CONTRÔLE N°2 1

CONTRÔLE N°2 1

spé maths.

2 heures

I.

On peut utiliser certains résultats pour d autres équations ou inéquations.

1. Résoudre les équations et inéquations suivantes : a. 2 x² 5 x 3 0

b. 2x² 5 x 3

c. 2x

5x² 3 d. 2 x² 5x 3

2x 4 ≥0 e. x 5

x² 1 3 x

2. f est la fonction définie sur par f( x) 2 x² 5x 3. C

est la courbe représentative de f dans un repère.

a. Factoriser f( x).

b. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe de f avec les axes du repère.

II. f et g sont les fonctions définies sur par f (x ) 3 x ² 5x 8 et g (x ) 5x² 2 x 9.

Déterminer les positions relatives des courbes de f et g.

III. f est la fonction définie sur par f (x ) 4x

12 x² 9x 2.

1. Vérifier que 2 est une racine de f (x ).

2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, f( x) (x 2)(a x² bx c).

3. Résoudre l inéquation f( x) 0.

IV. Pour quelles valeurs de x peut-on calculer f( x) 3 x² 5x 8 ? V. On donne l arbre de probabilités ci-dessous :

1. Donner P

(D).

2. Exprimer P (D ) en fonction de p

3. Déterminer la ou les valeurs de p pour lesquelles A et D sont indépendants.

VI. Soit m un nombre réel. On considère le trinôme ( m 1) x² mx 1.

1. Déterminer la ou les valeur(s) de m pour que le trinôme ait exactement une racine.

2. Déterminer les valeurs de m pour que l équation (m 1) x² mx 1 n ait aucune solution ? 3. Existe-t-il des valeurs de m pour lesquelles la courbe du trinôme est toujours en dessous de l axe des abscisses ?

A

p

D p

D 1-p

0,2 B

D 0,05

D 0,95

C 0,8-p

D 0,4

D 0,6

VII.

1. f est la fonction définie par f( x) 1 2 x² 5

2 x. Construire le tableau de variation de f sur . 2. Soit ABCD un carré de côté 5. E est un point de [ AB ] et F un point de [BC] tels que AE CF x.

Pour tout x de l intervalle [0 5], n note A (x ) l aire du triangle AEF . a. Exprimer A( x) en fonction de x.

b. Pour quelle valeur de x cette aire est-elle maximale ?

CORRECTION DU CONTRÔLE N°2 1ère Spé

I.

On peut utiliser certains résultats pour d autres équations ou inéquations.

1. Résoudre les équations et inéquations suivantes : a. 2 x² 5 x 3 0

49 donc le trinôme a deux racines : x

3 et x

1

2 . Les solutions sont 3 et 1 2 .

b. 2x² 5 x 3  2 x² 5x 3 0

D après le a, le trinôme a deux racines qui sont 1

2 et 3 et il est du signe de a 2 sauf entre ces racines. On a donc le tableau de signes :

x 1/2 3 + 2x² 5x 3

Ainsi l inéquation 2x² 5x 3 a pour ensemble de solutions S

 

  1 2 3 . c. 2x

5x² 3  2x

5 x² 3 0.

On pose X=x². On a X ² x

. Alors 2x

5x ² 3 0 





X x ²

2X ² 5X 3 0 

 

 X x²

X ¹

2 ou X 3  x ² 1

2 ou x ² 3  x 3 ou x 3 . Les solutions sont 3 et 3 .

d. 2 x² 5x 3

2x 4 ≥0

2x 4 0 pour x 2 : la valeur interdite est 2.

D après les questions précédentes, on peut construire le tableau ci-dessous : x 1/2 2 3 + 2x² 5x 3

2x² 5 x 3 2x 4 2x² 5 x 3

2x 4 ≥0 a pour ensemble de solutions S

 

  1

2 ]2 3].

e. x 5 x² 1

3 x

x² 1 0  ( x 1)(x 1) 0  x 1 ou x 1. Les valeurs interdites sont 1 ; 1 et 0.

f. x 5 x² 1

3

x  x 5 x ² 1

3

x 0  (x 5)x 3 (x ² 1 )

( x² 1) x 0  2 x² 5x 3

(x ² 1)x 0

D après les questions précédentes, on peut construire le tableau ci-dessous :

x 1 1/2 0 1 3 + 2x² 5x 3

2x² 5x 3 (x² 1)x x 5

x² 1 3

x a pour ensemble de solutions S

 

 

1 1

2

2. f est la fonction définie sur par f( x) 2 x² 5x 3. C

est la courbe représentative de f dans un repère.

a. D après la question précédente, les racines de f (x ) sont 1/2 et 3.

La forme factorisée de f(x) est alors f(x) 2

 

  x ¹

2 (x 3).

b. Intersection avec l axe des ordonnées : f (0) 2 0² 5 0 3 3 donc la courbe de f coupe l axe des ordonnées en A (0 3).

