Vrai ou faux – Page 105

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1 - 2 M. Lichtenberg

Vrai ou faux – Page 105

Exercice N°9 Æ FAUX

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme x6C e× ^x où C est une constante réelle quelconque. En choisissant C ≠1 et C ≠0 (on obtient une fonction non nulle proportionnelle à la fonction exponentielle mais différente de celle-ci).

Exercice N°10 Æ FAUX

On a en fait : ∀ ∈x \, ∀ ∈y \, e^{x y+} = ×e^x e^y. Exercice N°11

Æ FAUX

On a en fait : ^{∀ ∈x \,}

( )

^{ex 2 =e2x.}

Exercice N°12 Æ VRAI

Pour tout x réel, on a : e^x+ ≥1 1. Le dénominateur de ^{f x}

( )

ne peut donc s’annuler et la fonction f est définie sur \.

Pour tout x réel, on a :

( ) ( )

(

¹

) (

¹

) _{( )}

1 1

1 1 1 1

x x x

x x

x x x x x

e e e

e e

f x f x

e e e e e

− −

− −

− − −

− −

− = = = = − = −

+ + + +

La fonction f est donc une fonction impaire.

Sa courbe représentative est bien symétrique par rapport à l’origine dans un repère donné.

Exercice N°13 Æ VRAI On a :

( ) { }

2 1 2 2 2

1 1 0 1 0 1; 0

x x x x x

e x e e e x x x x x

e

= ⇔ × = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ∈ −

Exercice N°14 Æ FAUX

, 1^x

x ⁺ e

∀ ∈\ ≥ . Donc : 1

, 1_x

x e

∀ ∈\+ ≤ . Soit, finalement : ∀ ∈x \⁺, e^−x≤1.

Lycée Fénelon Sainte-Marie 2 - 2 M. Lichtenberg Exercice N°15

Æ FAUX

On a : lim ^x lim ^x 0

x e⁻ x e

→+∞ = →−∞ = . D’où : _x^{lim 1}_→+∞

(

^+e−x

)

^{= + =1 0 1} et, enfin : 1 1

lim 1

1 ^x 1

x^→+∞ e⁻ = =

+ .

Exercice N°16 Æ VRAI Cf. le cours.

Exercice N°17 Æ VRAI

La fonction f définie sur \ par ^{f x}

( )

^{= −2e−x} est la composée des fonctions : x6−x (fonction linéaire de coefficient strictement négatif, donc strictement décroissante), x6e^x (strictement croissante, cf. le cours) et x6−2x (fonction linéaire de coefficient strictement négatif, donc strictement décroissante).

Le nombre de fonctions strictement décroissantes étant pair, on en déduit que la fonction f est strictement croissante sur \.

Exercice N°18 Æ FAUX

On a pour tout x réel : e^x >0.

L’équation : e^x= −1 n’admet donc pas de solution dans \. Exercice N°19

Æ FAUX

La fonction f est la composée de la fonction x63x et de la fonction exponentielle.

On a donc, pour tout x réel : ^{f '}

( )

^{x = ×3 e3x.}