci-contre
𝑥 Variations
de 𝑓
LFM – Mathématiques – 2nde 10 4.1 Traductions algébriques
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative
C
dans un repère.Définition : Dire que 𝑓 est … sur I signifie que pour tous nombres réels u et v de I : si u ≤ v, alors f(u) ≤ f(v).
Une fonction croissante conserve l’ordre.
Deux réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans le même ordre.
Définition : Dire que 𝑓 est … sur I signifie que pour tous nombres réels u et v de I : si u ≤ v, alors f(u) ≥ f(v).
Une fonction décroissante change l’ordre.
Deux réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans des ordres contraires.
Application : Etudier les variations d’une fonction
Démontrer que la fonction 𝑓 définie sur ℝ par f(x) = – 2x + 3 est décroissante sur ℝ.
4.2 Définitions
Définitions : Une fonction … sur I est une fonction soit croissante soit décroissante.
Une fonction est … sur I lorsque tous les réels de I ont la même image par f.
Définitions : a et b désignent des nombres réels de l’intervalle I.
• La fonction f admet un … en a sur I lorsque : pour tout x de I, f(x) ≤ f(a).
Le réel f(a) est le maximum de f sur I.
• La fonction f admet un … en b sur I lorsque : pour tout x de I, f(x) ≥ f(b).
Le réel f(b) est le minimum de f sur I.
• On dit que f(a) est un … de f sur I pour indiquer que f(a) est un maximum ou un minimum de f sur I.
LFM – Mathématiques – 2nde 11 Application : Utiliser les notions de maximum et minimum d’une fonction
𝑥 −7 −2 1 3 5
Variations de 𝑓 𝑥
0 3 2
−1 0
LFM – Mathématiques – 2nde 12 4.3 Résolution graphique d’inéquations
C
f etC
g sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.Propriétés : • Inéquations f(x) > k (avec k réel)
Les solutions de l’inéquation f(x) > k sont les …
des points de la courbe
C
f situés au-dessus de la droite d’équation y = k.Sur la figure, l’inéquation f(x) > k possède pour solution les réels de ] x1 ; x2 [.
• Inéquation f(x) > g(x)
Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) sont les … des points de la courbe
C
f situés au-dessus de la courbeC
g.Sur la figure, l’inéquation f(x) > g(x) a pour solution les réels de ] α ; + ∞ [.
Application : Résoudre graphiquement une inéquation
Voici la représentation graphique d’une fonction 𝑓 Résoudre graphiqument l’inéquation f(x) ≥ 4.
Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) < 1.