Intersection avec l axe des abscisses : f (x ) 0  x 1

2 ou x 3 d après la question 1.

La courbe de f coupe l axe des abscisses en B

 

  1

2 0 et C(3 0).

Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe de f avec les axes du repère.

II. f et g sont les fonctions définies sur par f (x ) 3 x ² 5x 8 et g (x ) 5x² 2 x 9.

On étudie le signe de f (x ) g( x).

Pour tout x de , f( x) g (x) 3 x² 5x 8 ( 5 x² 2x 9) 8 x² 7x 1.

81 donc le trinôme a deux racines qui sont x

1

8 et x

1 et il est du signe de a 8 sauf entre ces racines. On a donc le tableau suivant :

x 1/8 1 + 8x² 7x 1

Position relative C

au dessus de C

C

en dessous de C

C

au dessus de C

III. f est la fonction définie sur par f (x ) 4x

12 x² 9x 2.

1. f(2) 4 2

12 2² 9 2 2 0 donc 2 est une racine de f(x).

2. Pour tout réel x, ( x 2)( a x² b x c) ax

(b 2a )x ² (c 2 b) x 2c.

Pour tout réel x, f (x) ( x 2)( a x² b x c ) 

 

 ^a _{b 2a} ⁴ ₁₂

c 2b 9

2 c 2

    ^a _{b 12 2 ( 4)} ⁴ ₄

c 9 2 4 1

c 1

Ainsi, pour tout réel x, f(x) (x 2)( 4x² 4x 1).

3. Signe de 4 x² 4x 1 : 0 donc le trinôme a une racine qui est 1

2 et il est du signe de a 4 0, sauf pour x 1

2 . On a donc le tableau suivant :

x 1/2 2 +

−4x² 4x 1

(x 2)( 4x² 4x 1)

Ainsi, l inéquation f(x) 0 a pour ensemble de solutions S ]2 [.

IV. On peut calculer 3 x² 5x 8 ssi 3 x² 5x 8 0.

121 donc le trinôme a deux racines qui sont 8

3 et 1 et il est du signe de a 3 sauf entre ces racines. On a donc le tableau de signes :

x 8/3 1 + 3x² 5x 8

On peut donc calculer f(x) 3x² 5x 8 pour x

 

  8

3 [1 [.

V.

1. D après l arbre, P

( D) p.

2. D après la formule des probabilités totales, P (D ) P (A ) P

( D) P( B) P

( D) P( C) P

( D) P (D ) p p 0,2 0,05 (0,8 p ) 0,4 *

P(D) p² 0,4p 0,33

3. A et D sont indépendants ssi P (D) P

(D )

A et D sont indépendants ssi p² 0,4p 0,33 p A et D sont indépendants ssi p² 1,4p 0,33 0

0,64 donc le trinôme a deux racines qui sont x

1,1 et x

0,3.

p étant une probabilité, 0 p 1.

Ainsi, A et D sont indépendants ssi p 0,3.

VI. Soit m un nombre réel. On considère le trinôme ( m 1) x² mx 1.

1. Le trinôme a exactement une racine ssi son discriminant est nul.

Le discriminant du trinôme est m ² 4(m 1) 1 m² 4m 4.

On résout donc m² 4m 4 0 : 32 donc l équation a deux solutions qui sont 2 2 2 et 2 2 2 . Le trinôme (m 1)x² mx 1 a exactement une racine ssi m 2 2 2 ou m 2 2 2 .

2. L équation n a aucune solution ssi son discriminant est négatif. D après la question précédente, ce discriminant est m² 4m 4 et on peut construire le tableau de signes suivant (a 1 0) :

m 2 2 2 2 2 2 + m² 4m 4

L équation (m 1)x² mx 1 n a aucune solution ssi m ] ^{2 2 2 2 2 2} [ ^.

3. La courbe du trinôme est toujours en dessous de l axe des abscisses ssi le discriminant est négatif et ( m 1) 0.

D après la question 2, le discriminant est négatif ssi m ] ^{2 2 2 2 2 2} [ ^.

D autre part, m 1 0  m 1.

Or 2 2 2 0,8 1 donc il n existe pas de valeur de m pour lesquelles la courbe du trinôme est toujours en dessous de l axe des abscisses.

VII.

1. f est la fonction définie par f( x) 1 2 x² 5

2 x.

a 1

2 0 donc f est croissante puis décroissante.

−b 2 a

5

2 et f ( ) 25

8 . On a donc le tableau suivant : x 5/2 +

f(x) 25/8

2.

a. Pour tout x de [0 5], A( x) AE BF 2

x(5 x ) 2

x² 5 x 2

1 2 x² 5

2 x f(x) b. D après la question 1, cette aire est maximale pour x 5

2 , qui est bien dans l intervalle [0 5].

Remarque : l aire est maximale lorsque E est au milieu de [AB ].