H132. Les angles droits du polygone
Soit un polygone de n côtés, convexe ou non, dont les côtés ne se coupent pas entre eux et qui contient à l'intérieur k angles droits et n - k angles différents de 90°.
Exemple : le polygone ci-après ABCDEFGH a n = 8 côtés et on dénombre à l'intérieur k = 6 angles droits situés aux sommets A,B,D,E,F et G. Les deux angles en C et H sont droits à l'extérieur du polygone et valent 270° à l'intérieur du polygone.
Pour n = 2008, quelle est la plus grande valeur possible de k ?
Soit A1...An un polygone de n cotés, et choisissons la référence, la numérotation des sommets et le sens de parcours de façon que l’angle polaire de AiAi+1 soit égal à celui de Ai-1Ai augmenté de Ai -π (Ai étant l’angle du i-ème sommet du polygone en radians), et que la variation de cet angle polaire soit de -2π lorsque l’on fait un tour du polygone.
On a –π<Ai-π<π, et Ai-π est positif si l’angle est rentrant, et négatif si l’angle est saillant ; en particulier Ai-π=-π/2 si l’angle est droit.
Nous avons donc ∑i (Ai-π)=-2π, et s’il y a k angles droit, ∑i(Ai-π)=-kπ/2+S(n-k) où S(n-k) est la somme correspondant aux n-k angles non droits. On a donc S(n-k)=(k-4)π/2.
Pour k=2p ou 2p+1 (p>2), S(n-k) doit comporter au moins p-1 termes (inférieurs à π), donc pour k=2p, n=3p-1, et pour k=2p+1, n=3p.
Donc inversement, si n=3p-1, k=2p, et si n=3p ou 3p+1, k=2p+1. Il est assez simple de vérifier que de tels polygones existent, en traçant des successions de deux angles droits et d’un angle rentrant…
Ici, pour n=2008=3*669+1, k=2*669+1=1339.
