I166 – A un degré près [*** à la main]
Q₁ Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.
Q₂ On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.
Solution proposée par Daniel Collignon
Lorsque n est l'angle défini dans l'énoncé, alors l'angle formé entre 2 marques consécutives vu du centre vaut 2n.
Au bout de k marques (yc celle en P), la condition de retour en P s'écrit 2nk = 0 (360), ou encore nk = 0 (180), 180 divise nk.
On peut alors construire un tableau avec les valeurs de n de 1 à 89, puis k=180/PGCD(180,n).
Q₁
Le cumul de 2 valeurs consécutives de k est alors un bon indicateur (modulo le fait que des marques peuvent être communes, a minima celle en P, mais il peut y en avoir d'autres, comme par exemple dans le cas n=9 permettant d'obtenir 20+18-2=36 marques, fort heureusement ce cas est rare).
n=80 permet d'obtenir un minimum de 9+20-1=28 marques
Q₂
n=54° permet d'obtenir 10+36-1=45 marques
On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif < 90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.
